В математике , и особенно в теории потенциала , принцип Дирихле заключается в предположении, что минимизатор определенного функционала энергии является решением уравнения Пуассона .
Официальное заявление
Принцип Дирихле гласит, что если функцияявляется решением уравнения Пуассона
на домене из с граничным условием
- на границе,
тогда u можно получить как минимизатор энергии Дирихле
среди всех дважды дифференцируемых функций такой, что на (при условии, что существует хотя бы одна функция, делающая интеграл Дирихле конечным). Эта концепция названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле .
История
Название «принцип Дирихле» принадлежит Риману , который применил его при изучении сложных аналитических функций . [1]
Риман (и другие, такие как Гаусс и Дирихле) знали, что интеграл Дирихле ограничен снизу, что доказывает существование инфимума ; однако он считал само собой разумеющимся существование функции, которая достигает минимума. Вейерштрасс опубликовал первую критику этого предположения в 1870 году, приведя пример функционала, имеющего наибольшую нижнюю границу, которая не является минимальным значением. Примером Вейерштрасса был функционал
где непрерывно на , непрерывно дифференцируемые на , и с учетом граничных условий , где а также константы и . Вейерштрасс показал, что, но нет допустимой функции может сделать равно 0. Этот пример не опровергает принцип Дирихле как таковой , поскольку интеграл в примере отличается от интеграла Дирихле. Но это действительно подорвало рассуждения, которые использовал Риман, и вызвало интерес к доказательству принципа Дирихле, а также к более широким достижениям в вариационном исчислении и, в конечном итоге, в функциональном анализе . [2] [3]
В 1900 году Гильберт позже обосновал использование Риманом принципа Дирихле, разработав прямой метод вариационного исчисления . [4]
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Курант Р. (1950), Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Приложение М. Шиффера , Interscience
- Лоуренс К. Эванс (1998), уравнения в частных производных , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0772-9
- Джакинта, Мариано ; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление I , Springer
- AF Monna (1975), принцип Дирихле: математическая комедия ошибок и ее влияние на развитие анализа , Oosthoek, Scheltema & Holkema
- Вайсштейн, Эрик В. «Принцип Дирихле» . MathWorld .