Двумерная конформная теория поля

Двумерной конформной теории поля является квантовая теория поля на евклидовой двумерном пространстве , то есть инвариантны относительно локальных конформных преобразований .

В отличие от других типов конформных теорий поля , двумерные конформные теории поля имеют бесконечномерные алгебры симметрии. В некоторых случаях это позволяет их точно решить, используя метод конформного бутстрапа .

Известные двумерные конформные теории поля включают минимальные модели , теорию Лиувилля , безмассовые теории свободных бозонов, ^[1] модели Весса – Зумино – Виттена и некоторые сигма-модели .

Базовые конструкции [ править ]

Геометрия [ править ]

Двумерные конформные теории поля (CFT) определены на римановых поверхностях , где локальные конформные отображения являются голоморфными функциями . Хотя КТП может существовать только на данной римановой поверхности, ее существование на любой поверхности, отличной от сферы , подразумевает ее существование на всех поверхностях. ^[2] Имея CFT, действительно можно склеить две римановы поверхности там, где она существует, и получить CFT на склеенной поверхности. ^{[2] [3]} С другой стороны, некоторые CFT существуют только на сфере. Если не указано иное, мы рассматриваем ЦФТ по сфере в этой статье.

Алгебра симметрии [ править ]

Учитывая локальную комплексную координату , реальное векторное пространство бесконечно малых конформных отображений имеет основу с . (К примеру, и произвести перевод.) Расслабляющая предположение , что является комплексно сопряженным из , т.е. Комплексификации пространства бесконечно малых конформных отображений, получается комплексное векторное пространство с базисом .${\ displaystyle z}$${\ displaystyle (\ ell _ {n} + {\ bar {\ ell}} _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ cup (i (\ ell _ {n} - {\ bar {\ ell}} _ {n})) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$${\ displaystyle \ ell _ {n} = - z ^ {n + 1} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}}$${\ displaystyle \ ell _ {1} + \ ell _ {- 1}}$${\ Displaystyle я (\ ell _ {1} - \ ell _ {- 1})}$${\ displaystyle {\ bar {z}}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle (\ ell _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ cup ({\ bar {\ ell}} _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$

С их естественными коммутаторами , то дифференциальные операторы порождают алгебру Витта . Согласно стандартным квантово-механическим аргументам, алгебра симметрий конформной теории поля должна быть центральным расширением алгебры Витта, т. Е. Алгеброй Вирасоро , генераторы которой являются , плюс центральный генератор. В данной CFT центральный генератор принимает постоянное значение, называемое центральным зарядом.${\ displaystyle \ ell _ {n}}$${\ Displaystyle (L_ {п}) _ {п \ in \ mathbb {Z}}}$

Таким образом, алгебра симметрий является произведением двух копий алгебры Вирасоро: левосторонней или голоморфной алгебры с образующими и правосторонней или антиголоморфной алгебры с образующими . ^[1]${\ displaystyle L_ {n}}$${\ displaystyle {\ bar {L}} _ {n}}$

Пространство состояний [ править ]

Пространство состояний , также называемое спектром , из ПФТА, является представлением произведения двух алгебр Вирасора. Собственные значения генератора Вирасоро интерпретируются как энергии состояний. Их действительные части обычно предполагаются ограниченными снизу.${\ displaystyle L_ {0} + {\ bar {L}} _ {0}}$

КТП называется рациональной, если ее пространство состояний разлагается на конечное число неприводимых представлений произведения двух алгебр Вирасоро.

CFT называется диагональным, если его пространство состояний представляет собой прямую сумму представлений типа , где - неразложимое представление левой алгебры Вирасоро, и это то же представление правой алгебры Вирасоро.${\ displaystyle R \ otimes {\ bar {R}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ bar {R}}}$

CFT называется унитарным, если пространство состояний имеет положительно определенную эрмитову форму такую, что и являются самосопряженными, и . Это, в частности, означает , что центральный заряд действителен. Тогда пространство состояний является гильбертовым пространством . В то время как унитарность необходима для того, чтобы CFT была правильной квантовой системой с вероятностной интерпретацией, многие интересные CFT, тем не менее, не унитарны, включая минимальные модели и теорию Лиувилля для большинства допустимых значений центрального заряда.${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$${\displaystyle L_{0}^{\dagger }=L_{0}}$${\displaystyle {\bar {L}}_{0}^{\dagger }={\bar {L}}_{0}}$${\displaystyle L_{n}^{\dagger }=L_{-n}}$

Переписка между состояниями [ править ]

Соответствие полей состояний - это линейное отображение пространства состояний в пространство полей, которое коммутирует с действием алгебры симметрий.${\displaystyle v\mapsto V_{v}(z)}$

В частности, образ первичного состояния представления младшего веса алгебры Вирасоро является примарным полем ^[4] , таким что${\displaystyle V_{\Delta }(z)}$

${\displaystyle L_{n>0}V_{\Delta }(z)=0\quad ,\quad L_{0}V_{\Delta }(z)=\Delta V_{\Delta }(z)\ .}$

Поля-потомки получаются из первичных полей, действуя в режимах создания . Вырожденные поля соответствуют первичным состояниям вырожденных представлений. Например, вырожденное поле подчиняется из-за наличия нулевого вектора в соответствующем вырожденном представлении.${\displaystyle L_{n<0}}$${\displaystyle V_{1,1}(z)}$${\displaystyle L_{-1}V_{1,1}(z)=0}$

Если является первичным полем для левой и правой алгебр Вирасоро, с левой и правой конформными размерностями и , то называется полной конформной размерностью и называется конформным спином .${\displaystyle V_{\Delta ,{\bar {\Delta }}}(z)}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$${\displaystyle \Delta +{\bar {\Delta }}}$${\displaystyle S=\Delta -{\bar {\Delta }}}$

Корреляционные функции [ править ]

Точечная корреляционная функция представляет собой число, линейно зависит от полей, обозначаемого как с . В формулировке конформной теории поля через интеграл по путям корреляционные функции определяются как функциональные интегралы. В подходе конформного бутстрапа корреляционные функции определяются аксиомами. В частности, предполагается, что существует операторное разложение в произведение (OPE), ^[4]${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \left\langle V_{1}(z_{1})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle }$${\displaystyle i\neq j\Rightarrow z_{i}\neq z_{j}}$

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})V_{v_{i}}(z_{2})\ ,}$

где - базис пространства состояний, а числа называются коэффициентами OPE. Более того, предполагается, что корреляционные функции инвариантны относительно перестановок в полях, другими словами, OPE предполагается ассоциативным и коммутативным. (Коммутативность OPE не означает, что коэффициенты OPE инвариантны относительно , поскольку расширение полей нарушает эту симметрию.)${\displaystyle \{v_{i}\}}$${\displaystyle C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})}$${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=V_{2}(z_{2})V_{1}(z_{1})}$${\displaystyle 1\leftrightarrow 2}$${\displaystyle V_{v_{i}}(z_{2})}$

Коммутативность OPE означает, что примарные поля имеют целочисленные конформные спины . Существуют также фермионные КТП, которые включают фермионные поля с полуцелыми конформными спинами , которые антикоммутируют. ^[5] Существуют также парафермионные CFT, которые включают поля с более общими рациональными спинами . Не только парафермионы не коммутируют, но и их корреляционные функции многозначны.${\displaystyle S\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle S\in {\tfrac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$${\displaystyle S\in \mathbb {Q} }$

Киральная конформная теория поля [ править ]

В двумерной конформной теории поля свойства называются киральными, если они следуют из действия одной из двух алгебр Вирасоро. Если пространство состояний может быть разложено на факторизованные представления продукта двух алгебр Вирасоро, то все следствия конформной симметрии киральны. Другими словами, действия двух алгебр Вирасоро можно изучать отдельно.

Тензор энергии-импульса [ править ]

Предполагается, что зависимость поля от его положения определяется выражением${\displaystyle V(z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}V(z)=L_{-1}V(z).}$

Отсюда следует, что ОПЕ

${\displaystyle T(y)V(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {L_{n}V(z)}{(y-z)^{n+2}}},}$

определяет локально голоморфное поле, которое не зависит от этого поля. Это поле отождествляется с тензором энергии-импульса (компонентом) . ^[1] В частности, ОПЭ тензора энергии-импульса с первичным полем имеет вид${\displaystyle T(y)}$${\displaystyle z.}$

${\displaystyle T(y)V_{\Delta }(z)={\frac {\Delta }{(y-z)^{2}}}V_{\Delta }(z)+{\frac {1}{y-z}}{\frac {\partial }{\partial z}}V_{\Delta }(z)+O(1).}$

ОПЕ тензора энергии-импульса с самим собой есть

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+O(1),}$

где центральный заряд. (Этот ОПЕ эквивалентен коммутационным соотношениям алгебры Вирасоро.)${\displaystyle c}$

Конформные личности Варда [ править ]

Конформные тождества Уорда - это линейные уравнения, которым корреляционные функции подчиняются вследствие конформной симметрии. ^[1] Их можно получить, изучая корреляционные функции, включающие вставки тензора энергии-импульса. Их решения - конформные блоки .

Например, рассмотрим конформные тождества Уорда на сфере. Пусть - глобальная комплексная координата на сфере, рассматриваемая как голоморфность тензора энергии-импульса в эквивалентна${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$${\displaystyle z=\infty }$

${\displaystyle T(z){\underset {z\to \infty }{=}}O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right).}$

Кроме того, вставка в - точечной функция выходов первичных полей${\displaystyle T(z)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle T(z)\prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{i}}{(z-z_{i})^{2}}}+{\frac {1}{z-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle .}$

Из последних двух уравнений можно вывести локальные тождества Уорда, которые выражают -точечные функции полей-потомков через -точечные функции первичных полей. Более того, можно вывести три дифференциальных уравнения для любой -точечной функции первичных полей, называемых глобальными конформными тождествами Уорда :${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left(z_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+\Delta _{i}kz_{i}^{k-1}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0,\qquad (k\in \{0,1,2\}).}$

Эти тождества определяют, как двух- и трехточечные функции зависят от ${\displaystyle z,}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})\right\rangle {\begin{cases}=0&\ \ (\Delta _{1}\neq \Delta _{2})\\\propto (z_{1}-z_{2})^{-2\Delta _{1}}&\ \ (\Delta _{1}=\Delta _{2})\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})V_{\Delta _{3}}(z_{3})\right\rangle \propto (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}},}$

где неопределенные коэффициенты пропорциональности являются функциями ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

Уравнения BPZ [ править ]

Корреляционная функция, включающая вырожденное поле, удовлетворяет линейному уравнению в частных производных, названному уравнением Белавина – Полякова – Замолодчикова в честь Александра Белавина , Александра Полякова и Александра Замолодчикова . ^[4] Порядок этого уравнения - уровень нулевого вектора в соответствующем вырожденном представлении.

Тривиальный пример - уравнение BPZ первого порядка

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\left\langle V_{1,1}(z_{1})V_{2}(z_{2})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle =0.}$

что следует из

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}V_{1,1}(z_{1})=L_{-1}V_{1,1}(z_{1})=0.}$

Первый нетривиальный пример включает вырожденное поле с нулевым нулевым вектором на уровне два,${\displaystyle V_{2,1}}$

${\displaystyle \left(L_{-1}^{2}+b^{2}L_{-2}\right)V_{2,1}=0,}$

где связано с центральным зарядом соотношением${\displaystyle b}$

${\displaystyle c=1+6\left(b+b^{-1}\right)^{2}.}$

Тогда функция точки и другие первичные поля подчиняются:${\displaystyle N}$${\displaystyle V_{2,1}}$${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{b^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{1}^{2}}}+\sum _{i=2}^{N}\left({\frac {1}{z_{1}-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+{\frac {\Delta _{i}}{(z_{1}-z_{i})^{2}}}\right)\right)\left\langle V_{2,1}(z_{1})\prod _{i=2}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0.}$

Уравнение порядка BPZ для корреляционной функции, которое включает вырожденное поле, можно вывести из обращения в нуль нулевого вектора и локальных тождеств Уорда . Благодаря глобальным тождествам Уорда четырехточечные функции могут быть записаны в терминах одной переменной вместо четырех, а уравнения BPZ для четырехточечных функций могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям.${\displaystyle rs}$${\displaystyle V_{r,s}}$

Правила Fusion [ править ]

В OPE, который включает вырожденное поле, исчезновение нулевого вектора (плюс конформная симметрия) ограничивает, какие первичные поля могут появиться. Полученные ограничения называются правилами слияния . ^[1] Используя импульс такой, что${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Delta =\alpha \left(b+b^{-1}-\alpha \right)}$

вместо конформного измерения для параметризации первичных полей правила слияния${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle V_{r,s}\times V_{\alpha }=\sum _{i=0}^{r-1}\sum _{j=0}^{s-1}V_{\alpha +\left(i-{\frac {r-1}{2}}\right)b+\left(j-{\frac {s-1}{2}}\right)b^{-1}}}$

особенно

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha }\\[6pt]V_{2,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {b}{2}}}+V_{\alpha +{\frac {b}{2}}}\\[6pt]V_{1,2}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {1}{2b}}}+V_{\alpha +{\frac {1}{2b}}}\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы, правила слияния имеют алгебраическое определение в терминах ассоциативного продукта слияния представлений алгебры Вирасоро с заданным центральным зарядом. Произведение слияния отличается от тензорного произведения представлений. (В тензорном произведении центральные заряды складываются.) В некоторых конечных случаях это приводит к структуре категории слияния .

Конформный бутстрап [ править ]

Метод конформного бутстрапа заключается в определении и решении CFT с использованием только предположений о симметрии и согласованности путем сведения всех корреляционных функций к комбинациям структурных констант и конформных блоков. В двух измерениях этот метод приводит к точным решениям некоторых CFT и классификации рациональных теорий.

Структурные константы [ править ]

Позвольте быть левым и правым первичным полем с лево- и право-конформными размерами и . Согласно левому и правому глобальным тождествам Уорда трехточечные функции таких полей имеют тип${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \Delta _{i}}$${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})V_{3}(z_{3})\right\rangle =C_{123}\\&\qquad \times (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}}\\&\qquad \times ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{3}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}({\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{3}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{3}}\ ,\end{aligned}}}$

где -независимое число называется трехточечной структурной постоянной . Чтобы трехточечная функция была однозначной, лево- и право-конформные измерения первичных полей должны подчиняться${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle C_{123}}$

${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \ .}$

Этому условию удовлетворяют бозонное ( ) и фермионное ( ) поля. Однако он нарушается парафермионными полями ( ), корреляционные функции которых поэтому не однозначны на сфере Римана.${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Q} }$

Константы трехточечной структуры также появляются в OPE,

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12i}(z_{1}-z_{2})^{\Delta _{i}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{i}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}{\Big (}V_{i}(z_{2})+\cdots {\Big )}\ .}$

Вклады полей-потомков, обозначенные точками, полностью определяются конформной симметрией. ^[1]

Конформные блоки [ править ]

Любую корреляционную функцию можно записать как линейную комбинацию конформных блоков : функций, которые определяются конформной симметрией и помечены представлениями алгебры симметрии. Коэффициенты линейной комбинации являются произведениями структурных констант. ^[4]

В двумерной CFT алгебра симметрий факторизуется на две копии алгебры Вирасоро, а конформный блок, который включает примарные поля, имеет голоморфную факторизацию : это произведение локально голоморфного множителя, который определяется движущимся влево Вирасоро алгебра, и локально антиголоморфный фактор, который определяется правосторонней алгеброй Вирасоро. Эти факторы сами по себе называются конформными блоками.

Например, использование OPE первых двух полей в четырехточечной функции первичных полей дает

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle =\sum _{s}C_{12s}C_{s34}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\}){\mathcal {F}}_{{\bar {\Delta }}_{s}}^{(s)}(\{{\bar {\Delta }}_{i}\},\{{\bar {z}}_{i}\})\ ,}$

где - s-канальный четырехточечный конформный блок . Четырехточечные конформные блоки - это сложные функции, которые можно эффективно вычислить с помощью рекурсивных соотношений Алексея Замолодчикова . Если одно из четырех полей вырождено, то соответствующие конформные блоки подчиняются уравнениям BPZ. Если, в частности, одно из четырех полей является , то соответствующие конформные блоки могут быть записаны в терминах гипергеометрической функции .${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\})}$${\displaystyle V_{2,1}}$

Как впервые объяснил Виттен ^[6], пространство конформных блоков двумерной КТП можно отождествить с квантовым гильбертовым пространством 2 + 1-мерной теории Черна-Саймонса , которая является примером топологической теории поля . Эта связь оказалась очень плодотворной в теории дробного квантового эффекта Холла .

Конформные уравнения начальной загрузки [ править ]

Когда корреляционная функция может быть записана в терминах конформных блоков несколькими различными способами, равенство полученных выражений обеспечивает ограничения на пространство состояний и на константы трехточечной структуры. Эти ограничения называются уравнениями конформного бутстрапа . В то время как тождества Уорда являются линейными уравнениями для корреляционных функций, уравнения конформного бутстрапа зависят нелинейно от трехточечных структурных констант.

Например, четырехточечная функция может быть записана в терминах конформных блоков тремя неэквивалентными способами, соответствующими использованию OPE ( s-канал ), ( t-канал ) или ( u-канал ). Равенство трех полученных выражений называется перекрестной симметрией четырехточечной функции и эквивалентно ассоциативности OPE. ^[4]${\displaystyle \left\langle V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}\right\rangle }$${\displaystyle V_{1}V_{2}}$${\displaystyle V_{1}V_{4}}$${\displaystyle V_{1}V_{3}}$

Например, статистическая сумма тора (то есть функция нулевой точки) является функцией модуля тора, который зависит от пространства состояний, а не от трехточечных структурных констант. Статистическая сумма тора может быть записана в терминах характеров представлений, которые появляются в пространстве состояний. Это зависит от выбора петли в торе, и изменение петли равносильно действию на модуль элементом модульной группы . Инвариантность статистической суммы под действием модулярной группы является ограничением на пространство состояний. Изучение модулярных инвариантных функций разбиения тора иногда называют модульным бутстрапом .

Согласованность КТП на сфере эквивалентна перекрестной симметрии четырехточечной функции. Согласованность КТП на всех римановых поверхностях также требует модулярной инвариантности одноточечной функции тора. ^[2] Следовательно, модулярная инвариантность статистической суммы тора не является ни необходимой, ни достаточной для существования КТП. Однако он широко изучался в рациональных CFT, потому что характеры представлений проще, чем другие виды конформных блоков, такие как сферические четырехточечные конформные блоки.

Примеры [ править ]

Минимальные модели [ править ]

Минимальная модель - это КТП, спектр которой построен из конечного числа неприводимых представлений алгебры Вирасоро. Минимальные модели существуют только для определенных значений центрального заряда ^[1]

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{\frac {(p-q)^{2}}{pq}},\qquad p>q\in \{2,3,\ldots \}.}$

Существует классификация минимальных моделей ADE . ^[7] В частности, минимальная модель серии A с центральным зарядом представляет собой диагональную КТП, спектр которой построен из вырожденных представлений младшего веса алгебры Вирасоро. Эти вырожденные представления помечаются парами целых чисел, которые образуют таблицу Каца ,${\displaystyle c=c_{p,q}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(p-1)(q-1)}$

${\displaystyle (r,s)\in \{1,\ldots ,p-1\}\times \{1,\ldots ,q-1\}\qquad {\text{with}}\qquad (r,s)\simeq (p-r,q-s).}$

Например, минимальная модель серии А с описанием спиновых и энергетических корреляторов двумерной критической модели Изинга .${\displaystyle c=c_{4,3}={\tfrac {1}{2}}}$

Теория Лиувилля [ править ]

Для любой теории Лиувилля есть диагональная КТП, спектр которой построен из модулей Верма с конформными размерностями${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

Теория Лиувилля решена в том смысле, что известны ее трехточечные структурные константы. Теория Лиувилля имеет приложения к теории струн и к двумерной квантовой гравитации.

Расширенные алгебры симметрии [ править ]

В некоторых CFT алгебра симметрий - это не просто алгебра Вирасоро, а ассоциативная алгебра (т. Е. Не обязательно алгебра Ли), которая содержит алгебру Вирасоро. Затем спектр разлагается на представления этой алгебры, и понятия диагональной и рациональной CFT определяются по отношению к этой алгебре. ^[1]

Безмассовые теории свободных бозонов [ править ]

В двух измерениях безмассовые теории свободных бозонов конформно инвариантны. Их алгебра симметрий - это аффинная алгебра Ли, построенная из абелевой алгебры Ли ранга один. Результат слияния любых двух представлений этой алгебры симметрии дает только одно представление, и это делает корреляционные функции очень простыми.${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$

Рассмотрение минимальных моделей и теории Лиувилля как возмущенных теорий свободных бозонов приводит к использованию метода кулоновского газа для вычисления их корреляционных функций. Более того, существует однопараметрическое семейство свободных бозонных теорий с бесконечными дискретными спектрами, которые описывают компактифицированные свободные бозоны , причем параметром является радиус компактификации. ^[1]${\displaystyle c=1,}$

Модели Весса – Зумино – Виттена [ править ]

Для данной группы Ли соответствующая модель Весса – Зумино – Виттена является КТП, алгебра симметрий которой является аффинной алгеброй Ли, построенной из алгебры Ли, если компактна, то эта КТП рациональна, ее центральный заряд принимает дискретные значения, а ее спектр равен известен.${\displaystyle G,}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle G}$

Суперконформные теории поля [ править ]

Алгебра симметрии суперсимметричной CFT - это супералгебра Вирасоро или более крупная алгебра. Суперсимметричные CFT особенно важны для теории суперструн.

Теории, основанные на W-алгебрах [ править ]

W-алгебры являются естественным расширением алгебры Вирасоро. КТП, основанные на W-алгебрах, включают обобщения минимальных моделей и теории Лиувилля, называемые соответственно W-минимальными моделями и конформными теориями Тоды . Конформные теории Тоды сложнее теории Лиувилля и менее понятны.

Сигма модели [ править ]

В двух измерениях классические сигма-модели конформно инвариантны, но только некоторые целевые многообразия приводят к квантовым сигма-моделям, которые конформно инвариантны. Примеры таких целевых многообразий включают торы и многообразия Калаби-Яу .

Логарифмические конформные теории поля [ править ]

Логарифмические конформные теории поля - это двумерные КТП, в которых действие генератора алгебры Вирасоро на спектр не диагонализуемо. В частности, спектр не может быть построен только из представлений с наименьшим весом . Как следствие, зависимость корреляционных функций от положения полей может быть логарифмической. Это контрастирует со степенной зависимостью двух- и трехточечных функций, которые связаны с представлениями с наименьшим весом.${\displaystyle L_{0}}$

Модель Поттса в критическом состоянии ${\displaystyle Q}$[ править ]

Критическая модель -state Поттс или критическая модель случайного кластера является конформная теория поля , которая обобщает и унифицирует критической модели Изинга , модель Поттс и перколяции . Модель имеет параметр , который должен быть целым числом в модели Поттса, но может принимать любое сложное значение в модели случайного кластера. ^[8] Этот параметр связан с центральным зарядом соотношением ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\qquad {\text{with}}\qquad c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{-2}\ .}$

К особым значениям относятся: ^[9]${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q}$	${\displaystyle c}$	Связанная статистическая модель
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -2}$	Равномерное остовное дерево
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	Перколяция
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	Модель Изинга
${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {7}{10}}}$	Трикритическая модель Изинга
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$	Модель Поттса с тремя состояниями
${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {25}{28}}}$	Трикритическая модель Поттса с тремя состояниями
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 1}$	Модель Ашкина-Теллера

Известная статистическая сумма тора ^[10] предполагает, что модель нерациональна с дискретным спектром.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Теория конформного поля , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1997. ISBN 0-387-94785-X . 
• На странице Conformal Field Theory вики String Theory Wiki перечислены книги и обзоры.
• Рибо, Сильвен (2014). «Конформная теория поля на плоскости». arXiv : 1406.4290 [ hep-th ].