Петлевая квантовая гравитация

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья содержит инструкции, советы или практические советы . Цель Википедии - представить факты, а не тренировать. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , переписав содержание с практическими рекомендациями или переместив ее в Викиверситет , Викиучебники или Викигид . ( Май 2019 г. ) В тексте статьи используется больше слов, чем необходимо . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , используя меньше слов, сохраняя при этом содержание статьи. ( Май 2019 г. ) Теория квантовой гравитации, слияние квантовой механики и общей теории относительности ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

За пределами стандартной модели
Смоделированные данные детектора частиц CMS на большом адронном коллайдере, изображающие бозон Хиггса, образованный сталкивающимися протонами, распадающимися на адронные струи и электроны
Стандартная модель
Свидетельство Проблема иерархии Темная материя Темная энергия Квинтэссенция Фантомная энергия Темное излучение Темный фотон Проблема космологической постоянной Сильная проблема CP Колебания нейтрино
Теории Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Пятая сила F-теория Теория всего Гипотеза математической вселенной Единая теория поля Теория Великого Объединения Море Дирака Разноцветный Теория Калуцы – Клейна Теория объективного коллапса Квантовая теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Конформная теория поля Двумерная конформная теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля 6D (2,0) суперконформная теория поля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая механика Квантовая космология Космология браны Теория струн Теория суперструн М-теория Гипотеза математической вселенной Зеркальное дело Модель Рэндалла – Сундрама теория де Бройля – Бома Стохастическая электродинамика Гипотеза термализации собственного состояния Теория Янга – Миллса N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса Твисторная теория струн Темная жидкость Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Причинные фермионные системы Квантовая термодинамика Термодинамика черной дыры Цифровая физика Физика без частиц Гравифотон Гравискалар Гравитон Гравитино Массивная гравитация Теория Янга – Миллса Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория скрытых переменных Теория пилотных волн Симметрия CPT
Суперсимметрия MSSM NMSSM Теория суперструн М-теория Супергравитация Нарушение суперсимметрии Дополнительные размеры Большие дополнительные размеры
Квантовая гравитация Ложный вакуум Теория струн Отжим пена Квантовая пена Квантовая геометрия Петлевая квантовая гравитация Квантовая космология Петлевая квантовая космология Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Симметрия событий Каноническая квантовая гравитация Полуклассическая гравитация Теория сверхтекучего вакуума
Эксперименты ЭННИ Гран Сассо Я НЕ LHC SNO Супер-К Теватрон Новая звезда
v т е

Петлевая квантовая гравитация ( LQG ) - это теория квантовой гравитации , которая направлена ​​на объединение квантовой механики и общей теории относительности , включая материю Стандартной модели в структуру, установленную для случая чистой квантовой гравитации. В качестве кандидата на квантовую гравитацию LQG конкурирует с теорией струн . ^[1]

Согласно Альберту Эйнштейну , гравитация - это не сила, а свойство самого пространства-времени . До сих пор все попытки рассматривать гравитацию как еще одну квантовую силу, равную по важности электромагнетизму и ядерным силам, потерпели неудачу, а петлевая квантовая гравитация - это попытка разработать квантовую теорию гравитации, основанную непосредственно на геометрической формулировке Эйнштейна, а не на трактовке гравитации. как сила. Для этого в теории LQG пространство и время квантуются аналогично квантованию таких величин, как энергия и импульс в квантовой механике . Теория дает физическую картину пространства-времени, в котором пространство и время гранулярны и дискретны непосредственно из-за квантования, как фотоны.в квантовой теории электромагнетизма и дискретных энергетических уровней в атомах . Смысл квантованного пространства состоит в том, что существует минимальное расстояние.

LQG постулирует, что структура пространства состоит из конечных петель, сплетенных в очень тонкую ткань или сеть. Эти петлевые сети называются спиновыми сетями . Эволюция спиновой сети или спиновой пены имеет масштаб порядка планковской длины , примерно 10 ^-35 метров, и меньшие масштабы не имеют смысла. Следовательно, не только материя, но и само пространство предпочитает атомную структуру .

Области исследований, в которых участвуют около 30 исследовательских групп по всему миру ^[2], разделяют основные физические предположения и математическое описание квантового пространства. Исследования развивались в двух направлениях: более традиционная каноническая петлевая квантовая гравитация и новая ковариантная петлевая квантовая гравитация, называемая теорией спиновой пены .

Наиболее развитая теория, которая была выдвинута как прямой результат петлевой квантовой гравитации, называется петлевой квантовой космологией (LQC). LQC продвигает изучение ранней Вселенной, включая концепцию Большого взрыва в более широкую теорию Большого Взрыва , которая рассматривает Большой Взрыв как начало периода расширения , следующего за периодом сжатия, о котором можно было бы говорить. как Big Crunch .

История [ править ]

В 1986 году Абхай Аштекар переформулировал общую теорию относительности Эйнштейна на языке, более близком к остальной части фундаментальной физики. ^{[ необходимая цитата ]} Вскоре после этого Тед Якобсон и Ли Смолин поняли, что формальное уравнение квантовой гравитации, называемое уравнением Уиллера – ДеВитта , допускает решения, помеченные петлями при переписывании в новых переменных Аштекара . Карло Ровелли и Смолин определили непертурбативную и независимую от фона квантовую теорию гравитации в терминах этих петлевых решений. Хорхе Пуллини Ежи Левандовски понимал, что пересечения петель важны для непротиворечивости теории, и что теория должна быть сформулирована в терминах пересекающихся петель или графов .

В 1994 году Ровелли и Смолин показали, что квантовые операторы теории, связанные с площадью и объемом, имеют дискретный спектр. То есть геометрия квантуется. Этот результат определяет явный базис состояний квантовой геометрии, которая оказалась метить Роджер Пенроуз «s спиновых сетей , которые являются графиками , помеченными спинами .

Каноническая версия динамики была установлена ​​Томасом Тиманом, который определил гамильтонов оператор без аномалий и показал существование математически непротиворечивой теории, не зависящей от фона. Ковариантная, или « спиновая пена », версия динамики разрабатывалась совместно в течение нескольких десятилетий исследовательскими группами во Франции, Канаде, Великобритании, Польше и Германии. Он был завершен в 2008 году, что привело к определению семейства амплитуд переходов, которое в классическом пределе можно показать как связанное с семейством усечений общей теории относительности. ^[3] Конечность этих амплитуд была доказана в 2011 году. ^{[4] [5]} Это требует существования положительной космологической постоянной, что согласуется с наблюдаемым ускорением расширения Вселенной .

Общая ковариация и независимость от фона [ править ]

В теоретической физике общая ковариантность - это неизменность формы физических законов относительно произвольных дифференцируемых преобразований координат. Основная идея заключается в том, что координаты - это всего лишь уловки, используемые при описании природы, и, следовательно, не должны играть никакой роли в формулировке фундаментальных физических законов. Более важным требованием является принцип общей теории относительности, согласно которому законы физики принимают одинаковую форму во всех системах отсчета. Это обобщение принципа специальной теории относительности , согласно которому законы физики принимают одну и ту же форму во всех инерциальных системах отсчета.

В математике диффеоморфизм - это изоморфизм в категории гладких многообразий. Это обратимая функция, которая отображает одно дифференцируемое многообразие на другое, так что и функция, и обратная к ней являются гладкими. Это определяющие преобразования симметрии общей теории относительности, поскольку теория сформулирована только в терминах дифференцируемого многообразия.

В общей теории относительности общая ковариантность тесно связана с «инвариантностью диффеоморфизма». Эта симметрия - одна из определяющих черт теории. Однако распространено заблуждение, что «инвариантность диффеоморфизма» относится к инвариантности физических предсказаний теории относительно произвольных преобразований координат ; это неверно, и фактически каждая физическая теория инвариантна относительно преобразований координат таким образом. Диффеоморфизмы , как их определяют математики, соответствуют чему-то гораздо более радикальному; интуитивно они могут быть представлены как одновременное перетаскивание всех физических полей (включая гравитационное) по голому дифференцируемому многообразию.оставаясь в той же системе координат. Диффеоморфизмы - это истинные преобразования симметрии общей теории относительности, и они возникают из утверждения, что формулировка теории основана на голом дифференцируемом многообразии, но не на какой-либо предшествующей геометрии - теория не зависит от фона.(это глубокий сдвиг, поскольку все физические теории до общей теории относительности имели в своей формулировке предшествующую геометрию). При таких преобразованиях сохраняется совпадение значений, которые гравитационное поле принимает в таком-то «месте», и значений, которые там принимают поля материи. Из этих соотношений можно составить представление о том, что материя расположена относительно гравитационного поля, или наоборот. Это то, что обнаружил Эйнштейн: физические объекты расположены только относительно друг друга, а не относительно пространственно-временного многообразия. Как выразился Карло Ровелли : «Больше никаких полей в пространстве-времени: только поля в полях». ^[6]В этом истинный смысл поговорки «Сцена исчезает и становится одним из актеров»; Пространство-время как «контейнер», в котором происходит физика, не имеет объективного физического смысла, и вместо этого гравитационное взаимодействие представлено только как одно из полей, формирующих мир. Это известно как реляционалистская интерпретация пространства-времени. Осознание Эйнштейном того, что общую теорию относительности следует интерпретировать таким образом, послужило источником его замечания «За гранью моих самых смелых ожиданий».

В LQG этот аспект общей теории относительности воспринимается серьезно, и эта симметрия сохраняется, требуя, чтобы физические состояния оставались инвариантными относительно генераторов диффеоморфизмов. Интерпретация этого условия хорошо понятна для чисто пространственных диффеоморфизмов. Однако понимание диффеоморфизмов, связанных со временем ( гамильтонова связь ), более тонкое, потому что оно связано с динамикой и так называемой « проблемой времени » в общей теории относительности. ^[7] Пока не найдена общепринятая система расчетов для учета этого ограничения. ^{[8] [9]} Правдоподобным кандидатом на квантовую гамильтонову связь является оператор, введенный Тиманом. ^[10]

LQG формально не зависит от фона . Уравнения LQG не вложены в пространство и время и не зависят от них (за исключением его инвариантной топологии). Вместо этого ожидается, что они дадут начало пространству и времени на расстояниях, которые в 10 раз превышают планковскую длину . Вопрос о независимости фона в LQG все еще имеет некоторые нерешенные тонкости. Например, некоторые выводы требуют фиксированного выбора топологии , в то время как любая последовательная квантовая теория гравитации должна включать изменение топологии как динамический процесс.

Ограничения и их алгебра скобок Пуассона [ править ]

Ограничения классической канонической общей теории относительности [ править ]

Общая теория относительности - это пример системы с ограничениями. В гамильтоновой формулировке обычной классической механики скобка Пуассона является важным понятием. «Каноническая система координат» состоит из канонических переменных положения и импульса, которые удовлетворяют каноническим соотношениям скобок Пуассона,

${\ displaystyle \ {q_ {i}, p_ {j} \} = \ delta _ {ij}}$

где скобка Пуассона имеет вид

${\ Displaystyle \ {е, г \} = \ сумма _ {я = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial q_ {i}}} {\ frac {\ partial g } {\ partial p_ {i}}} - {\ frac {\ partial f} {\ partial p_ {i}}} {\ frac {\ partial g} {\ partial q_ {i}}} \ right).}$

для произвольных функций фазового пространства и . Используя скобки Пуассона, уравнения Гамильтона можно переписать как${\ displaystyle f (q_ {i}, p_ {j})}$${\ displaystyle g (q_ {i}, p_ {j})}$

${\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = \ {q_ {i}, H \},}$

${\ displaystyle {\ dot {p}} _ {i} = \ {p_ {i}, H \}.}$

Эти уравнения описывают « поток » или орбиту в фазовом пространстве, порожденную гамильтонианом . Для любой функции фазового пространства дает${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle F (д, р)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} F (q_ {i}, p_ {i}) = \ {F, H \}.}$

Подобным образом скобка Пуассона между ограничением и переменными фазового пространства генерирует поток по орбите в (неограниченном) фазовом пространстве, порождаемый ограничением. В переформулировке Аштекара классической общей теории относительности есть три типа ограничений:

SU (2) Калибровочные ограничения Гаусса [ править ]

Ограничения Гаусса

${\ displaystyle G_ {j} (x) = 0.}$

Это представляет собой бесконечное количество ограничений, по одному на каждое значение . Они возникают в результате переформулирования общей теории относительности в виде калибровочной теории типа Янга – Миллса (Янг – Миллс - это обобщение теории Максвелла, в которой калибровочное поле преобразуется как вектор при преобразованиях Гаусса, то есть калибровочное поле имеет вид, где является внутренним индексом (см. Переменные Аштекара ). Это бесконечное число гауссовых калибровочных ограничений может быть « размазывается » по тестовым полей с внутренними индексами, ,${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (2)}$ ${\ Displaystyle А_ {а} ^ {я} (х)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ lambda ^ {j} (х)}$

${\ displaystyle G (\ lambda) = \ int G_ {j} (x) \ lambda ^ {j} (x) \, \ operatorname {d} ^ {3} \! x.}$

который должен исчезнуть для любой такой функции. Эти размытые ограничения, определенные относительно подходящего пространства размывающих функций, дают эквивалентное описание исходным ограничениям.

Формулировку Аштекара можно рассматривать как обычную теорию Янга – Миллса вместе со следующими специальными ограничениями, вытекающими из инвариантности диффеоморфизма, и гамильтонианом, который обращается в нуль. Таким образом, динамика такой теории сильно отличается от динамики обычной теории Янга – Миллса.${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (2)}$

Ограничения пространственных диффеоморфизмов [ править ]

Ограничения пространственного диффеоморфизма

${\ Displaystyle C_ {а} (х) = 0}$

можно размазать так называемыми функциями сдвига, чтобы получить эквивалентный набор ограничений размазанного пространственного диффеоморфизма,${\ Displaystyle {\ vec {N}} (х)}$

${\ displaystyle C ({\ vec {N}}) = \ int C_ {a} (x) \, N ^ {a} (x) \, \ operatorname {d} ^ {3} \! x.}$

Они порождают пространственные диффеоморфизмы вдоль орбит, определяемых функцией сдвига .${\ Displaystyle N ^ {а} (х)}$

Гамильтоновы ограничения [ править ]

Гамильтониан

${\ Displaystyle Н (х) = 0}$

могут быть размазаны так называемыми функциями отклонения, чтобы дать эквивалентный набор размазанных гамильтоновых ограничений,${\ Displaystyle N (х)}$

${\ Displaystyle H (N) = \ int H (x) N (x) \, \ operatorname {d} ^ {3} \! x}$.

Они порождают диффеоморфизмы времени вдоль орбит, определяемых функцией задержки .${\ Displaystyle N (х)}$

В формулировке Аштекара калибровочное поле - это конфигурационная переменная (конфигурационная переменная аналогична в обычной механике), а его сопряженный импульс - (уплотненная) триада (электрическое поле) . Ограничения - это определенные функции этих переменных фазового пространства.${\ Displaystyle А_ {а} ^ {я} (х)}$${\ displaystyle q}$${\ Displaystyle {\ тильда {E}} _ {я} ^ {а} (х)}$

Важный аспект действия ограничений на произвольных фазовом пространстве функций является производным Ли , , которая в основном производной операция, Инфинитезимально «сдвиги» функция вдоль некоторой орбиты с касательным вектором .${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {V}}$${\ displaystyle V}$

Наблюдения Дирака [ править ]

Ограничения определяют поверхность ограничения в исходном фазовом пространстве. Калибровочные движения ограничений применяются ко всему фазовому пространству, но имеют особенность, заключающуюся в том, что они оставляют ограничивающую поверхность там, где она есть, и, таким образом, орбита точки на гиперповерхности при калибровочных преобразованиях будет орбитой полностью внутри нее. Наблюдаемые Дирака определяются как функции фазового пространства , которые Пуассон коммутирует со всеми ограничениями, когда накладываются уравнения связей,${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle \ {G_ {j}, O \} _ {G_ {j} = C_ {a} = H = 0} = \ {C_ {a}, O \} _ {G_ {j} = C_ {a } = H = 0} = \ {H, O \} _ {G_ {j} = C_ {a} = H = 0} = 0}$,

то есть, это величины, определенные на поверхности связи, которые инвариантны относительно калибровочных преобразований теории.

Затем решение только ограничения и определение наблюдаемых Дирака по отношению к нему возвращает нас к фазовому пространству Арновитта – Дезера – Миснера (ADM) с ограничениями . Динамика общей теории относительности порождается ограничениями, можно показать, что шесть уравнений Эйнштейна, описывающих эволюцию во времени (на самом деле калибровочное преобразование), могут быть получены путем вычисления скобок Пуассона трехметрики и ее сопряженного импульса с линейной комбинацией пространственный диффеоморфизм и гамильтонова связь. Обнуление ограничений, дающих физическое фазовое пространство, - это четыре других уравнения Эйнштейна. ^[11]${\ displaystyle G_ {j} = 0}$${\ displaystyle H, C_ {a}}$

Квантование ограничений - уравнения квантовой общей теории относительности [ править ]

Предыстория и новые переменные Аштекара [ править ]

Многие технические проблемы канонической квантовой гравитации связаны с ограничениями. Каноническая общая теория относительности изначально была сформулирована в терминах метрических переменных, но казалось, что возникли непреодолимые математические трудности в продвижении ограничений для квантовых операторов из-за их сильно нелинейной зависимости от канонических переменных. Уравнения были значительно упрощены с введением новых переменных Аштекара. Переменные Аштекара описывают каноническую общую теорию относительности в терминах новой пары канонических переменных, более близких к параметрам калибровочных теорий. Первый шаг состоит в использовании уплотненных триад (триада - это просто три ортогональных векторных поля, помеченных значком, а уплотненная триада определяется как${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ Displaystyle я = 1,2,3}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} = {\ sqrt {\ det (q)}} E_ {i} ^ {a}}$) для кодирования информации о пространственной метрике,

${\ displaystyle \ det (q) q ^ {ab} = {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} \ delta ^ {ij} }$.

(где - метрика плоского пространства, и вышеприведенное уравнение выражает, что , записанное в терминах базиса , является локально плоским). (Формулировка общей теории относительности с использованием триад вместо метрик не была новой.) Уплотненные триады не уникальны, и фактически можно выполнить локальное вращение в пространстве по отношению к внутренним индексам . Канонически сопряженная переменная связана с внешней кривизной соотношением . Но проблемы, подобные использованию метрической формулировки, возникают, когда кто-то пытается квантовать теорию. Новая идея Аштекара заключалась в том, чтобы ввести новую переменную конфигурации,${\ displaystyle \ delta ^ {ij}}$${\ displaystyle q ^ {ab}}$${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle i}$${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

которое ведет себя как сложное соединение, связанное с так называемым спин-соединением через . Это называется хиральной спиновой связью. Он определяет ковариантную производную . Оказывается, это сопряженный импульс , и вместе они образуют новые переменные Аштекара.${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$

Выражения для ограничений в переменных Аштекар; закон Гаусса, ограничение пространственного диффеоморфизма и (уплотненное) гамильтоново ограничение читаются следующим образом:

${\displaystyle G^{i}={\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0}$

${\displaystyle C_{a}={\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-A_{a}^{i}({\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b})=V_{a}-A_{a}^{i}G^{i}=0}$,

${\displaystyle {\tilde {H}}=\epsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0}$

соответственно, где - тензор напряженности поля соединения, а где - векторное ограничение. Вышеупомянутая локальная в пространстве вращательная инвариантность является оригиналом калибровочной инвариантности, выраженной здесь законом Гаусса. Обратите внимание, что эти ограничения полиномиальны по фундаментальным переменным, в отличие от ограничений в метрической формулировке. Это резкое упрощение, казалось, открыло путь к количественной оценке ограничений. (См. Статью Самодвойственное действие Палатини для вывода формализма Аштекара).${\displaystyle F_{ab}^{i}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

С новыми переменными Аштекара, учитывая переменную конфигурации , естественно рассматривать волновые функции . Это представление соединения. Это аналог обычной квантовой механики с переменной конфигурации и волновыми функциями . Переменная конфигурации повышается до квантового оператора через:${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi (A)=A_{a}^{i}\Psi (A),}$

(аналогично ) и триады являются (функциональными) производными,${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E_{i}^{a}}}}\Psi (A)=-i{\delta \Psi (A) \over \delta A_{a}^{i}}}$.

(аналог ). При переходе к квантовой теории связи становятся операторами на кинематическом гильбертовом пространстве (безусловном гильбертовом пространстве Янга – Миллса). Обратите внимание, что различное упорядочение «и » при замене «производных» порождает разные операторы - сделанный выбор называется упорядочением по факторам и должен выбираться с помощью физических соображений. Формально они читают${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tilde {E}}}$${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{a}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}\vert \psi \rangle =0}$.

По-прежнему существуют проблемы с правильным определением всех этих уравнений и их решением. Например, гамильтоново ограничение, с которым работал Аштекар, было уплотненной версией вместо исходного гамильтониана, то есть с которым он работал . Возникли серьезные трудности с переводом этой величины в квантовый оператор. Более того, хотя переменные Аштекара упрощали гамильтониан, они сложны. При квантовании теории трудно обеспечить восстановление реальной общей теории относительности в отличие от сложной общей теории относительности.${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$

Квантовые ограничения как уравнения квантовой общей теории относительности [ править ]

Классический результат скобки Пуассона размытого закона Гаусса со связностями:${\displaystyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$

${\displaystyle \{G(\lambda ),A_{a}^{i}\}=\partial _{a}\lambda ^{i}+g\epsilon ^{ijk}A_{a}^{j}\lambda ^{k}=(D_{a}\lambda )^{i}.}$

Квантовый закон Гаусса гласит

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\Psi (A)=-iD_{a}{\delta \lambda \Psi [A] \over \delta A_{a}^{j}}=0.}$

Если размыть квантовый закон Гаусса и изучить его действие на квантовое состояние, то обнаружится, что действие ограничения на квантовое состояние эквивалентно сдвигу аргумента на бесконечно малое (в смысле малого параметра ) калибровочное преобразование,${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \left[1+\int d^{3}x\lambda ^{j}(x){\hat {G}}_{j}\right]\Psi (A)=\Psi [A+D\lambda ]=\Psi [A],}$

а последнее тождество проистекает из того факта, что ограничение аннулирует состояние. Таким образом, ограничение как квантовый оператор накладывает ту же симметрию, что и его классическое исчезновение: оно говорит нам, что функции должны быть калибровочно-инвариантными функциями связи. Та же идея верна и для других ограничений.${\displaystyle \Psi [A]}$

Следовательно, двухшаговый процесс в классической теории решения ограничений (эквивалентный решению условий допустимости для начальных данных) и поиск калибровочных орбит (решение `` эволюционных '' уравнений) заменяется одношаговым процессом в квантовой теория, а именно поиск решений квантовых уравнений . Это потому, что он, очевидно, решает ограничение на квантовом уровне и одновременно ищет состояния, которые являются калибровочно-инвариантными, поскольку являются квантовым генератором калибровочных преобразований (калибровочно-инвариантные функции постоянны вдоль калибровочных орбит и, таким образом, характеризуют их). ^[12]${\displaystyle C_{I}=0}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$ Напомним, что на классическом уровне решение условий допустимости и эволюционных уравнений было эквивалентно решению всех полевых уравнений Эйнштейна, это подчеркивает центральную роль квантовых уравнений связи в канонической квантовой гравитации.

Введение представления цикла [ править ]

В частности, неспособность иметь хороший контроль над пространством решений закона Гаусса и ограничениями пространственного диффеоморфизма побудила Ровелли и Смолина рассмотреть петлевое представление в калибровочных теориях и квантовой гравитации . ^[13]

LQG включает в себя концепцию голономии . Голономия - это мера того, насколько начальные и конечные значения спинора или вектора различаются после параллельного переноса по замкнутому контуру; это обозначено

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$.

Знание голономий эквивалентно знанию связи с точностью до калибровочной эквивалентности. Холономии также могут быть связаны с ребром; по закону Гаусса они преобразуются как

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y)}$.

Для замкнутого цикла и предположения дает${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

или же

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$.

След голономии вокруг замкнутого контура записывается

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

и называется петлей Вильсона. Таким образом, петли Вильсона калибровочно инвариантны. Явная форма Голономии такова:

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

где - кривая, вдоль которой оценивается голономия, и - параметр вдоль кривой, обозначает значимые факторы упорядочения путей для меньших значений, появляющихся слева, и - матрицы, удовлетворяющие алгебре${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T_{k}}$.

В матрицы Паули удовлетворяют соотношению выше. Оказывается, существует бесконечно много других примеров наборов матриц, которые удовлетворяют этим отношениям, где каждый набор включает матрицы с , и где ни один из них не может быть рассмотрен как «разлагающийся» на два или более примеров более низкой размерности. Они называются различными неприводимые представления о алгебре. Наиболее фундаментальным представлением являются матрицы Паули. Голономия обозначается полуцелым числом в соответствии с используемым неприводимым представлением.${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle N/2}$

Использование петель Вильсона явно решает калибровочное ограничение Гаусса. Представление петли требуется для обработки ограничения пространственного диффеоморфизма. Используя петли Вильсона в качестве основы, любая калибровочно-инвариантная функция Гаусса расширяется как

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A].}$

Это называется петлевым преобразованием и аналогично импульсному представлению в квантовой механике (см. Позиционное и импульсное пространство ). Представление QM имеет основу состояний, помеченных числом, и расширяется как${\displaystyle \exp(ikx)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx)}$.

и работает с коэффициентами разложения ${\displaystyle \psi (k).}$

Преобразование обратного цикла определяется как

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A]}$.

Это определяет представление цикла. Учитывая оператор в представлении соединения,${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]\qquad Eq\;1,}$

необходимо определить соответствующий оператор on в представлении цикла через,${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ]\qquad Eq\;2,}$

где определяется обычным обратным преобразованием цикла,${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A]\qquad Eq\;3.}$

Формула преобразования, описывающая действие оператора on в терминах действия оператора on , затем получается путем приравнивания правой части к правой стороне с заменой в , а именно${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$${\displaystyle Eq\;2}$${\displaystyle Eq\;3}$${\displaystyle Eq\;1}$${\displaystyle Eq\;3}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A]}$,

или же

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A]}$,

где означает оператор, но с обратным порядком множителей (вспомните из простой квантовой механики, где произведение операторов меняется на обратное при сопряжении). Действие этого оператора в цикле Вильсона оценивается как вычисление в представлении соединения, и результат преобразуется исключительно как манипуляция в терминах циклов (в отношении действия в цикле Вильсона выбранный преобразованный оператор - это оператор с порядок факторов, противоположный тому, который используется для его воздействия на волновые функции ). Это дает физический смысл оператора . Например, если соответствуют пространственному диффеоморфизму, то это можно рассматривать как хранение поля соединения из${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$где он находится при выполнении пространственного диффеоморфизма вместо. Следовательно, смысл является пространственным диффеоморфизмом на аргументе .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

В представлении петли ограничение пространственного диффеоморфизма решается путем рассмотрения функций петель , которые инвариантны относительно пространственных диффеоморфизмов петли . То есть используются инварианты узлов . Это открывает неожиданную связь между теорией узлов и квантовой гравитацией.${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$${\displaystyle \gamma }$

Любой набор непересекающихся луп Вильсона удовлетворяет квантовому гамильтонову ограничению Аштекара. Используя особый порядок членов и заменяя производной, действие квантовой гамильтоновой связи на петлю Вильсона имеет вид${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}^{\dagger }W_{\gamma }[A]=-\epsilon _{ijk}{\hat {F}}_{ab}^{k}{\frac {\delta }{\delta A_{a}^{i}}}{\frac {\delta }{\delta A_{b}^{j}}}W_{\gamma }[A]}$.

Когда берется производная, она приводит к уменьшению касательного вектора петли . Так,${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\hat {F}}_{ab}^{i}{\dot {\gamma }}^{a}{\dot {\gamma }}^{b}}$.

Однако as является антисимметричным по индексам, и это обращается в нуль (это предполагает, что нигде не является разрывом, и поэтому касательный вектор уникален).${\displaystyle F_{ab}^{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \gamma }$

Что касается представления петли, волновые функции исчезают, когда петля имеет разрывы и является инвариантом узла. Такие функции решают закон Гаусса, пространственную связь диффеоморфизма и (формально) гамильтонову связь. Это дает бесконечный набор точных (хотя бы формальных) решений всех уравнений квантовой общей теории относительности! ^[13] Это вызвало большой интерес к подходу и в конечном итоге привело к LQG.${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

Геометрические операторы, необходимость пересечения петель Вильсона и состояний спиновой сети [ править ]

Самая простая геометрическая величина - это площадь. Выберем координаты так, чтобы поверхность характеризовалась . Площадь маленького параллелограмма поверхности равна произведению длины каждой стороны на время, где - угол между сторонами. Скажем, одно ребро задается вектором, а другое к тому времени,${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle x^{3}=0}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle A=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}}$

В пространстве, охватываемом и есть бесконечно малый параллелограмм, описываемый и . Использование (где индексы и от 1 до 2) дает площадь поверхности, заданную как${\displaystyle x^{1}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}}$${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}}$${\displaystyle q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {\det(q^{(2)})}}}$

где и - определитель метрики, индуцированной на . Последний можно переписать там, где индексы идут от 1 до 2. Это можно переписать в дальнейшем как${\displaystyle \det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2}$${\displaystyle A\dots D}$

${\displaystyle \det(q^{(2)})={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}}$.

Стандартная формула для обратной матрицы:

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}}$.

Между этим и выражением для . Но в переменных Аштекар . Следовательно,${\displaystyle \det(q^{(2)})}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}}$.

По правилам канонического квантования триады следует преобразовать в квантовые операторы,${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}}$.

Область можно преобразовать в четко определенный квантовый оператор, несмотря на то, что она содержит произведение двух функциональных производных и квадратного корня. ^[14] Полагая ( -е представление),${\displaystyle A_{\Sigma }}$${\displaystyle N=2J}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1}$.

Эта величина важна в окончательной формуле для площади спектра. Результат

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{\text{Planck}}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

где сумма ведется по всем ребрам петли Вильсона, пронизывающим поверхность .${\displaystyle I}$${\displaystyle \Sigma }$

Формула для объема области определяется выражением${\displaystyle R}$

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}=\int _{R}dx^{3}{\sqrt {{\frac {1}{3!}}\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}}$.

Квантование объема происходит так же, как и с площадью. Каждый раз, когда берется производная, она опускает касательный вектор , и когда оператор объема действует на непересекающиеся петли Вильсона, результат исчезает. Следовательно, квантовые состояния с ненулевым объемом должны включать пересечения. Учитывая, что антисимметричное суммирование используется в формуле для объема, оно требует пересечения по крайней мере с тремя некомпланарными линиями. По крайней мере, четырехвалентные вершины необходимы для того, чтобы оператор объема не обращался в нуль.${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$

Если предположить реальное представление, в котором находится калибровочная группа , петли Вильсона являются сверхполным базисом, поскольку существуют тождества, связывающие различные петли Вильсона. Это происходит потому, что петли Вильсона основаны на матрицах (голономии), и эти матрицы удовлетворяют тождествам. Учитывая любые две матрицы и ,${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1})}$.

Это означает , что с учетом двух петель и что пересекаются,${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

где мы подразумеваем петлю, пройденную в противоположном направлении, и подразумеваем петлю, полученную путем обхода петли, а затем вдоль . См. Рисунок ниже. Учитывая, что матрицы унитарны, так и есть . Также, учитывая циклическое свойство следов матрицы (т.е. ), мы имеем, что${\displaystyle \eta ^{-1}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \gamma \circ \eta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )}$${\displaystyle W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]}$. Эти идентификаторы могут быть объединены друг с другом в дополнительные идентификаторы с возрастающей сложностью, добавляя больше циклов. Эти тождества являются так называемыми тождествами Мандельштама. Определенные спиновые сети представляют собой линейные комбинации пересекающихся луп Вильсона, разработанные для решения проблемы избыточной полноты, вводимой тождествами Мандельштама (для трехвалентных пересечений они полностью исключают избыточную полноту) и фактически составляют основу для всех калибровочно-инвариантных функций.

Как упоминалось выше, голономия говорит, как распространять тестовые спиновые половинки. Состояние спиновой сети присваивает амплитуду набору спиновых получастиц, прослеживающих путь в пространстве, сливаясь и разделяясь. Они описываются спиновыми сетями : ребра помечены спинами вместе с «спинами» в вершинах, которые определяют, как суммировать различные способы перенаправления спинов. Сумма перемаршрутизации выбирается как таковая, чтобы сделать форму сплетника инвариантной относительно калибровочных преобразований Гаусса.${\displaystyle \gamma }$

Реальные переменные, современный анализ и LQG [ править ]

Давайте более подробно остановимся на технических трудностях, связанных с использованием переменных Аштекара:

С переменными Аштекара используется сложная связь, поэтому соответствующая группа датчиков - это на самом деле, а не . Поскольку он некомпактен, он создает серьезные проблемы для строгого построения необходимого математического аппарата. Группа же компактна и необходимые конструкции разработаны.${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

Как упоминалось выше, поскольку переменные Аштекара сложны, результирующая общая теория относительности сложна. Чтобы восстановить реальную теорию, нужно наложить так называемые «условия реальности». Они требуют, чтобы уплотненная триада была реальной и чтобы реальная часть связи Аштекар была равна совместимой спиновой связи (условие совместимости ), определяемой уплотненной триадой. Выражение для совместимого соединения довольно сложное, и поэтому неполиномиальная формула входит через черный ход.${\displaystyle \nabla _{a}e_{b}^{I}=0}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$

Учитывая , что плотность тензора весовых преобразований как обычный тензор исключением того , что -й степени якобиану ,${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle J=\left|{\frac {\partial x^{a}}{\partial x^{'b}}}\right|}$

также выступает как фактор, т.е.

${\displaystyle {T'}_{b\dots }^{a\dots }=J^{W}{\frac {\partial x^{'a}}{\partial x^{c}}}\dots {\frac {\partial x^{d}}{\partial x^{'b}}}T_{d\dots }^{c\dots }.}$

По общим соображениям невозможно построить УФ-конечный, не нарушающий диффеоморфизм оператор, соответствующий . Причина в том, что измененное гамильтоново ограничение представляет собой скалярную плотность веса два, в то время как можно показать, что только скалярные плотности веса один имеют шанс привести к хорошо определенному оператору. Таким образом, человек вынужден работать с исходным немасштабированным однозначным гамильтоновым ограничением плотности. Однако это неполиномиально, и вся сила комплексных переменных ставится под сомнение. Фактически, все решения, построенные для гамильтоновой связи Аштекара, исчезают только при конечной регуляризации , однако это нарушает инвариантность пространственного диффеоморфизма.${\displaystyle {\sqrt {\det(q)}}H}$

Без реализации и решения гамильтоновой связи невозможно добиться прогресса и невозможно надежное предсказание.

Чтобы преодолеть первую проблему, нужно использовать конфигурационную переменную

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$

где является действительным (как указал Барберо, который ввел вещественные переменные через некоторое время после переменных Аштекара ^{[15] [16]} ). Закон Гаусса и ограничения пространственного диффеоморфизма совпадают. В реальных переменных Аштекара гамильтониан имеет вид${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}+2{\beta ^{2}+1 \over \beta ^{2}}{({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}) \over {\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'}$.

Сложные отношения между и рассмотренными триадами вызывают серьезные проблемы при квантовании. Именно благодаря выбору исчезает второй, более сложный член. Однако, как уже упоминалось выше, вновь появляется в реальных условиях. По-прежнему существует проблема фактора.${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle \beta =\pm i}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

Тиману удалось заставить его работать по-настоящему . Во-первых, он мог упростить проблему , используя идентификацию${\displaystyle \beta }$${\displaystyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle \{A_{c}^{k},V\}={1 \over 4}{\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$

где объем. Объединяя эту идентичность с простой идентичностью${\displaystyle V}$

${\displaystyle \epsilon ^{abc}\epsilon _{a'b'c}=\delta _{a'}^{a}\delta _{b'}^{b}-\delta _{b'}^{a}\delta _{a'}^{b}}$

урожайность,

${\displaystyle 2\epsilon ^{abc}\{A_{c}^{k},V\}={\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}.}$

Заключение контракта с обеими сторонами дает${\displaystyle F_{ab}^{k}}$

${\displaystyle 2\epsilon ^{abc}F_{ab}^{k}\{A_{c}^{k},V\}={\epsilon ^{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}.}$

Затем можно записать размазанный евклидов гамильтонов функционал ограничений ( является функцией отклонения)${\displaystyle N}$

${\displaystyle H_{E}[N]=2\int _{\Sigma }d^{3}xN(x)\epsilon ^{abc}F_{ab}^{k}\{A_{c}^{k},V\}.}$

Операторы , и могут быть преобразованы в четко определенные операторы в представлении цикла, а скобка Пуассона заменяется коммутатором при квантовании; это касается первого члена. Оказывается, аналогичный прием можно применить и ко второму члену. Один вводит количество${\displaystyle A_{c}^{k},F_{ab}^{K}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}}$

и отмечает, что

${\displaystyle K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}}$.

так,

${\displaystyle A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}}$.

Причина, по которой с величиной легче работать во время квантования, заключается в том, что ее можно записать как${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=-\left\{V,\int d^{3}xH_{E}\right\}}$

где мы использовали, что интегрированный уплотненный след внешней кривизны , является «производной по времени от объема».${\displaystyle K}$

В долгой истории канонической квантовой гравитации формулировка гамильтоновой связи в виде квантового оператора ( уравнения Уиллера – ДеВитта ) математически строгим образом была сложной задачей. Именно в петлевом представлении математически корректно определенное гамильтоново ограничение было окончательно сформулировано в 1996 году. ^[10] Мы оставляем более подробные сведения о его построении в статье о гамильтоновом ограничении LQG . Это вместе с квантовыми версиями закона Гаусса и ограничениями пространственного диффеоморфизма, записанными в петлевом представлении, являются центральными уравнениями LQG (современной канонической квантовой общей теории относительности).

Нахождение состояний, которые аннулируются этими ограничениями (физических состояний), и поиск соответствующего физического внутреннего продукта и наблюдаемых - основная цель технической стороны LQG.

Очень важным аспектом гамильтонова оператора является то, что он действует только в вершинах (следствием этого является то, что гамильтонов оператор Тимана, как и оператор Аштекара, уничтожает непересекающиеся петли, за исключением того, что теперь он не просто формальный и имеет строгий математический смысл). Точнее, его действие ненулевое по крайней мере на вершинах валентности три и выше и приводит к линейной комбинации новых спиновых сетей, где исходный граф был изменен путем добавления линий вместе в каждой вершине и изменения меток. смежных звеньев вершины.

Реализация и решение квантовых ограничений [ править ]

Мы решаем, по крайней мере, приблизительно, все уравнения квантовых ограничений и для внутреннего физического продукта, чтобы делать физические прогнозы.

Прежде чем мы перейдем к ограничениям LQG, давайте рассмотрим некоторые случаи. Мы начнем с кинематического гильбертова пространства, которое снабжено внутренним продуктом - кинематическим внутренним произведением .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{\text{Kin}}}$

i) Допустим, у нас есть ограничения , нулевые собственные значения которых лежат в их дискретном спектре . Решения первого ограничения, соответствуют подпространству кинематического гильбертова пространства . Там будет оператор проектирования отображение на . Кинематическая структура внутреннего продукта легко используется для обеспечения структуры внутреннего продукта после решения этого первого ограничения; новый внутренний продукт просто${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$${\displaystyle {\hat {C}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$

${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{1}=\langle P\phi ,P\psi \rangle _{\text{Kin}}}$

Они основаны на одном и том же внутреннем продукте и являются нормализуемыми состояниями по отношению к нему.

ii) Нулевая точка не содержится в точечном спектре всех , тогда нет нетривиального решения системы квантовых уравнений связи для всех .${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$${\displaystyle \Psi \in {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$${\displaystyle I}$

Например, нулевое собственное значение оператора

${\displaystyle {\hat {C}}=\left(i{d \over dx}-k\right)}$

on лежит в непрерывном спектре, но формальное "собственное состояние" не нормируется в кинематическом внутреннем произведении,${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ,dx)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \exp(-ikx)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\psi ^{*}(x)\psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }dxe^{ikx}e^{-ikx}=\int _{-\infty }^{\infty }dx=\infty }$

и поэтому не принадлежит кинематическому гильбертову пространству . В этих случаях мы берем плотное подмножество из (интуитивно это означает , что либо любую точку либо в или сколь угодно близко к точке ) с очень хорошими свойствами сходимости и рассмотрим его двойственное пространство (интуитивно эти карты элементы на конечных комплексные числа в линейным образом), то (как${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}\subset {\mathcal {S}}'}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$содержит функции распределения). Затем оператор ограничения реализуется в этом большом двойном пространстве, которое содержит функции распределения, при сопряженном действии на оператор. На этом большом пространстве ищут решения. Это происходит за счет того, что решениям необходимо дать новое внутреннее произведение в гильбертовом пространстве, относительно которого они нормализуются (см. Статью о оснащенном гильбертовом пространстве ). В этом случае мы имеем обобщенный оператор проектирования на новое пространство состояний. Мы не можем использовать приведенную выше формулу для нового внутреннего продукта, поскольку он расходится, вместо этого новый внутренний продукт дается простой модификацией приведенного выше,

${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{1}=\langle P\phi ,\psi \rangle _{\text{Kin}}.}$

Обобщенный проектор известен как карта такелажа.${\displaystyle P}$

Реализация и решение квантовых ограничений LQG.

Перейдем к LQG, дополнительные сложности возникнут из-за того, что нельзя определить оператор для ограничения квантового пространственного диффеоморфизма как инфинитезимальный генератор конечных преобразований диффеоморфизма, а также того факта, что алгебра ограничений не является алгеброй Ли из-за скобки между двумя гамильтоновыми ограничениями .

Реализация и решение ограничения Гаусса:

Фактически нет необходимости преобразовывать ограничение Гаусса в оператор, поскольку мы можем работать напрямую с калибровочно-инвариантными функциями (то есть, ограничение решается классическим образом и квантуется только фазовое пространство, уменьшенное по отношению к ограничению Гаусса). Закон Гаусса решается с помощью состояний спиновой сети. Они составляют основу кинематического гильбертова пространства .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$

Реализация ограничения квантового пространственного диффеоморфизма:

Оказывается, что нельзя определить оператор ограничения квантового пространственного диффеоморфизма как инфинитезимальный генератор преобразований конечных диффеоморфизмов, представленных на . Представление конечных диффеоморфизмов - это семейство унитарных операторов, действующих на состояние спиновой сети посредством${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$${\displaystyle {\hat {U}}_{\varphi }}$${\displaystyle \psi _{\gamma }}$

${\displaystyle {\hat {U}}_{\varphi }\psi _{\gamma }:=\psi _{\varphi \circ \gamma },}$

для любого пространственного диффеоморфизма на . Чтобы понять, почему нельзя определить оператор для ограничения квантового пространственного диффеоморфизма, рассмотрим то, что называется однопараметрической подгруппой в группе пространственных диффеоморфизмов, которая затем представляется как однопараметрическая унитарная группа на . Тем не менее, не является слабо непрерывным, поскольку подпространство принадлежит, а подпространство принадлежит, ортогональны друг другу, независимо от того, насколько мал параметр . Так что всегда есть${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \varphi _{t}}$${\displaystyle {\hat {U}}_{\varphi _{t}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Kin}}}$${\displaystyle {\hat {U}}_{\varphi _{t}}}$${\displaystyle \psi _{\varphi _{t}\circ \gamma }}$${\displaystyle \psi _{\gamma }}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle |<\psi _{\gamma }|{\hat {U}}_{\varphi _{t}}|\psi _{\gamma }>_{Kin}-<\psi _{\gamma }|\psi _{\gamma }>_{Kin}|=<\psi _{\gamma }|\psi _{\gamma }>_{Kin}\not =0,}$

даже в пределе, когда идет в ноль. Следовательно, бесконечно малого генератора не существует.${\displaystyle t}$${\displaystyle {\hat {U}}_{\varphi _{t}}}$

Решение ограничения пространственного диффеоморфизма.

Ограничение пространственного диффеоморфизма решено. Индуцированное внутреннее произведение on (мы не будем вдаваться в подробности) имеет очень простое описание в терминах состояний спиновой сети; для двух спиновых сетей и с соответствующими состояниями спиновой сети и внутреннее произведение равно 1, если и связаны друг с другом пространственным диффеоморфизмом, и нулем в противном случае.${\displaystyle <\cdot ,\cdot >_{Diff}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Diff}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle \psi _{s}}$${\displaystyle \psi _{s'}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s'}$

Мы предоставили описание реализованного и полного решения кинематических ограничений, ограничений Гаусса и пространственных диффеоморфизмов, которые будут одинаковыми для любой теории калибровочного поля, не зависящей от фона. Особенность, которая отличает такие разные теории, - это гамильтонова связь, которая является единственной, которая зависит от лагранжиана классической теории.

Проблема, возникающая из-за гамильтоновой связи.

Детали реализации квантового гамильтонова ограничения и решений рассматриваются в другой статье Гамильтонова связь LQG . Однако в этой статье мы вводим схему аппроксимации для формального решения гамильтонова оператора связи, приведенного в следующем разделе о спиновых пенах. Здесь мы просто упоминаем проблемы, которые возникают с гамильтоновой связью.

Гамильтонова связь отображает состояния, инвариантные к диффеоморфизму, в состояния, инвариантные к диффеоморфизму, так как это не сохраняет гильбертово пространство диффеоморфизма . Это неизбежное следствие операторной алгебры, в частности коммутатора:${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Diff}}}$

${\displaystyle [{\hat {C}}({\vec {N}}),{\hat {H}}(M)]\propto {\hat {H}}({\mathcal {L}}_{\vec {N}}M)}$

как можно увидеть, применив это к ,${\displaystyle \psi _{s}\in {\mathcal {H}}_{Diff}}$

${\displaystyle ({\vec {C}}({\vec {N}}){\hat {H}}(M)-{\hat {H}}(M){\vec {C}}({\vec {N}}))\psi _{s}\propto {\hat {H}}({\mathcal {L}}_{\vec {N}}M)\psi _{s}}$

и используя для получения${\displaystyle {\vec {C}}({\vec {N}})\psi _{s}=0}$

${\displaystyle {\vec {C}}({\vec {N}})[{\hat {H}}(M)\psi _{s}]\propto {\hat {H}}({\mathcal {L}}_{\vec {N}}M)\psi _{s}\not =0}$

а так не в .${\displaystyle {\hat {H}}(M)\psi _{s}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$

Это означает, что нельзя просто решить ограничение пространственного диффеоморфизма, а затем гамильтонову связь. Эту проблему можно обойти, введя главное ограничение с его тривиальной операторной алгеброй, из которой в принципе можно построить физический внутренний продукт .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Diff}}}$

Отжимная пена [ править ]

В петлевой квантовой гравитации (LQG) спиновая сеть представляет собой «квантовое состояние» гравитационного поля на 3-мерной гиперповерхности. Множество всех возможных спиновых сетей (или, точнее, «s-узлов», т. Е. Классов эквивалентности спиновых сетей относительно диффеоморфизмов) счетно; он составляет основу гильбертова пространства LQG.

В физике спиновая пена - это топологическая структура, состоящая из двумерных граней, которая представляет одну из конфигураций, которые необходимо суммировать, чтобы получить описание квантовой гравитации с помощью интеграла по траекториям (функционального интегрирования) Фейнмана. Это тесно связано с петлевой квантовой гравитацией.

Вращающаяся пена, полученная из оператора гамильтонова ограничения [ править ]

Гамильтонова связь порождает "временную" эволюцию. Решение гамильтоновой связи должно рассказать нам, как квантовые состояния эволюционируют во «времени» от начального состояния спиновой сети до конечного состояния спиновой сети. Один подход к решению гамильтоновой связи начинается с так называемой дельта-функции Дирака . Это довольно сингулярная функция вещественной прямой, обозначенная , которая равна нулю всюду, кроме точки, но интеграл которой конечен и отличен от нуля. Его можно представить в виде интеграла Фурье,${\displaystyle \delta (x)}$${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \delta (x)=\int e^{ikx}dk}$.

Можно использовать идею дельта-функции, чтобы наложить условие, что гамильтонова связь должна исчезнуть.

${\displaystyle \prod _{x\in \Sigma }\delta ({\hat {H}}(x))}$

ненулевая только тогда , когда для всех ин . Используя это, мы можем «спроецировать» решения гамильтоновой связи. По аналогии с приведенным выше интегралом Фурье этот (обобщенный) проектор формально можно записать как${\displaystyle {\hat {H}}(x)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$.

Это формально пространственно диффеоморфизм-инвариантно. Как таковой, он может применяться на уровне пространственно-инвариантного к диффеоморфизму. Используя это, физический внутренний продукт формально задается

${\displaystyle \left\langle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}s_{\text{int}}s_{\text{fin}}\right\rangle _{\text{Diff}}}$

где - начальная спиновая сеть, - конечная спиновая сеть.${\displaystyle s_{\text{int}}}$${\displaystyle s_{\text{fin}}}$

Экспоненту можно разложить

${\displaystyle \left\langle \int [dN]\left(1+i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)+{\frac {i^{2}}{2!}}\left[\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)\right]\left[\int d^{3}x'N(x'){\hat {H}}(x')\right]+\cdots \right)s_{\text{int}},s_{\text{fin}}\right\rangle _{\text{Diff}}}$

и каждый раз, когда гамильтонов оператор действует, он делает это, добавляя новое ребро в вершине. Суммирование по различным последовательностям действий может быть визуализировано как суммирование по разным историям «вершин взаимодействия» в «временной» эволюции, отправляющей начальную спиновую сеть в конечную спиновую сеть. Затем это естественным образом порождает два комплекса (комбинаторный набор граней, которые соединяются вдоль ребер, которые, в свою очередь, соединяются по вершинам), лежащий в основе описания спиновой пены; мы развиваем начальную спиновую сеть, выметающую поверхность, действие оператора гамильтоновой связи заключается в создании новой плоской поверхности, начинающейся в вершине. Мы можем использовать действие гамильтоновой связи на вершину состояния спиновой сети, чтобы связать амплитуду с каждым «взаимодействием»(по аналогии с${\displaystyle {\hat {H}}}$Диаграммы Фейнмана ). См. Рисунок ниже. Это открывает способ попытаться напрямую связать каноническую LQG с описанием интеграла по путям. Теперь, точно так же, как спиновые сети описывают квантовое пространство, каждая конфигурация, вносящая вклад в эти интегралы по траектории или суммы за историю, описывает «квантовое пространство-время». Из-за их сходства с мыльной пеной и того, как они обозначены, Джон Баэз дал этим «квантовым пространственным временам» название «спиновые пены».

Действие гамильтоновой связи переводится в интеграл по путям или так называемое описание спиновой пены . Один узел разделяется на три узла, образуя вершину вращающейся пены. - значение в вершине и - матричные элементы гамильтоновой связи .${\displaystyle N(x_{n})}$${\displaystyle N}$${\displaystyle H_{nop}}$${\displaystyle {\hat {H}}}$

Однако существуют серьезные трудности с этим конкретным подходом, например, гамильтонов оператор не является самосопряженным, фактически он даже не является нормальным оператором (т.е. оператор не коммутирует со своим сопряженным), и поэтому спектральная теорема не может быть использована для определить экспоненту в целом. Самая серьезная проблема заключается в том, что они не коммутируют друг с другом, тогда можно показать, что формальная величина не может даже определять (обобщенный) проектор. Главное ограничение (см. Ниже) не страдает от этих проблем и как таковое предлагает способ соединения канонической теории с формулировкой интеграла по путям.${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$${\displaystyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$

Спин-пены из теории BF [ править ]

Оказывается, существуют альтернативные способы формулирования интеграла по путям, однако их связь с гамильтоновым формализмом менее ясна. Один из способов - начать с теории BF . Это более простая теория, чем общая теория относительности, она не имеет локальных степеней свободы и, как таковая, зависит только от топологических аспектов полей. Теория BF - это так называемая топологическая теория поля . Удивительно, но оказывается, что общая теория относительности может быть получена из теории BF путем наложения ограничения ^[17]. Теория BF включает поле, и если выбрать поле как (антисимметричное) произведение двух тетрад${\displaystyle B_{ab}^{IJ}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle B_{ab}^{IJ}={1 \over 2}(E_{a}^{I}E_{b}^{J}-E_{b}^{I}E_{a}^{J})}$

(тетрады похожи на триады, но в четырех измерениях пространства-времени), восстанавливается общая теория относительности. Условие, что поле задается произведением двух тетрад, называется ограничением простоты. Динамика спиновой пены в топологической теории поля хорошо изучена. Учитывая амплитуды «взаимодействия» спиновой пены для этой простой теории, затем пытаются реализовать условия простоты, чтобы получить интеграл по путям для общей теории относительности. Затем нетривиальная задача построения модели спиновой пены сводится к вопросу о том, как это ограничение простоты должно быть наложено в квантовой теории. Первой попыткой этого была знаменитая модель Барретта – Крейна . ^[18]${\displaystyle B}$Однако эта модель оказалась проблематичной, например, не было достаточного количества степеней свободы, чтобы гарантировать правильный классический предел. ^[19] Было высказано мнение , что простота ограничение было наложено слишком сильно на квантовом уровне и должны вводиться только в смысле средних значений так же , как с калибровочным условием Лоренца в Гупта-Блейлер формализма в квантовой электродинамики . Теперь выдвигаются новые модели, иногда мотивированные наложением условий простоты в более слабом смысле.${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }}$

Другая трудность здесь заключается в том, что спиновая пена определяется дискретизацией пространства-времени. Хотя это не представляет проблем для топологической теории поля, поскольку у нее нет локальных степеней свободы, это создает проблемы для ОТО. Это известно как проблема треугольной зависимости.

Современный рецепт спиновой пены [ править ]

Подобно тому, как наложение классического ограничения простоты восстанавливает общую теорию относительности из теории BF, можно ожидать, что соответствующее ограничение квантовой простоты восстановит квантовую гравитацию из квантовой теории BF.

Большой прогресс был достигнут в этом вопросе Энглом, Перейрой и Ровелли, ^[20] Фрейделем и Красновым ^[21] и Ливином и Специале ^[22] в определении амплитуд взаимодействия спиновой пены с гораздо лучшим поведением.

Была сделана попытка установить контакт между центрифугированием EPRL-FK и канонической формулировкой LQG. ^[23]

Вращающаяся пена, полученная из основного оператора ограничения [ править ]

Смотри ниже.

Полуклассический предел [ править ]

Классический предел или корреспонденция предел способность физической теории усреднять или «восстановить» классическую механику при рассмотрении более специальных значений его параметров. ^[24] Классический предел используется с физическими теориями, которые предсказывают неклассическое поведение. В физике принцип соответствия гласит, что поведение систем, описываемых теорией квантовой механики (или старой квантовой теорией ), воспроизводит классическую физику в пределе больших квантовых чисел . Другими словами, он говорит, что для больших орбит и для больших энергий, квантовые вычисления должны согласовываться с классическими вычислениями. ^[25]

Этот принцип был сформулирован Нильсом Бором в 1920 году ^[26], хотя ранее он использовал его еще в 1913 году при разработке своей модели атома . ^[27]

Для установления полуклассического предела любой квантовой теории есть два основных требования:

1. воспроизведение скобок Пуассона (ограничений диффеоморфизма в случае общей теории относительности). Это чрезвычайно важно, потому что, как отмечалось выше, алгебра скобок Пуассона, образованная между (размазанными) ограничениями, полностью определяет классическую теорию. Это аналогично доказательству теоремы Эренфеста .
2. спецификация полного набора классических наблюдаемых , соответствующие операторы которых при воздействии на них соответствующих полуклассических состояний воспроизводят те же классические переменные с небольшими квантовыми поправками (тонкий момент в том, что состояния, которые являются полуклассическими для одного класса наблюдаемых, могут не быть полуклассическими для другой класс наблюдаемых ^[28] ).

Это может быть легко сделано, например, в обычной квантовой механике для частицы, но в общей теории относительности это становится весьма нетривиальной проблемой.

Правильность полуклассического предела LQG [ править ]

Любая кандидатская теория квантовой гравитации должна быть способна воспроизвести общую теорию относительности Эйнштейна как классический предел квантовой теории. Это не гарантируется из-за особенности квантовых теорий поля, заключающейся в том, что они имеют разные сектора, они аналогичны различным фазам, возникающим в термодинамическом пределе статистических систем. Как разные фазы физически различны, так и разные разделы квантовой теории поля. Может оказаться, что LQG принадлежит нефизическому сектору, в котором общая теория относительности не восстанавливается в полуклассическом пределе (на самом деле может вообще не быть физического сектора).

Более того, физическое гильбертово пространство должно содержать достаточно полуклассических состояний, чтобы гарантировать, что полученная квантовая теория может вернуться к классической теории, когда . Чтобы гарантировать это, нужно любой ценой избегать квантовых аномалий , потому что в противном случае на физическое гильбертово пространство будут накладываться ограничения, не имеющие аналогов в классической теории, а это означает, что квантовая теория имеет меньше степеней свободы, чем классическая. теория.${\displaystyle H_{phys}}$${\displaystyle \hbar \to 0}$

Теоремы, устанавливающие единственность представления петель, как это определено Аштекаром и др. (то есть некоторая конкретная реализация гильбертова пространства и связанных с ним операторов, воспроизводящих правильную алгебру петель - реализация, которую все использовали) были даны двумя группами (Левандовски, Околоу, Зальманн и Тиман; ^[29] и Кристиан Флейшхак ^[30] ). До того, как этот результат был установлен, не было известно, могут ли быть другие примеры гильбертовых пространств с операторами, вызывающими ту же алгебру петель - другие реализации, не эквивалентные той, которая использовалась до сих пор. Эти теоремы единственности подразумевают, что других не существует, поэтому, если LQG не имеет правильного полуклассического предела, то эти теоремы будут означать конец петлевого представления квантовой гравитации в целом.

Трудности и прогресс проверки полуклассического предела [ править ]

Есть ряд трудностей в попытке установить, что LQG дает общую теорию относительности Эйнштейна в полуклассическом пределе:

1. Не существует оператора, соответствующего бесконечно малым пространственным диффеоморфизмам (неудивительно, что в теории нет генератора бесконечно малых пространственных «трансляций», поскольку она предсказывает, что пространственная геометрия имеет дискретную природу по сравнению с ситуацией в конденсированной среде). Вместо этого он должен быть аппроксимирован конечными пространственными диффеоморфизмами, и поэтому структура скобок Пуассона классической теории не воспроизводится точно. Эту проблему можно обойти, введя так называемое главное ограничение (см. Ниже) ^[31]
2. Возникает проблема примирения дискретной комбинаторной природы квантовых состояний с непрерывной природой полей классической теории.
3. Существуют серьезные трудности, связанные со структурой скобок Пуассона, включающей пространственный диффеоморфизм и гамильтоновы связи. В частности, алгебра (размазанных) гамильтоновых связей не замыкается: она пропорциональна сумме бесконечно малых пространственных диффеоморфизмов (которые, как мы только что отметили, не существуют в квантовой теории), где коэффициенты пропорциональности не являются константами но имеют нетривиальную зависимость от фазового пространства - как таковая не образует алгебру Ли . Однако ситуация значительно улучшается за счет введения главного ограничения. ^[31]
4. Полуклассический механизм, разработанный до сих пор, подходит только для операторов, не изменяющих граф, однако гамильтоново ограничение Тимана является оператором изменения графа - новый граф, который он генерирует, имеет степени свободы, от которых когерентное состояние не зависит, и поэтому их квантовое колебания не подавляются. Есть также ограничение, что эти когерентные состояния определены только на кинематическом уровне, и теперь их нужно поднять до уровня и${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$. Можно показать, что гамильтонова связь Тимана должна быть изменяющей граф, чтобы решить проблему 3 в некотором смысле. Однако основная алгебра ограничений тривиальна, и поэтому требование, чтобы она изменяла граф, может быть снято, и действительно были определены основные операторы ограничения, не меняющие граф. Насколько известно на данный момент, эта проблема пока еще недосягаема.
5. Формулировка наблюдаемых для классической общей теории относительности сама по себе является сложной задачей из-за ее нелинейной природы и инвариантности к диффеоморфизму пространства-времени. Фактически, схема систематического приближения для вычисления наблюдаемых была разработана только недавно. ^{[32] [33]}