Внутренний продукт Фробениуса

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Внутренний продукт Фробениуса»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , то фробениусова скалярное произведение представляет собой бинарную операцию , которая принимает два матриц и возвращает число. Это часто обозначается . Операция представляет собой покомпонентное внутреннее произведение двух матриц, как если бы они были векторами. Две матрицы должны иметь одинаковое измерение - одинаковое количество строк и столбцов - но не ограничиваются квадратными матрицами .${\ displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}}}$

Определение [ править ]

Даны две матрицы A и B размера n × m с комплексными числами , явно записанные как

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}}$

скалярное произведение Фробениуса определяется следующим суммированием Σ матричных элементов,

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i,j}{\overline {A_{ij}}}B_{ij}\,=\mathrm {Tr} \left({\overline {\mathbf {A} ^{T}}}\mathbf {B} \right)\equiv \mathrm {Tr} \left(\mathbf {A} ^{\!\dagger }\mathbf {B} \right)}$

где верхняя черта обозначает комплексное сопряжение , а обозначает эрмитово сопряжение . Явно эта сумма равна${\displaystyle \dagger }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=&{\overline {A}}_{11}B_{11}+{\overline {A}}_{12}B_{12}+\cdots +{\overline {A}}_{1m}B_{1m}\\&+{\overline {A}}_{21}B_{21}+{\overline {A}}_{22}B_{22}+\cdots +{\overline {A}}_{2m}B_{2m}\\&\vdots \\&+{\overline {A}}_{n1}B_{n1}+{\overline {A}}_{n2}B_{n2}+\cdots +{\overline {A}}_{nm}B_{nm}\\\end{aligned}}}$

Вычисление очень похоже на скалярное произведение , которое, в свою очередь, является примером внутреннего продукта.

Свойства [ править ]

Это полуторалинейная форма для четырех комплексных матриц A , B , C , D и двух комплексных чисел a и b :

${\displaystyle \langle a\mathbf {A} ,b\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {a}}b\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}$

${\displaystyle \langle \mathbf {A} +\mathbf {C} ,\mathbf {B} +\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }=\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {A} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }}$

Кроме того, обмен матрицами представляет собой комплексное сопряжение:

${\displaystyle \langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}}}$

Для той же матрицы

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }\geq 0\,.}$

Примеры [ править ]

Матрицы с действительным знаком [ править ]

Для двух вещественных матриц, если

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=16+12+4-1-10\\&=21\end{aligned}}}$

Комплексные матрицы [ править ]

Для двух комплексных матриц, если

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1+i&-2i\\3&-5\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-2&3i\\4-3i&6\end{pmatrix}}}$

тогда комплексные сопряжения (без транспонирования) равны

${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}1-i&+2i\\3&-5\end{pmatrix}}\,,\quad {\overline {\mathbf {B} }}={\begin{pmatrix}-2&-3i\\4+3i&6\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=(1-i)\cdot (-2)+(+2i)\cdot 3i+3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6\\&=(-2+2i)+-6+12-9i+-30\\&=-26-7i\end{aligned}}}$

пока

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1+i)+(-3i)\cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26+7i\end{aligned}}}$

Внутренние произведения Фробениуса A с самим собой и B с собой, соответственно

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40}$

${\displaystyle \langle \mathbf {B} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74}$

Норма Фробениуса [ править ]

Внутреннее произведение индуцирует норму Фробениуса

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }}}\,.}$

Отношение к другим продуктам [ править ]

Если каждая A и B являются матрицами с действительными значениями , внутреннее произведение Фробениуса является суммой записей произведения Адамара .

Если матрицы векторизованы (обозначены "vec", преобразованы в векторы-столбцы) следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {vec} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}A_{11}\\A_{12}\\\vdots \\A_{21}\\A_{22}\\\vdots \\A_{nm}\end{pmatrix}},\quad \mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}\,,}$

матричный продукт

${\displaystyle {\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\cdots &{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\cdots &{\overline {A}}_{nm}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}}$

воспроизводит определение, поэтому

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )\,.}$

См. Также [ править ]

• Произведение Адамара (матрицы)
• Внутреннее произведение Гильберта – Шмидта
• Кронекер продукт
• Матричный анализ
• Умножение матриц
• Матричная норма
• Тензорное произведение гильбертовых пространств - скалярное произведение Фробениуса - это частный случай, когда векторные пространства являются конечномерными действительными или комплексными векторными пространствами с обычным евклидовым скалярным произведением