Двадцать третья проблема Гильберта - последняя из проблем Гильберта, изложенных в знаменитом списке, составленном в 1900 году Дэвидом Гильбертом . В отличие от других 22 проблем Гильберта, его 23-я проблема не столько специфическая «проблема», сколько стимул к дальнейшему развитию вариационного исчисления . Его постановка проблемы представляет собой краткое изложение современного (на 1900 г.) теории вариационного исчисления с некоторыми вступительными комментариями, осуждающими недостаточную работу, проделанную над этой теорией в середине и в конце периода. 19 век.
Оригинальное заявление
Постановка задачи начинается со следующего абзаца:
До сих пор я обычно упоминал проблемы как можно более определенные и частные ... Тем не менее, я хотел бы закончить общей проблемой, а именно указанием на раздел математики, неоднократно упоминавшийся в этой лекции, который, несмотря на значительный прогресс, сделанный в последнее время Вейерштрассом, не получил общей оценки, которой, на мой взгляд, он и обязан - я имею в виду вариационное исчисление. [1]
Вариационное исчисление
Вариационное исчисление - это область математического анализа, которая имеет дело с максимизацией или минимизацией функционалов , которые являются отображениями набора функций в действительные числа . Функционалы часто выражаются в виде определенных интегралов, включающих функции и их производные . Интерес представляют экстремальные функции, которые заставляют функционал достигать максимального или минимального значения - или стационарные функции - те, у которых скорость изменения функционала равна нулю.
Прогресс
Следуя постановке задачи, Давид Гильберт , Эмми Нётер , Леонида Тонелли , Анри Лебег и Жак Адамар среди других внесли значительный вклад в вариационное исчисление. [2] Марстон Морс применил вариационное исчисление в том, что сейчас называется теорией Морса . [3] Лев Понтрягин , Ральф Рокафеллар и Ф. Х. Кларк разработали новые математические инструменты для вариационного исчисления в теории оптимального управления . [3] динамическое программирование на Ричард Беллмана является альтернативой вариационного исчисления. [4] [5] [6]
Рекомендации
- ^ Гильберт, Дэвид, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten , (1900), стр. 253-297, и в Archiv der Mathematik und Physik , (3) 1 (1901), 44-63 и 213-237. Опубликовано в английском переводе доктором Маби Винтон Ньюсон, Бюллетень Американского математического общества 8 (1902), 437-479 [1] [2] doi : 10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . [Более полное название журнала Göttinger Nachrichten - Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
- ^ ван Брант, Брюс (2004). Вариационное исчисление . Springer. ISBN 0-387-40247-0.
- ^ а б Фергюсон, Джеймс (2004). «Краткий обзор истории вариационного исчисления и его приложений». arXiv : math / 0402357 .
- ^ Димитрий П. Берцекас. Динамическое программирование и оптимальное управление. Афина Сайентифик, 2005.
- ^ Беллман, Ричард Э. (1954). «Динамическое программирование и новый формализм в вариационном исчислении» . Proc. Natl. Акад. Sci . 40 (4): 231–235. Полномочный код : 1954PNAS ... 40..231B . DOI : 10.1073 / pnas.40.4.231 . PMC 527981 . PMID 16589462 .
- ^ Кушнер, Гарольд Дж. (2004). «Премия Ричарда Беллмана за культурное наследие» . Американский совет по автоматическому контролю . Проверено 28 июля 2013 .См. 2004: Гарольд Дж. Кушнер : относительно динамического программирования: «У вариационного исчисления были родственные идеи (например, работа Каратеодори, уравнение Гамильтона-Якоби). Это привело к конфликтам с сообществом вариационного исчисления».
дальнейшее чтение
- Stampacchia, Гвидо (1976). "Двадцать третья проблема Гильберта: расширение вариационного исчисления". В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . XXVIII.2. Американское математическое общество . С. 611–628. ISBN 0-8218-1428-1.