Уравнение Лиувилля

---

В дифференциальной геометрии уравнение Лиувилля , названное в честь Жозефа Лиувилля ^{[2] [3]} , является нелинейным уравнением в частных производных , которому удовлетворяет конформный фактор f метрики f ² (d x ²  + d y ² ) на поверхности постоянной гауссовской кривизна К :

Уравнение Лиувилля появляется при изучении изотермических координат в дифференциальной геометрии: независимые переменные x, y являются координатами, а f можно описать как конформный фактор по отношению к плоской метрике. Иногда конформным фактором называют квадрат ^f2 , а не сам f .

Уравнение Лиувилля также было взято в качестве примера Давидом Гильбертом при формулировке его девятнадцатой проблемы . ^[4]

Используя замену переменных log  f  ↦  u , получается другая часто встречающаяся форма уравнения Лиувилля:

Другие две формы уравнения, обычно встречающиеся в литературе, ^[5] получаются с использованием легкого варианта 2 log  f  ↦  u предыдущей замены переменных и исчисления Виртингера : ^[6] ${\ displaystyle \ Delta _ {0} u = -2Ke ^ {u} \ quad \ Longleftrightarrow \ quad {\ frac {\ partial ^ {2} u} {{\ partial z} {\ partial {\ bar {z} }}}} = - {\ frac {K} {2}} e ^ {u}.}$

Обратите внимание, что именно в первой из двух предыдущих форм уравнение Лиувилля было процитировано Давидом Гильбертом при формулировке его девятнадцатой проблемы . ^{[4] [а]}

---