В математике , в области численного анализа , методы Галеркина преобразуют непрерывную операторную задачу, такую как дифференциальное уравнение , обычно в слабой формулировке , в дискретную задачу путем применения линейных ограничений, определяемых конечными наборами базисных функций.
Часто, говоря о методе Галеркина, также указывается его название вместе с типичными допущениями и используемыми методами аппроксимации:
- Метод Ритца-Галеркина (после того, как Вальтер Ритц )правилопредполагает симметричное и положительно определенную билинейную форму в слабой формулировке , где дифференциальное уравнение для физической системы можно сформулироватьпомощью минимизации из в квадратичной функции , представляющей систему энергии и приближенное решение является линейной сочетание заданного набора базисных функций. [1]
- Метод Бубнова – Галеркина (по Ивану Бубнову ) не требует, чтобы билинейная форма была симметричной, и заменяет минимизацию энергии ограничениями ортогональности, определяемыми теми же базисными функциями, которые используются для аппроксимации решения. В операторной формулировке дифференциального уравнения метод Бубнова – Галеркина можно рассматривать как применение ортогональной проекции к оператору.
- Метод Петрова – Галеркина (по Георгию И. Петрову [2] ) позволяет использовать базисные функции для ограничений ортогональности (называемых тестовыми базисными функциями ), которые отличаются от базисных функций, используемых для аппроксимации решения. Метод Петрова – Галеркина можно рассматривать как расширение метода Бубнова – Галеркина, в котором применяется проекция, которая не обязательно ортогональна в операторной формулировке дифференциального уравнения .
Примеры методов Галеркина:
- метод Галеркина взвешенных невязок , наиболее распространенный метод расчета глобальной матрицы жесткости в методе конечных элементов , [3] [4]
- метод граничных элементов для решения интегральных уравнений,
- Методы подпространства Крылова . [5]
Введение в абстрактную проблему
Проблема в слабой постановке
Введем в рассмотрение метод Галеркина абстрактную задачу, сформулированную в виде слабой формулировки в гильбертовом пространстве. , а именно
- найти такое, что для всех .
Здесь, является билинейной формой (точные требования к будет уточнено позже) и - линейный ограниченный функционал на .
Понижение размерности Галеркина
Выберите подпространство размерности n и решить прогнозируемую задачу:
- Находить такое, что для всех .
Мы называем это уравнением Галеркина . Обратите внимание, что уравнение осталось неизменным, и изменились только пробелы. Сведение задачи к конечномерному векторному подпространству позволяет численно вычислить как конечную линейную комбинацию базисных векторов в .
Галеркин ортогональность
Ключевым свойством подхода Галеркина является то, что ошибка ортогональна выбранным подпространствам. С, мы можем использовать как тестовый вектор в исходном уравнении. Вычитая два, получаем соотношение ортогональности Галеркина для ошибки: что является ошибкой между решением исходной проблемы, , и решение уравнения Галеркина:
Матричная форма
Поскольку целью метода Галеркина является построение линейной системы уравнений , мы строим ее матричную форму, которую можно использовать для алгоритмического вычисления решения.
Позволять быть основой для. Затем достаточно использовать их по очереди для проверки уравнения Галеркина, т. Е. Найти такой, что
Мы расширяем относительно этой основы, и вставьте его в уравнение выше, чтобы получить
Это предыдущее уравнение на самом деле представляет собой линейную систему уравнений , где
Симметрия матрицы
В силу определения элементов матрицы матрица уравнения Галеркина является симметричной тогда и только тогда, когда билинейная форма симметрично.
Анализ методов Галеркина
Здесь мы ограничимся симметричными билинейными формами , т. Е.
Хотя на самом деле это не ограничение методов Галеркина, применение стандартной теории становится намного проще. Кроме того, в несимметричном случае может потребоваться метод Петрова – Галеркина .
Анализ этих методов проводится в два этапа. Сначала мы покажем, что уравнение Галеркина является корректной задачей в смысле Адамара и поэтому допускает единственное решение. На втором этапе исследуем качество аппроксимации решения Галеркина..
Анализ будет в основном опираться на два свойства билинейной формы , а именно:
- Ограниченность: для всех держит
- для некоторой постоянной
- Эллиптичность: для всех держит
- для некоторой постоянной
По теореме Лакса-Милграма (см. Слабую формулировку ) эти два условия подразумевают корректность исходной задачи в слабой формулировке. Все нормы в следующих разделах будут нормами, для которых выполняются указанные выше неравенства (эти нормы часто называют энергетической нормой).
Корректность уравнения Галеркина.
С , ограниченность и эллиптичность билинейной формы применяются к . Следовательно, корректность проблемы Галеркина фактически унаследована от корректности исходной проблемы.
Квази-наилучшее приближение (лемма Сеа)
Ошибка между исходным и решением Галеркина допускает оценку
Это означает, что с точностью до постоянного , решение Галеркина максимально приближен к исходному решению как и любой другой вектор в . В частности, достаточно будет изучить приближение пространствами, совершенно забывая о решаемом уравнении.
Доказательство
Поскольку доказательство очень простое и является основным принципом, лежащим в основе всех методов Галеркина, мы включаем его сюда: в силу эллиптичности и ограниченности билинейной формы (неравенства) и ортогональности Галеркина (знак равенства посередине), мы имеем для произвольных :
Деление на и брать инфимум по всем возможным влечет лемму.
Метод Галеркина для ступенчатых конструкций
И. Элишакоф , М. Амато, А. Марзани, П. А. Арван и Дж. Н. Редди [6] [7] [8] [9] изучали применение метода Галеркина к ступенчатым структурам. Они показали, что обобщенная функция, а именно функция единичного шага, дельта-функция Дирака и функция дублета необходимы для получения точных результатов.
История
Такой подход обычно приписывают Борису Галеркину . [10] [11] Метод был объяснен западному читателю Хенки [12] и Дунканом [13] [14] среди других. Его сходимость изучалась Михлиным [15] и Лейпгольцем [16] [17] [18] [19]. Его совпадение с методом Фурье было проиллюстрировано Элишаковым и др. [20] [21] [22] Его эквивалентность методу Ритца для консервативных задач была показана Зингером. [23] Гандер и Ваннер [24] показали, как методы Ритца и Галеркина привели к современному методу конечных элементов. Репин рассказал о столетнем развитии метода. [25] Елишаков, Каплунов и Каплунов [26] показывают, что метод Галеркина не был разработан Ритцем, вопреки утверждениям Тимошенко.
Смотрите также
- Метод Ритца
Рекомендации
- ^ А. Эрн, Дж. Л. Гермонд, Теория и практика конечных элементов , Springer, 2004, ISBN 0-387-20574-8
- ^ «Георгий Иванович Петров (к 100-летию со дня рождения)», Fluid Dynamics, май 2012 г., том 47, выпуск 3, стр. 289-291, DOI 10.1134 / S0015462812030015
- ^ С. Бреннер, Р.Л. Скотт, Математическая теория методов конечных элементов , 2-е издание, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1
- ^ PG Ciarlet, Метод конечных элементов для эллиптических задач , Северная Голландия, 1978, ISBN 0-444-85028-7
- ^ Y. Саад , Итерационные методы для разреженных линейных систем , 2-е издание, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2
- ^ Elishakoff И., Марко Amato, Пракаш анкита Arvan и Алессандро MARZANI, 2021 «Строгий реализация метода Галеркина для ступенчатых структур нуждаетсяобобщенные функции,» Журнал звука и вибрации, Vol. 490, артикул 115708
- ^ Elishakoff И., Марко Amato и Алессандро MARZANI, 2021, «Метод Галеркина вновь и исправлены в задаче Яворский и Доуэля», Механические системы и обработки сигналов, Vol. 156, статья 107604
- ^ Elishakoff И. и Марко Amato, 2021, «флаттер пучка в сверхзвуковом потоке: усеченный вариант уравнения Тимошенко-эренфестовского достаточно», Международный журнал механики и материалов вдизайна, в прессе.
- ^ Marco Amato, Elishakoff И. и JN Reddy, 2021, «флаттер многокомпонентного пучка в сверхзвуковом потоке», AIAA Journal, в прессе.
- ↑ Галеркин Б.Г., 1915. Стержни и пластины, ряды, встречающиеся в различных вопросах, касающихся упругого равновесия стержней и пластин, Вестник Инженеров и Техников, (Бюллетень инженеров и технологов), т. 19, 897-908 (на русском языке), (английский перевод: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info, 1963).
- ^ "Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)", (Жан-Клод Пон, редактор), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2-9700636-5-0
- ^ Генки Г., 1927, Eine Важная Vereinfachung дер Methode фон цур Ritz angennäherten Behandlung фон Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für Angewandte Mathematik унд Mechanik, Vol. 7, 80-81 (на немецком языке).
- ^ Дункан, WJ, 1937, Метод Галеркина в механике и дифференциальных уравнениях, Отчеты и меморандумы Комитета по авиационным исследованиям, № 1798.
- ^ Дункан, WJ, 1938, Принципы метода Галеркина, Отчет и меморандумы об авиационных исследованиях, № 1894.
- ^ С.Г. Михлин, "Вариационные методы в математической физике", Pergamon Press, 1964
- ^ Leipholz HHE, 1976, Использование метода Галеркина для проблем с вибрацией, Shock and Vibration Digest, Vol. 8, 3-18
- ^ Leipholz HHE, 1967, Über умирают Wahl дер Ansatzfunktionen BEI дер Durchfuchrung де Verfahrens фон ГАЛЕРКИНА, Acta Mech., Vol. 3, 295-317 (на немецком языке).
- ^ Leipholz HHE, 1967, Über умирают Befreiung дер Anzatzfunktionen де Ritzschen унд Galerkinschen Verfahrens Фон ден Randbedingungen, Ing. Arch., Vol. 36, 251-261 (на немецком языке).
- ^ Leipholz, HHE, 1976, Использование метода Галеркина для проблем с вибрацией, The Shock and Vibration Digest Vol. 8, 3-18, 1976.
- ^ Elishakoff И., Ли, LHN, 1986, О Эквивалентность Галеркина и Фурье методов серии для одного класса задач, журнал звука и вибрации, Vol. 109, 174–177.
- ^ Елишаков, И., Зингалес, М., 2003, Совпадение решения Бубнова-Галеркина и точного решения в задаче прикладной механики, Журнал прикладной механики, Vol. 70, 777-779.
- ^ Elishakoff И., Zingales М., 2004, Конвергенция Бубнова-ГалеркинаПРИМЕРЕ, АИАА Journal, Vol. 42 (9), 1931-1933.
- ↑ Сингер Дж., 1962, Об эквивалентности методов Галеркина и Рэлея-Ритца, Журнал Королевского авиационного общества, Vol. 66, No. 621, p.592.
- ↑ Gander, MJ, Wanner, G., 2012, От Эйлера, Ритца и Галеркина до современных вычислений, SIAM Review, Vol. 54 (4), 627-666.
- ^ ] Репин С., 2017, Сто лет метода Галеркина, вычислительных методов и прикладной математики, Том 17 (3), 351-357.
- ^ .Elishakoff, I., Julius Kaplunov, Elizabeth Kaplunov, 2020, «Метод Галеркина не был разработан Ритцем, вопреки утверждению Тимошенко», в Нелинейной динамике дискретных и непрерывных систем (А. Абрамян, И. Андрианов и В. Gaiko, eds.), Стр. 63-82, Springer, Berlin.
Внешние ссылки
- «Метод Галеркина» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Метод Галеркина из MathWorld