Метод Петрова – Галеркина - это математический метод, используемый для аппроксимации решений уравнений в частных производных, которые содержат члены с нечетным порядком и где пробная функция и функция решения принадлежат разным функциональным пространствам. [1] Его можно рассматривать как расширение метода Бубнова-Галеркина, в котором базисы тестовых функций и функций решения совпадают. В операторной формулировке дифференциального уравнения метод Петрова – Галеркина можно рассматривать как применение проекции, которая не обязательно ортогональна, в отличие от метода Бубнова-Галеркина .
Метод Петрова-Галеркина является естественным продолжением метода Галеркина и может быть введен аналогичным образом следующим образом.
Проблема в слабой постановке
Рассмотрим абстрактную задачу, сформулированную как слабую формулировку на паре гильбертовых пространств а также , а именно
- найти такой, что для всех .
Здесь, является билинейной формой и - линейный ограниченный функционал на .
Понижение размерности Петрова-Галеркина
Выбрать подпространства размерности n иразмерности m и решить поставленную задачу:
- Находить такое, что для всех для всех .
Мы замечаем, что уравнение осталось неизменным, а изменились только пробелы. Сведение задачи к конечномерному векторному подпространству позволяет численно вычислить как конечную линейную комбинацию базисных векторов в .
Обобщенная ортогональность Петрова-Галеркина
Ключевым свойством подхода Петрова-Галеркина является то, что ошибка в некотором смысле «ортогональна» выбранным подпространствам. С, мы можем использовать как тестовый вектор в исходном уравнении. Вычитая два, мы получаем соотношение для ошибки: что является ошибкой между решением исходной проблемы, , и решение уравнения Галеркина: , следующим образом
- для всех .
Матричная форма
Поскольку целью аппроксимации является создание линейной системы уравнений , мы строим ее матричную форму, которую можно использовать для алгоритмического вычисления решения.
Позволять быть основой для а также быть основой для. Затем достаточно использовать их по очереди для проверки уравнения Галеркина, т. Е. Найти такой, что
Мы расширяем относительно основы решения, и вставьте его в уравнение выше, чтобы получить
Это предыдущее уравнение на самом деле представляет собой линейную систему уравнений , где
Симметрия матрицы
Из-за определения элементов матрицы матрица является симметричным , если, билинейная форма симметрично, , , а также для всех В отличие от метода Бубнова-Галеркина матрица системы даже не квадрат, если
Пример дифференциального уравнения, содержащего член нечетного порядка, выглядит следующим образом:
Если тестовая функция используется для получения слабой формы, после интегрирования по частям окончательная формулировка Галеркина будет иметь следующий вид:
Член с четным порядком (2-й член в LHS) теперь симметричен, так как тестовая функция и функция решения имеют одинаковый порядок дифференцирования, и они оба принадлежат . Однако первый член в LHS никак не может быть получен таким образом. В этом случае пространство решений и тестовое функциональное пространство различны, поэтому обычно применяемый метод Бубнова-Галеркина не может быть использован.