Математический термин хорошо поставленная задача вытекает из определения , данного 20-го века французский математик Жак Адамар . Он считал , что математические модели из физических явлений должны иметь свойство , что:
- решение существует,
- решение уникальное ,
- поведение решения непрерывно меняется с начальными условиями .
Примеры архетипических проблем , корректно включают задачу Дирихля для уравнения Лапласа , и уравнение теплопроводности с заданными начальными условиями. Их можно рассматривать как «естественные» проблемы, поскольку с их помощью моделируются физические процессы.
Проблемы, которые плохо сформулированы в смысле Адамара, называются некорректными . Обратные задачи часто ставятся некорректно. Например, обратное уравнение теплопроводности, выводящее предыдущее распределение температуры из окончательных данных, не является корректным, поскольку решение очень чувствительно к изменениям в окончательных данных.
Модели континуума часто необходимо дискретизировать , чтобы получить численное решение. Хотя решения могут быть непрерывными по отношению к начальным условиям, они могут страдать от численной нестабильности при решении с конечной точностью или с ошибками в данных. Даже если проблема поставлена правильно, она все равно может быть плохо обусловлена , что означает, что небольшая ошибка в исходных данных может привести к гораздо большим ошибкам в ответах. Задачи в нелинейных сложных системах (так называемые хаотические системы) дают хорошо известные примеры неустойчивости. Плохо обусловленная проблема обозначается большим числом условий .
Если проблема поставлена правильно, то у нее есть хорошие шансы на решение на компьютере с использованием стабильного алгоритма . Если она не является корректной, ее необходимо переформулировать для численного анализа. Обычно это включает в себя включение дополнительных предположений, таких как гладкость решения. Этот процесс известен как регуляризация . Тихоновская регуляризация - одна из наиболее часто используемых для регуляризации линейных некорректных задач.
Энергетический метод
Метод определения корректности задачи - это энергетический метод. Метод основан на получении оценки энергии для данной проблемы.
Пример : рассмотрим линейное уравнение переноса с однородными граничными условиями Дирихле и подходящими начальными данными..
Затем, применяя энергетический метод для этой задачи, можно было бы умножить уравнение на и проинтегрируем в пространстве на заданном интервале.
Затем можно было бы интегрировать по времени и получить оценку энергии
( p-норма )
Из этой оценки энергии можно сделать вывод, что задача поставлена правильно.
Смотрите также
- Спектроскопия полного поглощения - пример обратной задачи или некорректной задачи в реальной ситуации, которая решается с помощью алгоритма ожидания-максимизации.
Рекомендации
- Адамар, Жак (1902). Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur значения телосложения . Бюллетень Принстонского университета . С. 49–52.
- Паркер, Сибил Б., изд. (1989) [1974]. Словарь научных и технических терминов Макгроу-Хилла (4-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-045270-9.
- Тихонов, АН; Арсенин, В.Ю. (1977). Решение некорректно поставленных задач . Нью-Йорк: Уинстон. ISBN 0-470-99124-0.