Теория поля Лиувилля

В физике , теории поля Лиувилля (или просто теория Лиувилля ) является двумерной конформной теории поля которого классическое уравнение движения является обобщением уравнения Лиувилля .

Теория Лиувилля определена для всех комплексных значений центрального заряда ее алгебры симметрии Вирасоро , но она унитарна, только если ${\ displaystyle c}$

${\ Displaystyle с \ в (1, + \ infty)}$,

и его классический предел является

${\ Displaystyle с \ по + \ infty}$.

Хотя это теория взаимодействия с непрерывным спектром , теория Лиувилля решена. В частности, аналитически определена его трехточечная функция на сфере .

Введение [ править ]

Теория Лиувилля описывает динамику поля, называемого полем Лиувилля, которое живет в двумерном пространстве. Это поле не является свободным из-за наличия экспоненциального потенциала${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle В (\ фи) = е ^ {2b \ фи} \,}$

где параметр называется константой связи . В теории свободного поля собственные векторы энергии были бы линейно независимыми, а импульс сохранялся бы во взаимодействиях. В теории Лиувилля импульс не сохраняется. ${\ displaystyle b}$${\displaystyle e^{2\alpha \phi }}$${\displaystyle \alpha }$

Отражение собственного вектора энергии с импульсом от экспоненциального потенциала теории Лиувилля${\displaystyle \alpha }$

Более того, потенциал отражает собственные векторы энергии до того, как они достигнут , и два собственных вектора линейно зависят, если их импульсы связаны отражением${\displaystyle \phi =+\infty }$

${\displaystyle \alpha \to Q-\alpha \ ,}$

где фоновый заряд

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}\ .}$

Хотя экспоненциальный потенциал нарушает закон сохранения импульса, он не нарушает конформную симметрию, и теория Лиувилля является конформной теорией поля с центральным зарядом

${\displaystyle c=1+6Q^{2}\ .}$

При конформных преобразованиях собственный вектор энергии с импульсом преобразуется как первичное поле с конформной размерностью :${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha )\ .}$

Центральный заряд и конформные размерности инвариантны относительно двойственности

${\displaystyle b\to {\frac {1}{b}}\ ,}$

В корреляционных функциях теории Лиувилля ковариантны под этой двойственностью, и при отражениях импульсов. Эти квантовые симметрии теории Лиувилля, однако, не проявляются в лагранжевой формулировке, в частности, экспоненциальный потенциал не инвариантен относительно дуальности.

Спектральные и корреляционные функции [ править ]

Спектр [ править ]

Спектр теории Лиувилля представляет собой диагональная комбинацию модулей Вермы в алгебре Вирасоро ,${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{{\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}d\Delta \ {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }\ ,}$

где и обозначают один и тот же модуль Верма, рассматриваемый как представление лево- и правосторонней алгебры Вирасоро соответственно. Что касается импульсов , ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }}$${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

соответствует

${\displaystyle \alpha \in {\frac {Q}{2}}+i\mathbb {R} _{+}}$.

Отношение отражения отвечает за то, что импульс принимает значения на полупрямой, а не на полной линии в свободной теории.

Теория Лиувилля унитарна тогда и только тогда, когда . Спектр теории Лиувилля не включает вакуумное состояние . Состояние вакуума может быть определено, но оно не способствует расширению продукта оператором .${\displaystyle c\in (1,+\infty )}$

Поля и отношение отражения [ править ]

В теории Лиувилля первичные поля обычно параметризуются их импульсом, а не их конформной размерностью , и обозначаются . Оба поля и соответствуют первичному состоянию представления и связаны соотношением отражения${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$${\displaystyle V_{Q-\alpha }(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$

${\displaystyle V_{\alpha }(z)=R(\alpha )V_{Q-\alpha }(z)\ ,}$

где коэффициент отражения равен ^[1]

${\displaystyle R(\alpha )=\pm \lambda ^{Q-2\alpha }{\frac {\Gamma (b(2\alpha -Q))\Gamma ({\frac {1}{b}}(2\alpha -Q))}{\Gamma (b(Q-2\alpha ))\Gamma ({\frac {1}{b}}(Q-2\alpha ))}}\ .}$

(Знак - если и в противном случае, а параметр нормализации - произвольный.)${\displaystyle +1}$${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \lambda }$

Корреляционные функции и формула DOZZ [ править ]

При трехточечная структурная постоянная задается формулой ДОЗЗ (для Дорна-Отто ^[2] и Замолодчикова-Замолодчикова ^[3] ), ${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$

${\displaystyle C_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[b^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}\Upsilon _{b}'(0)\Upsilon _{b}(2\alpha _{1})\Upsilon _{b}(2\alpha _{2})\Upsilon _{b}(2\alpha _{3})}{\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q)\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\Upsilon _{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1})\Upsilon _{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

где специальная функция является разновидностью множественной гамма-функции .${\displaystyle \Upsilon _{b}}$

Для трехточечная структурная постоянная равна ^[1]${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[(ib)^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}{\hat {\Upsilon }}_{b}(0){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{2}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{3})}{{\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

куда

${\displaystyle {\hat {\Upsilon }}_{b}(x)={\frac {1}{\Upsilon _{ib}(-ix+ib)}}\ .}$

${\displaystyle N}$-точечные функции на сфере могут быть выражены через константы трехточечной структуры и конформные блоки . Точечная функция может иметь несколько различных выражений: что они согласны эквивалентно перекрестную симметрию функции четыре пунктов, которое было проверено численно ^{[3] [4]} и доказаны аналитический. ^{[5] [6]}${\displaystyle N}$

Теория Лиувилля существует не только на сфере, но и на любой римановой поверхности рода . Технически, это эквивалентно модульной инвариантности на торе функции одной точке. Из-за замечательного тождества конформных блоков и структурных констант это свойство модулярной инвариантности может быть получено из перекрестной симметрии четырехточечной функции сферы. ^{[7] [4]}${\displaystyle g\geq 1}$

Уникальность теории Лиувилля [ править ]

Используя подход конформного бутстрапа , можно показать, что теория Лиувилля является единственной конформной теорией поля, такой что ^[1]

• спектр представляет собой континуум без кратностей больше единицы,
• корреляционные функции аналитически зависят от и импульсов,${\displaystyle b}$
• существуют вырожденные поля.

Лагранжева формулировка [ править ]

Действие и уравнение движения [ править ]

Теория Лиувилля определяется локальным действием

${\displaystyle S[\phi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi +QR\phi +\lambda 'e^{2b\phi })\ ,}$

где есть метрика в двумерном пространстве , на котором формулируется теория, является Риччи скалярная этого пространства, и это поле Лиувилля. Параметр , который иногда называют космологической постоянной, связан с параметром, который появляется в корреляционных функциях соотношением ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \lambda '}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}}$.

Уравнение движения, связанное с этим действием:

${\displaystyle \Delta \phi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\phi (x)}\ ,}$

где - оператор Лапласа – Бельтрами . Если - евклидова метрика , это уравнение сводится к${\displaystyle \Delta =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\phi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\phi (x_{1},x_{2})}\ ,}$

что эквивалентно уравнению Лиувилля .

Конформная симметрия [ править ]

Использование сложной системы координат и евклидовой метрики${\displaystyle z}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dzd{\bar {z}}}$,

в тензоре энергии-импульсе компонента «сек подчиняется

${\displaystyle T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0\quad ,\quad \partial _{\bar {z}}T_{zz}=0\quad ,\quad \partial _{z}T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\ .}$

Не обращающиеся в нуль компоненты:

${\displaystyle T=T_{zz}=(\partial _{z}\phi )^{2}+Q\partial _{z}^{2}\phi \quad ,\quad {\bar {T}}=T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=(\partial _{\bar {z}}\phi )^{2}+Q\partial _{\bar {z}}^{2}\phi \ .}$

Каждый из этих двух компонентов порождает алгебру Вирасоро с центральным зарядом

${\displaystyle c=1+6Q^{2}}$.

Для обеих этих алгебр Вирасоро поле является первичным полем с конформной размерностью ${\displaystyle e^{2\alpha \phi }}$

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha )}$.

Для того чтобы теория имела конформную инвариантность , поле, которое появляется в действии, должно быть маргинальным , т.е. иметь конформную размерность ${\displaystyle e^{2b\phi }}$

${\displaystyle \Delta (b)=1}$.

Это приводит к соотношению

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}}$

между фоновым зарядом и константой связи. Если это соотношение соблюдается, то оно фактически является маргинальным, и теория конформно инвариантна.${\displaystyle e^{2b\phi }}$

Интеграл по пути [ править ]

Интегральное представление точки корреляционной функции первичных полей имеет вид ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i}}(z_{i})\right\rangle =\int D\phi \ e^{-S[\phi ]}\prod _{i=1}^{N}e^{2\alpha _{i}\phi (z_{i})}\ .}$

Было трудно определить и вычислить этот интеграл по путям. В представлении интеграла по путям не очевидно, что теория Лиувилля обладает точной конформной инвариантностью , и не очевидно, что корреляционные функции инвариантны относительно соотношения отражения и подчиняются ему. Тем не менее, представление интеграла по путям можно использовать для вычисления остатков корреляционных функций на некоторых из их полюсов в виде интегралов Доценко-Фатеева (т.е. интегралов кулоновского газа), и именно так формула DOZZ была впервые угадана в 1990-х годах. Только в 2010-х годах была найдена строгая вероятностная конструкция интеграла по путям, которая привела к доказательству формулы DOZZ ^[8]${\displaystyle b\to b^{-1}}$и конформный бутстрап. ^[9]

Отношения с другими конформными теориями поля [ править ]

Некоторые пределы теории Лиувилля [ править ]

Когда центральный заряд и конформные размерности отправляются в соответствующие дискретные значения, корреляционные функции теории Лиувилля сводятся к корреляционным функциям диагональных (A-серия) минимальных моделей Вирасоро . ^[1]

С другой стороны, когда центральный заряд отправляется одному, в то время как конформные измерения остаются непрерывными, теория Лиувилля стремится к теории Ранкеля-Уоттса, нетривиальной конформной теории поля (CFT) с непрерывным спектром, трехточечная функция которой не аналитична как функция импульсов. ^[10] Обобщения теории Ранкеля-Уоттса получаются из теории Лиувилля путем взятия пределов типа . ^[4] Итак, для известны две различные КТП с одинаковым спектром: теория Лиувилля, трехточечная функция которой аналитична, и другая КТП с неаналитической трехточечной функцией.${\displaystyle b^{2}\notin \mathbb {R} ,b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}}$${\displaystyle b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}}$

Модели WZW [ править ]

Теория Лиувилля может быть получена из модели Весса – Зумино – Виттена с помощью квантовой редукции Дринфельда – Соколова . Более того, корреляционные функции модели (евклидова версия модели WZW) могут быть выражены через корреляционные функции теории Лиувилля. ^{[11] [12]} Это также верно для корреляционных функций 2-й модели смежных классов черной дыры . ^[11] Более того, существуют теории, которые непрерывно интерполируют между теорией Лиувилля и моделью. ^[13]${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle SL_{2}/U_{1}}$${\displaystyle H_{3}^{+}}$

Конформная теория Тоды [ править ]

Теория Лиувилля - это простейший пример теории поля Тоды , связанный с матрицей Картана . Более общие конформные теории Тоды можно рассматривать как обобщения теории Лиувилля, лагранжианы которой включают несколько бозонов, а не один бозон , и чьи алгебры симметрий являются W-алгебрами, а не алгеброй Вирасоро.${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle \phi }$

Суперсимметричная теория Лиувилля [ править ]

Теория Лиувилля допускает два различных суперсимметричных расширения, называемых суперсимметричной теорией Лиувилля и суперсимметричной теорией Лиувилля. ^[14]${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

Приложения [ править ]

Лиувиллевская гравитация [ править ]

В двух измерениях уравнения Эйнштейна сводятся к уравнению Лиувилля , поэтому теория Лиувилля обеспечивает квантовую теорию гравитации, которая называется гравитацией Лиувилля . Не следует путать ^{[15] [16]} с моделью CGHS или гравитацией Джеки-Тейтельбойма .

Теория струн [ править ]

Теория Лиувилля появляется в контексте теории струн при попытке сформулировать некритическую версию теории в формулировке интеграла по путям . ^[17] Также в контексте теории струн, если она связана со свободным бозонным полем , теорию поля Лиувилля можно рассматривать как теорию, описывающую возбуждение струны в двумерном пространстве (времени).

Другие приложения [ править ]

Теория Лиувилля связана с другими субъектами в области физики и математики, такие как трехмерное общей теории относительности в отрицательно искривленных пространствах , то проблема униформизация из римановых поверхностей и других проблем в конформного отображения . Он также связан с инстантонными статистическими суммами в некоторых четырехмерных суперконформных калибровочных теориях посредством AGT-соответствия .

Путаница в названии ${\displaystyle c\leq 1}$[ править ]

Теория Лиувилля впервые появилась как модель зависящей от времени теории струн под названием времяподобная теория Лиувилля . ^[18] Ее также называют обобщенной минимальной моделью . ^[19] Впервые она была названа теорией Лиувилля, когда было обнаружено, что она действительно существует и является пространственноподобной, а не временной. ^[4] По состоянию на 2020 год ни одно из этих трех имен не является общепринятым.${\displaystyle c\leq 1}$

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Антти Купиайнен , Введение в теорию Лиувилля, выступление в Институте перспективных исследований, май 2018 г.