Кривая брахистохрона

Кривая наиболее быстрого спуска - это не прямая или многоугольная линия (синий цвет), а циклоида (красный цвет).

В математике и физике , А брахистохрона кривой (от Древнегреческого βράχιστος χρόνος (brákhistos Хронос)  «короткого времени»), ^[1] или кривого самого быстрого спуска, является лежащим на плоскости между точкой A и нижней точкой B , где B не находится непосредственно под A , по которому шарик скользит без трения под действием однородного гравитационного поля до заданной конечной точки за кратчайшее время. Проблема была поставлена Иоганном Бернулли в 1696 году.

Кривая брахистохрона имеет ту же форму, что и кривая таутохроны ; оба циклоиды . Однако часть циклоиды, используемая для каждого из двух, различается. Более конкретно, брахистохрона может использовать до полного вращения циклоиды (на пределе, когда A и B находятся на одном уровне), но всегда начинается с куспида . Напротив, проблема таутохрон может использовать только до первой половины оборота и всегда заканчивается в горизонтальном направлении. ^[2] Проблема может быть решена с помощью инструментов вариационного исчисления и оптимального управления . ^[3]

Кривая не зависит ни от массы испытуемого тела, ни от местной силы тяжести. Только параметр выбирается так, чтобы кривая подходит начальную точку А и конечную точку B . ^[4] Если телу задать начальную скорость в точке A или если принять во внимание трение, то кривая, которая минимизирует время, будет отличаться от кривой таутохрон .

История [ править ]

Иоганн Бернулли поставил проблему брахистохрона перед читателями Acta Eruditorum в июне 1696 года. ^{[5] [6]} Он сказал:

Я, Иоганн Бернулли, обращаюсь к самым выдающимся математикам мира. Для умных людей нет ничего более привлекательного, чем честная, сложная проблема, возможное решение которой принесет славу и останется памятником на всю жизнь. Следуя примеру Паскаля, Ферма и других, я надеюсь заслужить признательность всего научного сообщества, поставив перед лучшими математиками нашего времени задачу, которая проверит их методы и силу их интеллекта. Если кто-то сообщит мне решение предложенной проблемы, я публично объявлю его достойным похвалы.

Бернулли сформулировал задачу так:

Даны две точки A и B на вертикальной плоскости, какова кривая, начерченная точкой, на которую действует только сила тяжести, которая начинается в точке A и достигает точки B в кратчайшие сроки .

Иоганн и его брат Якоб Бернулли получили такое же решение, но вывод Иоганна был неверным, и он попытался выдать решение Якоба за свое собственное. ^[7] Йоханн опубликовал решение в журнале в мае следующего года и отметил, что решение представляет собой ту же кривую, что и кривая таутохрон Гюйгенса . Выведя дифференциальное уравнение для кривой описанным ниже методом, он показал, что оно дает циклоиду. ^{[8] [9]} Однако его доказательство омрачено тем, что он использовал одну константу вместо трех констант, v _m , 2g и D , как показано ниже.

Бернулли выделил шесть месяцев для решений, но ни один из них не был получен в течение этого периода. По просьбе Лейбница срок публично был продлен на полтора года. ^[10] В 16:00 29 января 1697 года, когда он вернулся домой с Королевского монетного двора, Исаак Ньютон обнаружил проблему в письме Иоганна Бернулли. ^[11] Ньютон не спал всю ночь, чтобы решить эту проблему, и отправил решение анонимно в следующем посте. Прочитав решение, Бернулли сразу же узнал его автора, воскликнув, что он «узнает льва по следу когтя». Эта история дает некоторое представление о силе Ньютона, поскольку Иоганну Бернулли понадобилось две недели, чтобы разгадать ее. ^{[4] [12]}Ньютон также написал: «Я не люблю, когда иностранцы дразнят [приставляют] и дразнят его математическими вещами ...», и Ньютон уже решил проблему минимального сопротивления Ньютона , которая считается первой в своем роде в вариационном исчислении .

В конце концов, пять математиков ответили решениями: Ньютон, Якоб Бернулли, Готфрид Лейбниц , Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус и Гийом де л'Опиталь . Четыре решения (за исключением L'Hôpital) были опубликованы в том же выпуске журнала, что и Иоганна Бернулли. В своей статье Якоб Бернулли дал доказательство условия на наименьшее время, подобное приведенному ниже, прежде чем показать, что его решением является циклоида. ^[8] По словам ньютоновского ученого Тома Уайтсайда , в попытке превзойти своего брата Якоб Бернулли создал более сложную версию проблемы брахистохрона. При ее решении он разработал новые методы, которые были усовершенствованы Леонардом Эйлером.в то, что последний назвал (в 1766 г.) вариационным исчислением . Жозеф-Луи Лагранж проделал дальнейшую работу, результатом которой стало современное исчисление бесконечно малых .

Ранее, в 1638 году, Галилей попытался решить аналогичную задачу для пути наискорейшего спуска от точки к стене в своих « Двух новых науках» . Он приходит к выводу, что дуга окружности быстрее любого числа ее хорд ^[13].

Из предыдущего можно сделать вывод, что самый быстрый путь из всех [lationem omnium velocissimam] от одной точки до другой - это не кратчайший путь, а именно прямая линия, а дуга окружности.

...

Следовательно, чем ближе вписанный многоугольник приближается к кругу, тем короче время, необходимое для спуска из точки А в С. То, что было доказано для квадранта, верно и для меньших дуг; рассуждение то же самое.

Сразу после теоремы 6 о двух новых науках Галилей предупреждает о возможных заблуждениях и необходимости «высшей науки». В этом диалоге Галилей рассматривает свою собственную работу. Настоящее решение проблемы Галилея - половина циклоиды. Галилей изучил циклоиду и дал ей название, но связь между этой циклоидой и его проблемой пришлось подождать, пока не появится прогресс в математике.

Решение Иоганна Бернулли [ править ]

Прямой метод [ править ]

В письме Анри Баснажу от 30 марта 1697 г., хранящемся в публичной библиотеке Базельского университета, Иоганн Бернулли заявил, что он нашел два метода (всегда называемые «прямым» и «косвенным»), чтобы показать, что брахистохрона была «обыкновенная циклоида», также называемая «рулеткой». Следуя совету Лейбница, он включил только косвенный метод в Acta Eruditorum Lipsidae от мая 1697 года. Он написал, что это было частично потому, что, по его мнению, этого было достаточно, чтобы убедить любого, кто сомневался в выводе, частично потому, что он также решил две известные проблемы в оптике. который «покойный мистер Гюйгенс» поднял в своем трактате о свете. В том же письме он критиковал Ньютона за сокрытие своего метода.

В дополнение к своему косвенному методу он также опубликовал пять других ответов на полученную проблему.

Прямой метод Иоганна Бернулли исторически важен, поскольку он был первым доказательством того, что брахистохрона является циклоидой. Метод заключается в определении кривизны кривой в каждой точке. Все остальные доказательства, включая доказательство Ньютона (которое в то время не было обнаружено), основаны на нахождении градиента в каждой точке.

Только в 1718 году Бернулли объяснил, как он решил проблему брахистохрона своим прямым методом. ^{[14] [15]}

Он объяснил, что не публиковал его в 1697 году по причинам, которые больше не применялись в 1718 году. Этот документ в значительной степени игнорировался до 1904 года, когда глубина метода была впервые оценена Константином Каратеодори , который заявил, что он показывает, что циклоида является возможна только кривая максимально быстрого спуска. По его словам, другие решения просто подразумевали, что время спуска для циклоиды стационарное, но не обязательно минимально возможное.

Аналитическое решение [ править ]

Считается, что тело скользит по любой небольшой дуге окружности Ce между радиусами KC и Ke с фиксированным центром K. Первый этап доказательства заключается в нахождении конкретной дуги окружности Mm, которую тело проходит за минимальное время.

Прямая KNC пересекает AL в точке N, а линия Kne пересекает ее в точке n, и они составляют небольшой угол CKe в точке K. Пусть NK = a, и определим переменную точку C на расширенной KN. Из всех возможных дуг окружности Ce требуется найти дугу Mm, которая требует минимального времени для прохождения между двумя радиусами, KM и Km. Чтобы найти м-м Бернулли, рассуждает следующим образом.

Пусть MN = x. Он определяет m так, чтобы MD = mx, и n так, чтобы Mm = nx + na, и отмечает, что x - единственная переменная, что m конечно, а n бесконечно мало. Малое время прохождения по дуге Mm должно быть минимальным (un plus petit). Он не объясняет, что из-за того, что Mm настолько мала, скорость вдоль него можно принять за скорость в точке M, которая является квадратным корнем из MD, вертикального расстояния M ниже горизонтальной линии AL.${\ displaystyle {\ frac {Mm} {MD ^ {\ frac {1} {2}}}} = {\ frac {n (x + a)} {(mx) ^ {\ frac {1} {2} }}}}$

Отсюда следует, что при дифференцировании это должно давать

${\displaystyle {\frac {(x-a)dx}{2x^{\frac {3}{2}}}}=0}$ так что x = a.

Это условие определяет кривую, по которой тело скользит в кратчайшие сроки. Для каждой точки M на кривой радиус кривизны MK разрезан на 2 равные части своей осью AL. Это свойство, которое, по словам Бернулли, было известно давно, уникально для циклоиды.

Наконец, он рассматривает более общий случай, когда скорость является произвольной функцией X (x), поэтому время, которое необходимо минимизировать, равно . Тогда становится условие минимума, которое он записывает как: и которое дает MN (= x) как функцию от NK (= a). Отсюда уравнение кривой может быть получено с помощью интегрального исчисления, хотя он этого не демонстрирует.${\displaystyle {\frac {(x+a)}{X}}}$${\displaystyle X={\frac {(x+a)dX}{dx}}}$${\displaystyle X=(x+a)\Delta x}$

Синтетический раствор [ править ]

Затем он приступает к тому, что он назвал своим синтетическим решением, которое было классическим геометрическим доказательством того, что существует только одна кривая, по которой тело может скользить вниз за минимальное время, и эта кривая является циклоидой.

Предположим, AMmB - это часть циклоиды, соединяющая A и B, тело которой скользит вниз за минимальное время. Пусть ICcJ будет частью другой кривой, соединяющей A и B, которая может быть ближе к AL, чем AMmB. Если дуга Mm образует угол MKm в центре кривизны K, пусть дуга на IJ, которая образует тот же угол, будет Cc. Дуга окружности, проходящая через C с центром K, - это Ce. Точка D на AL находится вертикально над M. Соедините K с D, и точка H - это место, где CG пересекает KD, при необходимости расширяемую.

Пусть и t - время падения тела вдоль Mm и Ce соответственно.${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau \propto {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}}$, ,${\displaystyle t\propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}}$

Продолжим CG до точки F, где, и поскольку отсюда следует, что${\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}}$${\displaystyle {\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}}$

${\displaystyle {\frac {\tau }{t}}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Поскольку MN = NK, для циклоиды:

${\displaystyle GH={\frac {MD.HD}{DK}}={\frac {MD.CM}{MK}}}$, И${\displaystyle CH={\frac {MD.CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}}$${\displaystyle CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}}$

Если Ce ближе к K, чем Mm, то

${\displaystyle CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}}$ и ${\displaystyle CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}}$

В любом случае,

${\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}>CG}$, и отсюда следует, что ${\displaystyle \tau <t}$

Если дуга Cc, образуемая бесконечно малым углом MKm на IJ, не является круговой, она должна быть больше, чем Ce, поскольку Cec становится прямоугольным треугольником в пределе, когда угол MKm приближается к нулю.

Отметим, что Бернулли доказывает, что CF> CG, аналогичным, но другим аргументом.

Из этого он заключает, что тело пересекает циклоидный AMB за меньшее время, чем любая другая кривая ACB.

Косвенный метод [ править ]

Согласно принципу Ферма , фактический путь луча света между двумя точками - это путь, который занимает наименьшее время. В 1697 году Иоганн Бернулли использовал этот принцип для получения кривой брахистохроны, рассматривая траекторию луча света в среде, где скорость света увеличивается вслед за постоянным вертикальным ускорением (ускорение силы тяжести g ). ^[16]

По закону сохранения энергии мгновенная скорость тела v после падения с высоты y в однородном гравитационном поле определяется выражением:

${\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}$,

Скорость движения тела по произвольной кривой не зависит от горизонтального смещения.

Бернулли заметил, что закон преломления дает постоянную движения для луча света в среде переменной плотности:

${\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}}$,

где v _m - константа, представляющая угол траектории относительно вертикали.${\displaystyle \theta }$

Из приведенных выше уравнений можно сделать два вывода:

1. Вначале угол должен быть равен нулю, когда скорость частицы равна нулю. Следовательно, кривая брахистохроны касается вертикали в начале координат.
2. Скорость достигает максимального значения, когда траектория становится горизонтальной и угол θ = 90 °.

Предположим для простоты, что частица (или луч) с координатами (x, y) вылетает из точки (0,0) и достигает максимальной скорости после падения на вертикальное расстояние D :

${\displaystyle v_{m}={\sqrt {2gD}}}$.

Перестановка членов в законе преломления и возведения в квадрат дает:

${\displaystyle v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})}$

который может быть решен для dx с точки зрения dy :

${\displaystyle dx={\frac {v\,dy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}}$.

Подстановка из выражений для v и v _m выше дает:

${\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}\,dy\,,}$

которое является дифференциальным уравнением перевернутой циклоиды, порожденной окружностью диаметра D = 2r , параметрическое уравнение которой имеет следующий вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi -\sin \varphi )\\y&=r(1-\cos \varphi ).\end{aligned}}}$

где φ - действительный параметр , соответствующий углу поворота катящегося круга. Для данного φ центр круга лежит в точке ( x , y ) = ( rφ , r ) .

В задаче о брахистохроне движение тела задается изменением во времени параметра:

${\displaystyle \varphi (t)=\omega t\,,\omega ={\sqrt {\frac {g}{r}}}}$

где t - время с момента выхода тела из точки (0,0).

Решение Якоба Бернулли [ править ]

Брат Иоганна Якоб показал, как можно использовать 2-й дифференциал для получения условия за наименьшее время. Модернизированный вариант доказательства выглядит следующим образом. Если мы сделаем незначительное отклонение от пути наименьшего времени, то для дифференциального треугольника, образованного смещением по пути и горизонтальным и вертикальным смещениями,

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$.

При дифференцировании с фиксированной dy получаем,

${\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}$.

И, наконец, перестановка условий дает,

${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}$

где последняя часть представляет собой смещение для данного изменения времени для 2-го дифференциала. Теперь рассмотрим изменения вдоль двух соседних путей на рисунке ниже, для которых горизонтальное разделение между путями вдоль центральной линии равно d ² x (одинаково для верхнего и нижнего дифференциальных треугольников). На старом и новом пути различаются части:

${\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}$

${\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}$

Для пути наименьшего времени эти времена равны, поэтому для их разницы мы получаем

${\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}$

И условие наименьшего времени:

${\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}$

что согласуется с предположением Иоганна, основанным на законе преломления .

Решение Ньютона [ править ]

Введение [ править ]

В июне 1696 года Иоганн Бернулли использовал страницы Acta Eruditorum Lipsidae, чтобы бросить вызов международному математическому сообществу: найти форму кривой, соединяющей две фиксированные точки, чтобы масса скользила по ней вниз под влиянием только гравитация за минимальное время. Первоначально решение должно было быть отправлено в течение шести месяцев. По предложению Лейбница Бернулли продлил этот вызов до Пасхи 1697 года с помощью печатного текста под названием «Programma», опубликованного в Гронингене , Нидерланды.

Programma датирована 1 января 1697, в григорианском календаре. Это было 22 декабря 1696 года по юлианскому календарю, который использовался в Великобритании. По словам племянницы Ньютона, Кэтрин Кондуит, Ньютон узнал о проблеме в 16:00 29 января и решил ее к 4:00 следующего дня. Его решение, переданное Королевскому обществу, датировано 30 января. Это решение, позднее анонимно опубликованное в Philosophical Transactions , является правильным, но не указывает метод, с помощью которого Ньютон пришел к своему выводу. Бернулли в письме Анри Баснажу в марте 1697 г. указал, что, хотя его автор «из-за чрезмерной скромности» не раскрыл своего имени, тем не менее, даже по предоставленным скудным деталям, в нем можно было узнать произведение Ньютона, «как льва. когтем "(на латыни,tanquam ex ungue leonem ).

Джон Уоллис , которому в то время было 80 лет, узнал о проблеме в сентябре 1696 года от младшего брата Иоганна Бернулли, Иеронима, и потратил три месяца, пытаясь ее решить, прежде чем передать ее в декабре Дэвиду Грегори , который также не смог ее решить. . После того, как Ньютон представил свое решение, Грегори спросил его о деталях и сделал заметки из их разговора. Их можно найти в Библиотеке Эдинбургского университета, рукопись A${\displaystyle 78^{1}}$от 7 марта 1697 года. Либо Григорий не понимал аргумента Ньютона, либо объяснение Ньютона было очень кратким. Однако можно с высокой степенью уверенности построить доказательство Ньютона из заметок Грегори по аналогии с его методом определения твердого тела минимального сопротивления (Принципы, Книга 2, Предложение 34, Схолиум 2). Подробное описание его решения этой последней проблемы включено в черновик письма 1694 года, также к Дэвиду Грегори. ^[17] В дополнение к проблеме минимальной кривой времени была вторая проблема, которую Ньютон также решил в то же время. Оба решения анонимно появились в «Философских трудах Королевского общества» за январь 1697 года.

Проблема брахистохрона [ править ]

На рис. 1 изображена диаграмма Грегори (за исключением того, что на ней отсутствует дополнительная линия IF, а Z добавлена ​​начальная точка). Кривая ZVA - циклоида, а CHV - ее образующая окружность. Поскольку кажется, что тело движется вверх от точки е к точке Е, следует предположить, что небольшое тело высвобождается из точки Z и скользит по кривой до точки А без трения под действием силы тяжести.

Рассмотрим небольшую дугу eE, по которой тело поднимается. Предположим, что он проходит по прямой eL до точки L, горизонтально смещенной от E на небольшое расстояние o вместо дуги eE. Обратите внимание, что eL не является касательной в точке e, и что o будет отрицательным, когда L находится между B и E. Проведите линию через E параллельно CH, разрезая eL в точке n. По свойству циклоиды En является нормалью к касательной в E, и аналогично касательная в E параллельна VH.

Поскольку смещение EL невелико, оно мало отличается по направлению от касательной в точке E, так что угол EnL близок к прямому. В пределе, когда дуга eE приближается к нулю, eL становится параллельным VH, при условии, что o мало по сравнению с eE, что делает треугольники EnL и CHV подобными.

Также en приближается к длине хорды eE и увеличению длины, игнорируя члены в и выше, которые представляют ошибку из-за приближения, что eL и VH параллельны.${\displaystyle eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}}$${\displaystyle o^{2}}$

Скорость вдоль eE или eL может быть принята равной скорости в точке E, пропорциональной которой равна CH, поскольку${\displaystyle {\sqrt {CB}}}$${\displaystyle CH={\sqrt {CB.CV}}}$

Похоже, это все, что содержится в записке Грегори.

Пусть t - дополнительное время для достижения L,

${\displaystyle t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}}$

Следовательно, увеличение времени прохождения небольшой дуги, смещенной в одной конечной точке, зависит только от смещения в конечной точке и не зависит от положения дуги. Однако по методу Ньютона это просто условие, необходимое для прохождения кривой за минимально возможное время. Следовательно, он заключает, что минимальная кривая должна быть циклоидой.

Он рассуждает следующим образом.

Предположим теперь, что рис. 1 - это минимальная кривая, еще не определенная, с вертикальной осью CV и удаленной окружностью CHV, а на рис. 2 показана часть кривой между бесконечно малой дугой eE и следующей бесконечно малой дугой Ff на конечном расстоянии вдоль изгиб. Дополнительное время t для прохождения eL (а не eE) равно nL, деленному на скорость в точке E (пропорционально ), без учета членов в и выше:${\displaystyle {\sqrt {CB}}}$${\displaystyle o^{2}}$

${\displaystyle t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}}$,

В точке L частица продолжает движение по пути LM, параллельному исходному EF, до некоторой произвольной точки M. Поскольку в точке L она имеет ту же скорость, что и в точке E, время прохождения LM такое же, как и в исходной точке. кривая EF. В точке M он возвращается на исходный путь в точке f. По тем же соображениям сокращение времени T для достижения f от M, а не от F, равно

${\displaystyle T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}}$

Разница (t - T) - это дополнительное время, которое требуется на пути eLMf по сравнению с исходным eEFf:

${\displaystyle (t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o}$плюс термины в и выше (1)${\displaystyle o^{2}}$

Поскольку eEFf - минимальная кривая, (t - T) должно быть больше нуля, независимо от того, является ли o положительным или отрицательным. Отсюда следует, что коэффициент при o в (1) должен быть равен нулю:

${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}$ (2) в пределе, когда eE и fF стремятся к нулю. Обратите внимание, поскольку eEFf является минимальной кривой, следует предполагать, что коэффициент больше нуля.${\displaystyle o^{2}}$

Ясно, что должно быть 2 равных и противоположных смещения, иначе тело не вернется к конечной точке A кривой.

Если e фиксировано, и если f считается переменной точкой выше по кривой, то для всех таких точек f постоянна (равна ). Если оставить f фиксированным и сделать переменным e, становится ясно, что это тоже постоянная величина.${\displaystyle {\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}$${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}$${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}$

Но, поскольку точки e и f произвольны, уравнение (2) может быть истинным , только если везде, и это условие характеризует искомую кривую. Это тот же метод, который он использует, чтобы найти форму Твердого тела наименьшего сопротивления.${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\text{constant}}}$

Для циклоиды, так что то, что было показано выше, является постоянным, а брахистохрон - это циклоида.${\displaystyle {\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}}$${\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}}$

Ньютон не указывает, как он обнаружил, что циклоида удовлетворяет этому последнему соотношению. Возможно, это произошло методом проб и ошибок, или он, возможно, сразу понял, что это подразумевает, что кривая является циклоидой.

См. Также [ править ]

• Парадокс колеса Аристотеля
• Белтрами личность
• Вариационное исчисление
• Контактная сеть
• Циклоида
• Проблема минимального сопротивления Ньютона
• Кривая таутохрона
• Трохоидный
• Равномерно ускоренное движение

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме брахистохрона .

• "Brachistochrone" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Проблема брахистохрона" . MathWorld .
• Brachistochrone (в MathCurve, с отличными анимированными примерами)
• Брахистохрона , Математика Уистлер-Элли.
• Таблица IV из статьи Бернулли в Acta Eruditorum 1697
• Брахистохроны Майкла Тротта и Brachistochrone Problem Окей Арика, Вольфрам Демонстрационный проект .
• Проблема брахистохрона в MacTutor
• Возвращение к геодезическим - Введение в геодезические, включая два способа вывода уравнения геодезической с брахистохроной как частный случай геодезической.
• Оптимальное управляющее решение проблемы брахистохрона в Python.
• Прямая линия, цепная связь, брахистохрона, круг и Ферма. Единый подход к некоторым геодезическим.