Сигма модель

В физике , А сигма - модель является теорией поля , которая описывает поле как точечная частица ограничивается движение на фиксированном многообразии. В качестве этого многообразия можно взять любое риманово многообразие , хотя чаще всего оно считается либо группой Ли, либо симметрическим пространством . Модель может квантоваться, а может и не быть. Примером неквантованной версии является модель Скирма ; его нельзя квантовать из-за нелинейностей степени больше 4. В общем, сигма-модели допускают (классические) топологические солитонные решения, например, Скирмиондля модели Skyrme. Когда сигма-поле связано с калибровочным полем, результирующая модель описывается теорией Гинзбурга – Ландау . Данная статья в первую очередь посвящена классической теории поля сигма-модели; соответствующая квантованная теория представлена ​​в статье « Нелинейная сигма-модель ».

Обзор [ править ]

Сигма-модель была введена Гелл-Манном и Леви (1960 , раздел 5); название σ-модель происходит от поля в их модели, соответствующего бесспиновому мезону под названием σ , скалярному мезону, введенному ранее Джулианом Швингером . ^[1] Модель послужила доминирующим прототипом спонтанного нарушения симметрии O (4) до O (3): три сломанных осевых генератора являются простейшим проявлением нарушения киральной симметрии , сохранившийся неразрушенный O (3) представляет изоспин .

В обычных настройках физики элементарных частиц поле обычно принимается как SU (N) или векторное подпространство частного произведения левого и правого киральных полей. В теориях конденсированного состояния поле считается равным O (N) . Для группы вращения O (3) сигма-модель описывает изотропный ферромагнетик ; в более общем плане модель O (N) проявляется в квантовом эффекте Холла , сверхтекучем гелии-3 и спиновых цепочках . ${\ Displaystyle (СУ (N) _ {L} \ раз СУ (N) _ {R}) / СУ (N)}$

В моделях супергравитации поле считается симметричным пространством . Поскольку симметрические пространства определены в терминах их инволюции , их касательное пространство естественным образом разбивается на подпространства четности и нечетности. Это расщепление помогает продвинуть размерной редукции в Калуцы-Клейна теорий.

В своей самой основной форме сигма-модель может рассматриваться как чисто кинетическая энергия точечной частицы; как поле, это просто энергия Дирихле в евклидовом пространстве.

В двух пространственных измерениях модель O (3) полностью интегрируема .

Определение [ править ]

Плотность лагранжиана сигма-модели может быть записана множеством различных способов, каждый из которых подходит для конкретного типа приложения. В простейшем и наиболее общем определении лагранжиан записывается как метрический след обратного образа метрического тензора на римановом многообразии . Для более полей над пространством - временем , это может быть записано в виде ${\ displaystyle \ phi: M \ to \ Phi}$ ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} g_ {ij} ( \ phi) \; \ partial ^ {\ mu} \ phi _ {i} \ partial _ {\ mu} \ phi _ {j}}$

где - метрический тензор на пространстве поля , а - производные на лежащем в основе пространственно-временном многообразии .${\ displaystyle g_ {ij} (\ phi)}$${\displaystyle \phi \in \Phi }$${\displaystyle \partial _{\mu }}$

Это выражение можно немного распечатать. В качестве полевого пространства можно выбрать любое риманово многообразие . Исторически это «сигма» сигма-модели; исторически соответствующий символ здесь избегается, чтобы предотвратить столкновения со многими другими обычными использованиями в геометрии. Римановы многообразия всегда имеют метрический тензор . Дано атлас карт на поле пространства всегда может быть локально тривиальным , что дано в атласе, то можно написать карту , давая четкие локальные координаты на этот патч. Метрический тензор на этом участке представляет собой матрицу, имеющую компоненты${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle U\subset \Phi }$${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \phi =(\phi ^{1},\cdots ,\phi ^{n})}$${\displaystyle g_{ij}(\phi ).}$

Базовое многообразие должно быть дифференцируемым многообразием ; по соглашению это либо пространство Минковского в приложениях физики элементарных частиц , плоское двумерное евклидово пространство для приложений конденсированного состояния , либо риманова поверхность , мировой лист в теории струн . Это просто старая добрая ковариантная производная на базовом пространственно-временном многообразии. Когда плоское, это просто обычный градиент скалярной функции (как и скалярное поле, с точки зрения самого себя). Точнее говоря,${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\partial \phi /\partial x^{\mu }}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\nabla \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial _{\mu }\phi }$является раздел о расслоении в .${\displaystyle M\times \Phi }$

Пример: O (N) нелинейная сигма-модель [ править ]

Принимая в Кронекер , ИЭ скалярного скалярное произведение в евклидове пространства, один получает нелинейную модель сигмы. То есть запишите как единичный вектор в , так что с обычным евклидовым скалярным произведением. Тогда - сфера , в изометрии из которых являются группа вращений . Тогда лагранжиан можно записать как${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle \phi ={\hat {u}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle {\hat {u}}\cdot {\hat {u}}=1}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle {\hat {u}}\in S^{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }{\hat {u}}\cdot \nabla _{\mu }{\hat {u}}}$

При это континуальный предел изотропного ферромагнетика на решетке, т. Е. Классической модели Гейзенберга . Для это континуальный предел классической XY-модели . См. Также n-векторную модель и модель Поттса для обзоров эквивалентов модели решетки . Континуальный предел берется записью ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}](i,j)={\frac {{\hat {u}}_{i}-{\hat {u}}_{j}}{h}}}$

как конечная разность на соседних участках решетки Тогда в пределе и после отбрасывания постоянных членов («объемная намагниченность»).${\displaystyle i,j.}$${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}]\to \partial _{\mu }{\hat {u}}}$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{j}\to \partial _{\mu }{\hat {u}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {u}}}$${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{i}=1}$

В геометрической записи [ править ]

Сигма-модель также может быть записана в более полных геометрических обозначениях, как расслоение слоев со слоями над дифференцируемым многообразием . Для данного участка зафиксируйте точку . Направляющая на - это карта касательных пучков.${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$${\displaystyle x\in M.}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{x}\phi :T_{x}M\to T_{\phi (x)}\Phi \quad }$ принимая ${\displaystyle \quad \partial _{\mu }\mapsto {\frac {\partial \phi ^{i}}{\partial x^{\mu }}}\partial _{i}}$

где берется ортонормированный базис векторного пространства on и базис векторного пространства on . Является дифференциальной формой . Тогда действие сигма-модели - это просто обычный скалярный продукт на векторных k -формах.${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle \partial _{i}=\partial /\partial q^{i}}$${\displaystyle T\Phi }$${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$

где - произведение клина , а - звезда Ходжа . Это внутренний продукт двумя разными способами. В первом случае, учитывая любые две дифференцируемые формы в , двойственный по Ходжу определяет инвариантный скалярный продукт на пространстве дифференциальных форм, обычно записываемый как${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle *}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle \ =\ \int _{M}\alpha \wedge {*\beta }}$

Вышеупомянутое является внутренним произведением пространства квадратично интегрируемых форм, условно принимаемого за пространство Соболева. Таким образом, можно написать${\displaystyle L^{2}.}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \mathrm {d} \phi ,\mathrm {d} \phi \rangle \!\rangle }$

Это делает явным и очевидным, что сигма-модель - это просто кинетическая энергия точечной частицы. С точки зрения многообразия поле является скаляром, поэтому его можно распознать просто обычным градиентом скалярной функции. Звезда Ходжа - это просто причудливое устройство для отслеживания формы объема при интеграции в искривленное пространство-время. В случае, если это плоский, его можно полностью игнорировать, поэтому действие${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\Vert \nabla \phi \Vert ^{2}d^{m}x}$

который является энергией Дирихля из . Классические экстремумы действия (решения уравнений Лагранжа ) - это те конфигурации поля, которые минимизируют энергию Дирихле . Другой способ преобразовать это выражение в более легко узнаваемую форму - это заметить, что для скалярной функции есть и поэтому можно также написать ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathrm {d} *f=0}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

где - оператор Лапласа – Бельтрами , т. е. обычный лапласиан, когда он плоский.${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle M}$

То, что в игре есть еще один , второй внутренний продукт, просто требует не забывать, что это вектор с точки зрения самого себя. То есть для любых двух векторов риманова метрика определяет внутренний продукт${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle v,w\in T\Phi }$${\displaystyle g_{ij}}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}}$

Поскольку на локальных диаграммах он является векторным , там также берется внутренний продукт. Более подробно,${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$${\displaystyle \mathrm {d} \phi =(\mathrm {d} \phi ^{1},\cdots ,\mathrm {d} \phi ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi ^{j}}}$

Напряжение между этими двумя внутренними продуктами можно сделать еще более явным, отметив, что

${\displaystyle B_{\mu \nu }(\phi )=g_{ij}\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial _{\nu }\phi ^{j}}$

является билинейной формой ; это откат метрики Римана . Индивидуум может быть принят в качестве vielbeins . Плотность лагранжиана сигма-модели тогда равна${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }B_{\mu \nu }}$

для метрики на. Учитывая эту склейку, можно интерпретировать как форму пайки ; более подробно это изложено ниже.${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

Мотивы и основные интерпретации [ править ]

Можно сделать несколько интерпретационных и основополагающих замечаний по поводу классической (неквантованной) сигма-модели. Во-первых, классическая сигма-модель может быть интерпретирована как модель невзаимодействующей квантовой механики. Второй касается интерпретации энергии.

Интерпретация как квантовая механика [ править ]

Это непосредственно следует из выражения

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

приведено выше. Принимая , функция может быть интерпретирована как волновая функция и ее лапласовской кинетической энергия этой волновой функции. Это просто некая геометрическая машина, напоминающая интегрироваться по всему пространству. Соответствующее квантово-механическое обозначение: В плоском пространстве лапласиан обычно записывается как . Собирая все эти части вместе, действие сигма-модели эквивалентно ${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} }$${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \langle \!\langle \cdot ,\cdot \rangle \!\rangle }$${\displaystyle \phi =|\psi \rangle .}$${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\langle \psi |\nabla ^{2}|\psi \rangle dx^{m}={\frac {1}{2}}\int _{M}\psi ^{\dagger }(x)\nabla ^{2}\psi (x)dx^{m}}$

что является просто общей кинетической энергией волновой функции с точностью до множителя . В заключение, классическую сигма-модель можно интерпретировать как квантовую механику свободной, невзаимодействующей квантовой частицы. Очевидно, что добавление члена к лагранжиану приводит к квантовой механике волновой функции в потенциале. Взятие недостаточно для описания системы -частиц, поскольку частицам требуются различные координаты, которые не предоставляются базовым многообразием. Это можно решить, сделав копии базового коллектора.${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \hbar /m}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle V(\phi )}$${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Форма припоя [ править ]

Хорошо известно, что геодезическая структура риманова многообразия описывается уравнениями Гамильтона – Якоби . ^[2] В виде эскиза конструкция выглядит следующим образом. Оба и являются римановыми многообразиями; ниже написано для , то же самое можно сделать и для . Котангенс пучок , поставляется с координатными диаграммами , всегда может быть локально тривиальным , т.е.${\displaystyle M}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}\Phi }$

${\displaystyle \left.T^{*}\Phi \right|_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{n}}$

Тривиализация дает канонические координаты на кокасательном расслоении. Учитывая метрический тензор на , определим гамильтонову функцию${\displaystyle (q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$ ${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$

где, как всегда, следует обратить внимание на то, что в этом определении используется обратная величина к мерке: как известно, геодезический поток на задается уравнениями Гамильтона – Якоби${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad }$ и ${\displaystyle \quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}}$

Геодезический поток - это гамильтонов поток ; решения вышеупомянутого - геодезические многообразия. Заметим, кстати, что по геодезическим; параметр времени - это расстояние по геодезической.${\displaystyle dH/dt=0}$${\displaystyle t}$

Сигма - модель принимает импульсы в два многообразия и и припоев их вместе, в том , что это форма припоя . В этом смысле интерпретация сигма-модели как функционала энергии неудивительна; на самом деле это склейка двух функционалов энергии. Внимание: точное определение формы припоя требует, чтобы она была изоморфизмом; это может произойти только если и имеет то же самое реальное измерение. Кроме того, обычное определение формы припоя подразумевает группу Ли. Оба условия выполняются в различных приложениях.${\displaystyle T^{*}\Phi }$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

Результаты по разным областям [ править ]

Пространство часто рассматривается как группа Ли , обычно SU (N) , в обычных моделях физики элементарных частиц, O (N) в теориях конденсированного состояния или как симметричное пространство в моделях супергравитации . Поскольку симметричные пространства определены в терминах их инволюции , их касательное пространство (то есть место, где живет) естественным образом разбивается на подпространства четной и нечетной четности. Это расщепление помогает продвинуть размерной редукции в Калуцы-Клейна теорий.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

О группах Ли [ править ]

В частном случае будет группой Ли , то есть метрический тензор на группе Ли, формально называется тензор Картанна или форма Killing . Тогда лагранжиан можно записать как откат формы Киллинга. Обратите внимание, что форму Киллинга можно записать как след по двум матрицам из соответствующей алгебры Ли ; таким образом, лагранжиан также можно записать в форме, содержащей след. С небольшими изменениями его можно также записать как откат формы Маурера-Картана .${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle g_{ij}}$

О симметричных пространствах [ править ]

Распространенный вариант сигма-модели - представить ее в симметричном пространстве . Типичным примером является хиральная модель , в которой продукт

${\displaystyle G=SU(N)\times SU(N)}$

«левого» и «правого» киральных полей, а затем строит сигма-модель на «диагонали»

${\displaystyle \Phi ={\frac {SU(N)\times SU(N)}{SU(N)}}}$

Такое фактор-пространство является симметричным пространством, поэтому в общем случае можно взять, где - максимальная подгруппа , инвариантная относительно инволюции Картана . Лагранжиан по-прежнему записывается точно так же, как указано выше, либо в терминах возврата метрики в метрику, либо в виде возврата формы Маурера-Картана.${\displaystyle \Phi =G/H}$${\displaystyle H\subset G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/H}$

Обозначение трассировки [ править ]

В физике наиболее распространенное и общепринятое утверждение сигма-модели начинается с определения

${\displaystyle L_{\mu }=\pi _{\mathfrak {m}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

Здесь - возврат формы Маурера-Картана для на многообразие пространства-времени. Это проекция на часть инволюции Картана с нечетной четностью. То есть, учитывая алгебру Ли из инволюция decompses пространства на нечетные и четные компоненты четности , соответствующих два собственных состояний инволюции. Тогда лагранжиан сигма-модели может быть записан как${\displaystyle g^{-1}\partial _{\mu }g}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle \pi _{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$

Это сразу узнается как первый член модели Скирма .

Метрическая форма [ править ]

Эквивалентная метрическая форма этого состоит в том, чтобы записать групповой элемент как геодезическую элемента алгебры Ли . Базисные элементы алгебры Ли; являются структурными константами из .${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g=\exp(\theta ^{i}T_{i})}$${\displaystyle \theta ^{i}T_{i}\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [T_{i},T_{j}]={f_{ij}}^{k}T_{k}}$${\displaystyle {f_{ij}}^{k}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Подсоединение этого непосредственно к вышесказанному и применение бесконечно малой формы формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа быстро приводит к эквивалентному выражению

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}={\frac {1}{2}}\;{W_{i}}^{m}{W^{n}}_{j}\;\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}\;\;\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$

где теперь очевидно (пропорционально) форме Киллинга, а - контрольные точки, которые выражают "изогнутую" метрику в терминах "плоской" метрики . В статье о формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа дается явное выражение для контрольных точек. Их можно записать как${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$${\displaystyle {W_{i}}^{m}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}}$

где - матрица с матричными элементами . ${\displaystyle M}$${\displaystyle {M_{j}}^{k}=\theta ^{i}{f_{ij}}^{k}}$

Для сигма-модели на симметричном пространстве, в отличие от группы Ли, ограничиваются охватом подпространства, а не всего . Коллектор Ли на будет не находиться ; действительно, есть, и поэтому проекция все еще необходима.${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}}$

Расширения [ править ]

Модель может быть расширена множеством способов. Помимо вышеупомянутой модели Скирма , которая вводит члены четвертой степени, модель может быть дополнена торсионным членом, чтобы получить модель Весса – Зумино – Виттена .

Другая возможность часто встречается в моделях супергравитации . Здесь можно отметить, что форма Маурера-Картана выглядит как «чистая калибровка». В приведенной выше конструкции для симметричных пространств можно также рассмотреть другую проекцию${\displaystyle g^{-1}dg}$

${\displaystyle A_{\mu }=\pi _{\mathfrak {h}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

где по-прежнему симметричное пространство соответствовало расщеплению . Этот дополнительный член можно интерпретировать как связь на пучке волокон (он трансформируется как калибровочное поле). Это то, что «осталось» после подключения . Его можно наделить собственной динамикой, написав ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle M\times H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=g_{ij}F^{i}\wedge *F^{j}}$

с . Обратите внимание, что дифференциал здесь просто «d», а не ковариантная производная; это не тензор энергии-импульса Янга-Миллса. Этот член сам по себе не является калибровочно-инвариантным; он должен быть взят вместе с частью связи, которая встраивается в , так что вместе взятые, теперь со связностью как его частью, вместе с этим членом образует полный калибровочно-инвариантный лагранжиан (который действительно имеет Янг- Миллс выражает это в развернутом виде).${\displaystyle F^{i}=dA^{i}}$${\displaystyle L_{\mu }}$${\displaystyle L_{\mu }}$

Ссылки [ править ]

• Гелл-Манн, М .; Леви, М. (1960), "Осевой векторный ток в бета-распаде", Il Nuovo Cimento , 16 : 705–726, Bibcode : 1960NCim ... 16..705G , doi : 10.1007 / BF02859738

• Кетов, Сергей (2009). «Нелинейная сигма-модель» . Scholarpedia . 4 (1): 8508. Bibcode : 2009SchpJ ... 4.8508K . DOI : 10,4249 / scholarpedia.8508 .