В математике , то прямой метод в исчислении вариаций является общим методом для построения доказательства существования минимайзера для данного функционала , [1] введено Станиславом Зарембой и Давида Гильберта около 1900 Метод основан на методах функционально анализ и топология . Прямые методы не только используются для доказательства существования решения, но и для вычисления решения с желаемой точностью. [2]
Метод
В вариационном исчислении используются функционалы. , где некоторое функциональное пространство и. Главный интерес темы - найти минимизаторы для таких функционалов, то есть функций такой, что:
Стандартным средством получения необходимых условий для того, чтобы функция была минимизатором, является уравнение Эйлера – Лагранжа . Но поиск минимизатора среди функций, удовлетворяющих им, может привести к ложным выводам, если существование минимизатора не установлено заранее.
Функционал должен быть ограничен снизу, чтобы иметь минимизатор. Это означает
Этого условия недостаточно, чтобы знать, что минимизатор существует, но оно показывает существование минимизирующей последовательности , то есть последовательности в такой, что
Прямой метод можно разбить на следующие этапы
- Возьмите минимизирующую последовательность для .
- Покажи это допускает некоторую подпоследовательность , сходящаяся к по топологии на .
- Покажи это последовательно полунепрерывно снизу по топологии.
Чтобы увидеть, что это показывает существование минимизатора, рассмотрим следующую характеризацию последовательно полунепрерывных снизу функций.
- Функция секвенциально полунепрерывно снизу, если
- для любой сходящейся последовательности в .
Выводы следует из
- ,
другими словами
- .
Подробности
Банаховы пространства
Прямой метод часто может успешно применяться, когда пространство является подмножеством сепарабельного рефлексивного банахова пространства . В этом случае из секвенциальной теоремы Банаха – Алаоглу следует, что любая ограниченная последовательность в имеет подпоследовательность, сходящуюся к некоторой в относительно слабой топологии . Если последовательно замыкается в , чтобы в , прямой метод может быть применен к функционалу показывая
- ограничено снизу,
- любая минимизирующая последовательность для ограничен, и
- слабо секвенциально полунепрерывно снизу, т. е. для любой слабо сходящейся последовательности он считает, что .
Вторая часть обычно завершается показом того, что допускает некоторое состояние роста. Примером является
- для некоторых , а также .
Функционал с этим свойством иногда называют принудительным. Отображение последовательной нижней полунепрерывности обычно является наиболее сложной частью при применении прямого метода. Ниже приведены некоторые теоремы для общего класса функционалов.
Соболевские пространства
Типичный функционал вариационного исчисления представляет собой интеграл вида
где это подмножество а также является действительной функцией на . Аргумент дифференцируемая функция , и его якобиан отождествляется с -вектор.
При выводе уравнения Эйлера – Лагранжа обычно предполагается, что имеет границу и пусть область определения для быть . Это пространство является банаховым, если наделено супремум-нормой , но не рефлексивно. При применении прямого метода функционал обычно определяется на пространстве Соболева с участием , которое является рефлексивным банаховым пространством. Производные от в формуле для в таком случае следует рассматривать как слабые производные . В следующем разделе представлены две теоремы о слабой секвенциальной полунепрерывности снизу функционалов указанного типа.
Последовательная полунепрерывность снизу интегралов
Поскольку многие функционалы в вариационном исчислении имеют вид
- ,
где открыто, теоремы, характеризующие функции для которого слабо секвенциально полунепрерывно снизу в с участием имеет большое значение.
В целом получается следующее: [3]
- Предположить, что это функция, которая имеет следующие свойства:
- Функция непрерывна почти для всех .
- Функция является измеримой для каждого.
- Существуют с конъюгатом Гёльдера а также такое, что почти для всех и каждый : . Здесь,обозначает фробениусову скалярное произведение из а также в ).
- Если функция выпукла почти для всех и каждый ,
- тогда последовательно слабо полунепрерывно снизу.
Когда или же справедлива следующая обратная теорема [4]
- Предположить, что непрерывно и удовлетворяет
- для каждого , а фиксированная функция увеличивается в а также , и локально интегрируемые в . Если последовательно слабо полунепрерывно снизу, то для любого заданного функция выпуклый.
В заключение, когда или же , функционал , предполагая разумный рост и ограниченность на , слабо секвенциально полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда функция выпуклый.
Если оба а также больше 1, можно ослабить необходимость выпуклости до обобщений выпуклости, а именно поливыпуклости и квазивыпуклости. [5]
Заметки
Ссылки и дополнительная литература
- Дакорогна, Бернар (1989). Прямые методы вариационного исчисления . Springer-Verlag. ISBN 0-387-50491-5.
- Фонсека, Ирен ; Джованни Леони (2007). Современные методы вариационного исчисления:Пространства . Springer. ISBN 978-0-387-35784-3.
- Морри, CB, мл .: множественные интегралы в вариационном исчислении . Springer, 1966 г. (переиздано в 2008 г.), Берлин ISBN 978-3-540-69915-6 .
- Йиндржих Нечас: Прямые методы в теории эллиптических уравнений . (Пер. С французского оригинала 1967 г. А. Куфнера и Г. Тронеля), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-10455-8 .
- Т. Рубичек (2000). «Прямой метод решения параболических задач». Adv. Математика. Sci. Прил . 10 . С. 57–65. Руководство по ремонту 1769181 .