Двадцатая проблема Гильберта - одна из 23 проблем Гильберта, изложенных в знаменитом списке, составленном в 1900 году Дэвидом Гильбертом . Он спрашивает, все ли краевые задачи могут быть решены (то есть есть ли решения у вариационных задач с определенными граничными условиями ).
Вступление
Гильберт отметил, что существуют методы решения уравнений в частных производных, где значения функции заданы на границе, но проблема требует методов решения уравнений в частных производных с более сложными условиями на границе (например, с участием производных функции) или для решения вариационных задач более чем в одном измерении (например, задачи минимальной поверхности или задачи минимальной кривизны)
Постановка задачи
Исходная постановка задачи в целом выглядит следующим образом:
Важной проблемой, тесно связанной с вышеизложенным (относящейся к девятнадцатой проблеме Гильберта ), является вопрос о существовании решений уравнений в частных производных, когда значения на границе области заданы. Эта проблема решается в основном изощренными методами Х.А. Шварца, К. Неймана и Пуанкаре для дифференциального уравнения потенциала. Эти методы, однако, как правило, не могут быть распространены напрямую на случай, когда вдоль границы заданы либо дифференциальные коэффициенты, либо какие-либо связи между ними и значениями функции. Они также не могут быть немедленно распространены на случай, когда исследуются не потенциальные поверхности, а, скажем, поверхности наименьшей площади или поверхности постоянной положительной гауссовой кривизны, которые должны проходить через заданную искривленную кривую или растягиваться по заданной кольцевая поверхность. Я убежден, что эти теоремы существования можно будет доказать с помощью общего принципа, природа которого указана принципом Дирихле . Этот общий принцип затем, возможно, позволит нам подойти к вопросу: не каждая ли задача регулярных вариаций имеет решение, при условии выполнения определенных предположений относительно данных граничных условий (скажем, что функции, задействованные в этих граничных условиях, являются непрерывными и имеют в разделах единицы или больше производных), а также, если необходимо, что понятие решения должно быть соответствующим образом расширено? [1]
Краевые задачи
В области дифференциальных уравнений , А краевая это дифференциальное уравнение вместе с набором дополнительных ограничений, которые называются граничными условиями . Решение краевой задачи - это решение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничным условиям.
Чтобы быть полезной в приложениях, краевая задача должна быть хорошо поставлена . Это означает, что для данной проблемы существует единственное решение, которое непрерывно зависит от входных данных. Много теоретических работ в области дифференциальных уравнений в частных производных посвящено доказательству того, что краевые задачи, возникающие из научных и инженерных приложений, на самом деле корректны.
Рекомендации
- ^ Гильберт, Дэвид, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten , (1900), стр. 253-297, и в Archiv der Mathematik und Physik , (3) 1 (1901), 44-63 и 213-237. Опубликовано в английском переводе доктором Маби Винтон Ньюсон, Бюллетень Американского математического общества 8 (1902), 437-479 [1] [2] doi : 10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . [Более полное название журнала Göttinger Nachrichten - Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
- Кшивицкий, Анджей (1997), «Двадцатая проблема Гильберта», Проблемы Гильберта (Mi \ polhk edzyzdroje, 1993) (на польском языке), Polsk. Акад. Варшава, Наук, 237–245, MR 1632452..
- Серрин, Джеймс (1976), "Разрешимость краевых задач", математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта (Университет Северного Иллинойса, Де Кальб, Иллинойс, май 1974 г.) , Труды симпозиумов по чистой математике, XXVIII , Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество, стр. 507–524, MR 0427784..
- Сигалов А.Г. (1969), "О девятнадцатой и двадцатой проблемах Гильберта", Проблемы Гильберта , М .: Издат. «Наука», стр. 204–215, MR 0251611.