Производные Виртингера

В комплексном анализе одного и нескольких комплексных переменных , производный Виртингер (иногда называемые также операторы Виртингер ^[1] ), названные в честь Вильгельма Виртингера , который ввел их в 1927 году в ходе своих исследований по теории функций нескольких комплексных переменных , являются частичными дифференциальные операторы первого порядка, которые ведут себя очень похоже на обычные производные по одной действительной переменной , когда применяются к голоморфным функциям , антиголоморфным функциям или просто дифференцируемым функциямна сложных доменах . Эти операторы позволяют построить дифференциальное исчисление для таких функций, которое полностью аналогично обычному дифференциальному исчислению для функций действительных переменных . ^[2]

Исторические заметки [ править ]

Ранние годы (1899–1911): работы Анри Пуанкаре [ править ]

Производные Виртингера использовались в комплексном анализе, по крайней мере, еще в статье ( Poincaré 1899 ), как кратко отметили Cherry & Ye (2001 , стр. 31) и Реммерт (1991 , стр. 66–67). ^[3] Фактически, в третьем абзаце своей статьи 1899 года ^[4] Анри Пуанкаре сначала определяет комплексную переменную в и ее комплексно сопряженную переменную следующим образом.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.}$

Затем он записывает уравнение , определяющее функции , которые он называет biharmonique , ^[5] , ранее написанные с использованием частных производных относительно действительных переменных с числом от 1 до , точно следующим образом ^[6]${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{k},y_{q}}$${\displaystyle k,q}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0}$

Это означает, что он неявно использовал определение 2 ниже: чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить уравнения 2 и 2 'из ( Poincaré 1899 , p. 112). По-видимому, эта статья не была замечена ранними исследователями теории функций нескольких комплексных переменных : в работах Леви-Чивиты (1905) , Леви (1910) (и Леви 1911 ) и Аморосо (1912) все фундаментальные частные производные операторы теории выражаются непосредственно с помощью частных производных по отношению к реальным и мнимым частям этих комплексным переменныхвовлеченный. В долгосрочной обзорной статье Осгуда (1966) (впервые опубликована в 1913 г.), ^[7] частные производные по отношению к каждой комплексной переменной части в голоморфному функции нескольких комплексных переменных , как представляется, означает , как формальных производных : на самом деле , когда Осгуд выражает плюригармонический оператор ^[8] и оператор Леви , он следует установившейся практике Аморосо , Леви и Леви-Чивиты .

Работа Дмитрия Помпейу в 1912 и 1913 годах: новая формулировка [ править ]

Согласно Хенрици (1993 , с. 294), новый шаг в определении этого понятия был сделан Димитри Помпейу : в статье ( Помпейу, 1912 ) дана комплекснозначная дифференцируемая функция (в смысле реального анализа ) одного комплексная переменная, определенная в окрестности данной точки, он определяет ареолярную производную как следующий предел${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}{\overset {\mathrm {def} }{=}}\lim _{r\to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} z,}$

где есть граница о диске радиуса целиком содержится в области определения из т.е. его ограничивающая круг . ^[9] Это, очевидно, альтернативное определение производной Виртингера по комплексно сопряженной переменной : ^[10] оно является более общим, поскольку, как отметил Хенрици (1993 , стр. 294), предел может существовать для функций которые даже не дифференцируются в ^[11]. Согласно Fichera (1969 , стр. 28), он первым идентифицировал ареолярную производную как${\displaystyle \Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g(z),}$ ${\displaystyle z=z_{0}.}$слабой производной в смысле Соболева был Илья Векуа . ^[12] В своей следующей статье Помпейу (1913) использует это новое определение для того, чтобы ввести свое обобщение интегральной формулы Коши , теперь называемой формулой Коши – Помпейу .

Работа Вильгельма Виртингера [ править ]

Первое систематическое введение производных Виртингера, по-видимому, связано с Вильгельмом Виртингером в статье Wirtinger 1926 , чтобы упростить вычисления величин, встречающихся в теории функций нескольких комплексных переменных : в результате введения этих дифференциальных операторов форма все дифференциальные операторы обычно используется в теории, как оператор Леви и оператор Кошей-Риман , значительно упрощаются и , следовательно , проще в обращение. Статья намеренно написана с формальной точки зрения, то есть без строгого вывода выводимых свойств.

Формальное определение [ править ]

Несмотря на повсеместное использование, ^[13] , кажется , что нет никакого текста , перечисляя все свойства производных Виртингера: однако, достаточно полные ссылки короткий курс на многомерном комплексном анализе на (1976 Андреотти ., Стр 3-5), ^{[14 ]} монографии по Ганнинга и Росси (1965 , стр. 3-6), ^[15] и монографии Каупа & Каупа (1983 , стр. 2,4) ^[16] , которые используются в качестве общих ссылок в этом и следующем разделы.

Функции одной сложной переменной [ править ]

Определение 1. Рассмотрим комплексную плоскость. Производные Виртингера определяются как следующие линейные дифференциальные операторы в частных производных первого порядка:${\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{aligned}}}$

Очевидно, что естественный домен определения этих частичных дифференциальных операторов является пространством функций на области , но, так как эти операторы линейные и имеют постоянные коэффициенты , они легко могут быть распространены на каждое пространство из обобщенных функций . C 1 {\displaystyle C^{1}} ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

Функции от n > 1 комплексных переменных [ править ]

Определение 2. Рассмотрим евклидово пространство на комплексном поле. Производные Виртингера определяются как следующие линейные дифференциальные операторы в частных производных первого порядка:${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.}$

Что касается производных Виртингера для функций одной комплексной переменной, естественной областью определения этих операторов в частных производных снова является пространство функций в области, и снова, поскольку эти операторы линейны и имеют постоянные коэффициенты , их можно легко распространить на любую пространство из обобщенных функций . C 1 {\displaystyle C^{1}} ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2n},}$

Основные свойства [ править ]

В настоящем разделе и в следующих предполагается, что это комплексный вектор, а где - действительные векторы , с n  ≥ 1: также предполагается, что подмножество можно рассматривать как область в реальном евклидовом пространстве или в его изоморфный комплексный аналог. Все доказательства являются простыми следствиями определения 1 и определения 2 и соответствующих свойств производных (обычных или частичных ).${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}$${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Линейность [ править ]

Лемма 1. Если и - комплексные числа , то для выполнения следующих равенств${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Правило продукта [ править ]

Лемма 2. Если , то для правила продукта имеет${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega ),}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Это свойство означает, что производные Виртингера являются производными с точки зрения абстрактной алгебры , как и обычные производные .

Цепное правило [ править ]

Это свойство имеет две различные формы соответственно для функций одного и нескольких комплексных переменных : для п  > 1 случай, чтобы выразить цепное правило в полной общности, необходимо рассмотреть две области и и две карты и имеющие естественной гладкости требования. ^[17]${\displaystyle \Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle \Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}}$ ${\displaystyle g:\Omega '\to \Omega }$${\displaystyle f:\Omega \to \Omega ''}$

Функции одной сложной переменной [ править ]

Лемма 3.1 Если и то правило цепи имеет место${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega ),}$${\displaystyle g(\Omega )\subseteq \Omega ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{aligned}}}$

Функции от n > 1 комплексных переменных [ править ]

Лемма 3.2 Если и тогда для следующего вида цепного правила выполняется правило${\displaystyle g\in C^{1}(\Omega ',\Omega )}$${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ,\Omega ''),}$${\displaystyle i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Спряжение [ править ]

Лемма 4. Если тогда для выполнения следующих равенств${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ),}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• CR – функция
• Комплекс Дольбо
• Оператор Dolbeault
• Плюригармоническая функция

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]