f ( R ) гравитация

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Июль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

е ( R ) представляет собой тип модифицированной гравитационной теориикоторая обобщает Эйнштейна общей теории относительности . е ( Р ) гравитации на самом деле семейство теорий, каждая изопределяется другой функцией, F , от Риччи скаляр , R . В простейшем случае функция равна скаляру; это общая теория относительности. Вследствие введения произвольной функции может появиться свобода объяснения ускоренного расширения и формирования структуры Вселенной без добавления неизвестных форм темной энергии илитемная материя . Некоторые функциональные формы могут быть вдохновлены поправками, вытекающими из квантовой теории гравитации . Гравитация f ( R ) была впервые предложена в 1970 году Хансом Адольфом Бухдалом ^[1] (хотя для названия произвольной функции использовалось ϕ, а не f ). Это стало активной областью исследований после работы Старобинского по космической инфляции . ^[2] Широкий спектр явлений может быть получен из этой теории путем принятия различных функций; однако многие функциональные формы теперь можно исключить на основании наблюдений или из-за патологических теоретических проблем.

Введение [ править ]

В f ( R ) гравитации пытаются обобщить лагранжиан действия Эйнштейна – Гильберта :

{\ displaystyle S [g] = \ int {1 \ over 2 \ kappa} R {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

к

{\ displaystyle S [g] = \ int {1 \ over 2 \ kappa} f (R) {\ sqrt {-g}} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

где - определитель метрического тензора , а - некоторая функция от скаляра Риччи . ${\ displaystyle \ kappa = {\ tfrac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}, g = \ det g _ {\ mu \ nu}}$ ${\ Displaystyle f (R)}$

Этот раздел требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. ( Июль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Метрическая `f` ( `R` ) гравитация [ править ]

Вывод полевых уравнений [ править ]

В метрике гравитации f ( R ) к уравнениям поля приходят, варьируя по метрике и не рассматривая связь независимо. Для полноты картины кратко упомянем основные этапы вариации действия. Основные шаги такие же, как и в случае вариации действия Эйнштейна – Гильберта (подробнее см. В статье), но есть и некоторые важные отличия.

Вариация определителя, как всегда:

{\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} }

Риччи скалярным определяются как

{\ Displaystyle R = g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}.}

Следовательно, его вариация относительно обратной метрики определяется выражением ${\ Displaystyle г ^ {\ му \ ню}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta R & = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g ^ {\ mu \ nu} \ delta R _ {\ mu \ nu} \\ & = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g ^ {\ mu \ nu} \ left (\ nabla _ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ mu} ^ {\ rho} - \ nabla _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ rho \ mu} ^ {\ rho} \ right) \ end {align}}}

Второй шаг - в статье о действии Эйнштейна – Гильберта . Поскольку это разность двух связей, она должна преобразовываться как тензор. Следовательно, его можно записать как ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}$

\delta \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {1}{2}}g^{\lambda a}\left(\nabla _{\mu }\delta g_{a\nu }+\nabla _{\nu }\delta g_{a\mu }-\nabla _{a}\delta g_{\mu \nu }\right).

Подставляя в уравнение выше:

\delta R=R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu }

где это производная ковариантной и является оператором Даламбера . $\nabla _{\mu }$ $\square =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }$

Обозначая , изменение действия гласит: $F(R)={\frac {df}{dR}}$

{\begin{aligned}\delta S[g]&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(\delta f(R){\sqrt {-g}}+f(R)\delta {\sqrt {-g}}\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}\left(F(R)\delta R{\sqrt {-g}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\left(F(R)(R_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Box \delta g^{\mu \nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\delta g^{\mu \nu })-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }f(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}

Выполняя интегрирование по частям по второму и третьему слагаемым (без учета граничных вкладов), получаем:

\delta S[g]=\int {\frac {1}{2\kappa }}{\sqrt {-g}}\delta g^{\mu \nu }\left(F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }f(R)+[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }]F(R)\right)\,\mathrm {d} ^{4}x.

Требуя, чтобы действие оставалось инвариантным при изменении метрики, получаем уравнения поля: ${\frac {\delta S}{\delta g^{\mu \nu }}}=0$

F(R)R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}f(R)g_{\mu \nu }+\left[g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right]F(R)=\kappa T_{\mu \nu },

где - тензор энергии-импульса, определяемый как $T_{\mu \nu }$

T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} })}{\delta g^{\mu \nu }}},

где - лагранжиан материи. ${\mathcal {L}}_{m}$

Обобщенные уравнения Фридмана [ править ]

Предполагая метрику Робертсона – Уокера с масштабным фактором, мы можем найти, что обобщенные уравнения Фридмана будут (в единицах где ): $a(t)$ $\kappa =1$

3FH^{2}=\rho _{\rm {m}}+\rho _{\rm {rad}}+{\frac {1}{2}}(FR-f)-3H{\dot {F}}

-2F{\dot {H}}=\rho _{\rm {m}}+{\frac {4}{3}}\rho _{\rm {rad}}+{\ddot {F}}-H{\dot {F}},

куда

H={\frac {\dot {a}}{a}},

точка представляет собой производную по космическому времени t , а члены ρ _m и ρ _rad представляют плотности вещества и излучения соответственно; они удовлетворяют уравнениям неразрывности:

{\dot {\rho }}_{\rm {m}}+3H\rho _{\rm {m}}=0;

{\dot {\rho }}_{\rm {rad}}+4H\rho _{\rm {rad}}=0.

Измененная константа Ньютона [ править ]

Интересной особенностью этих теорий является тот факт, что гравитационная постоянная зависит от времени и масштаба. ^[3] Чтобы увидеть это, добавьте небольшое скалярное возмущение к метрике (в ньютоновской калибровке ):

\mathrm {d} s^{2}=-(1+2\Phi )\mathrm {d} t^{2}+\alpha ^{2}(1-2\Psi )\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}

где Φ и Ψ - ньютоновские потенциалы и используют уравнения поля первого порядка. После некоторых длительных вычислений можно определить уравнение Пуассона в пространстве Фурье и связать дополнительные члены, появляющиеся в правой части, с эффективной гравитационной постоянной G _eff . Таким образом, мы получаем гравитационный потенциал (справедливый для субгоризонтных масштабов k ² ≫ a ²H ² ):

\Phi =-4\pi G_{\mathrm {eff} }{\frac {a^{2}}{k^{2}}}\delta \rho _{\mathrm {m} }

где δ ρ _m - возмущение плотности вещества, k - масштаб Фурье, а G _eff :

G_{\mathrm {eff} }={\frac {1}{8\pi F}}{\frac {1+4{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}{1+3{\frac {k^{2}}{a^{2}R}}m}},

с

m\equiv {\frac {RF_{,R}}{F}}.

Массивные гравитационные волны [ править ]

Этот класс теорий при линеаризации демонстрирует три режима поляризации для гравитационных волн , две из которых соответствуют безмассовому гравитону (спиральности ± 2), а третья (скалярная) исходит из того факта, что, если мы принимаем во внимание конформное преобразование, Теория четвертого порядка f ( R ) становится общей теорией относительности плюс скалярное поле . Чтобы увидеть это, определите

\Phi \to f'(R)\quad {\textrm {and}}\quad {\frac {dV}{d\Phi }}\to {\frac {2f(R)-Rf'(R)}{3}},

и используйте приведенные выше уравнения поля, чтобы получить

\Box \Phi ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} \Phi }}

Работая с первым порядком теории возмущений:

g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }

\Phi =\Phi _{0}+\delta \Phi

и после некоторой утомительной алгебры можно найти возмущение метрики, которое соответствует гравитационным волнам. Конкретная частотная составляющая для волны, распространяющейся в направлении z , может быть записана как

h_{\mu \nu }(t,z;\omega )=A^{+}(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{+}+A^{\times }(\omega )\exp(-i\omega (t-z))e_{\mu \nu }^{\times }+h_{f}(v_{\mathrm {g} }t-z;\omega )\eta _{\mu \nu }

куда

h_{f}\equiv {\frac {\delta \Phi }{\Phi _{0}}},

и v _г ( ω ) = D ω / д к является групповой скоростью из волнового пакета ч _е с центром на волновом вектор к . Первые два члена соответствуют обычным поперечным поляризациям из общей теории относительности, а третий соответствует новой массивной поляризационной моде теорий f ( R ). Поперечные моды распространяются со скоростью света , но скалярная мода движется со скоростью v _G <1 (в единицах, где c = 1), эта мода является дисперсионной.

Эквивалентный формализм [ править ]

При определенных дополнительных условиях ^[4] мы можем упростить анализ теорий f ( R ), введя вспомогательное поле Φ . Предполагая для всех R , пусть V ( Φ ) - преобразование Лежандра функции f ( R ), так что и . Тогда получается действие О'Хэнлона (1972): $f''(R)\neq 0$ $\Phi =f'(R)$ $R=V'(\Phi )$

S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[{\frac {1}{2\kappa }}\left(\Phi R-V(\Phi )\right)+{\mathcal {L}}_{\text{m}}\right].

У нас есть уравнения Эйлера – Лагранжа

V'(\Phi )=R

\Phi \left(R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\right)+\left(g_{\mu \nu }\Box -\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\right)\Phi +{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }V(\Phi )=\kappa T_{\mu \nu }

Исключая Φ , мы получаем точно такие же уравнения, как и раньше. Однако уравнения имеют только второй порядок по производным, а не четвертый порядок.

В настоящее время мы работаем с рамой Jordan . Выполнив конформное масштабирование

{\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi g_{\mu \nu },

преобразуем в систему отсчета Эйнштейна :

R=\Phi \left[{\tilde {R}}+{\frac {3{\tilde {\Box }}\Phi }{\Phi }}-{\frac {9}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}\right]

S=\int d^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {{\tilde {\nabla }}\Phi }{\Phi }}\right)^{2}-{\frac {V(\Phi )}{\Phi ^{2}}}\right]

после интеграции по частям.

Определение и замена ${\tilde {\Phi }}={\sqrt {3}}\ln {\Phi }$

S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}{\frac {1}{2\kappa }}\left[{\tilde {R}}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {\Phi }}\right)^{2}-{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})\right]

{\tilde {V}}({\tilde {\Phi }})=e^{-{\frac {2}{\sqrt {3}}}{\tilde {\Phi }}}V\left(e^{{\tilde {\Phi }}/{\sqrt {3}}}\right).

Это общая теория относительности в сочетании с реальным скалярным полем: использование теорий f ( R ) для описания ускоряющейся Вселенной практически эквивалентно использованию квинтэссенции . (По крайней мере, эквивалентно оговорке о том, что мы еще не указали связи материи, поэтому (например) гравитация f ( R ), в которой материя минимально связана с метрикой (то есть в системе Жордана), эквивалентна теории квинтэссенции в котором скалярное поле передает пятую силу с гравитационной силой.)

Палатини `f` ( `R` ) гравитация [ править ]

В гравитации Палатини f ( R ) каждый трактует метрику и связность независимо и варьирует действие по отношению к каждой из них отдельно. Предполагается, что лагранжиан материи не зависит от связи. Эти теории было показано, что эквивалентно теории Отруби-Дике с со = - ³ / ₂ . ^[5]^[6] Из-за структуры теории, однако, теории Палатини f ( R ), по-видимому, противоречат Стандартной модели, ^[5]^[7] могут противоречить экспериментам в Солнечной системе, ^[6]и, кажется, создают нежелательные особенности. ^[8]

Метрически-аффинная `f` ( `R` ) гравитация [ править ]

В метрическо-аффинной гравитации f ( R ) можно еще больше обобщить, рассматривая как метрику, так и связность независимо, и предполагая, что лагранжиан материи также зависит от связи.

Наблюдательные тесты [ править ]

Поскольку существует много потенциальных форм f ( R ) гравитации, трудно найти общие тесты. Кроме того, поскольку в некоторых случаях отклонения от общей теории относительности могут быть сколь угодно малыми, невозможно окончательно исключить некоторые модификации. Некоторый прогресс может быть достигнут, не принимая конкретную форму функции f ( R ), которую Тейлор разлагает

f(R)=a_{0}+a_{1}R+a_{2}R^{2}+\cdots

Первый член подобен космологической постоянной и должен быть небольшим. Следующий коэффициент a ₁ можно установить равным единице, как в общей теории относительности. Для метрической гравитации f ( R ) (в отличие от гравитации Палатини или метрически-аффинной f ( R ) гравитации) квадратичный член лучше всего ограничивается измерениями пятой силы , поскольку это приводит к поправке Юкавы к гравитационному потенциалу. Лучшие текущие границы | а ₂ | <4 × 10 ⁻⁹ м ² или аналогичный | а ₂ | <2.3 × 10 ²² ГэВ ⁻² . ^[9]^[10]

Параметризованных постньютоновский формализм предназначен , чтобы иметь возможность ограничить общие модифицированные теории гравитации. Однако гравитация f ( R ) имеет многие из тех же значений, что и общая теория относительности, и поэтому ее нельзя отличить с помощью этих тестов. ^[11] В частности, отклонение света не изменилось, поэтому гравитация f ( R ), как и общая теория относительности, полностью согласуется с границами слежения Кассини . ^[9]

Старобинская гравитация [ править ]

Старобинская гравитация имеет следующий вид

f(R)=R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}

где имеет габариты масса. ^[12] $M$

Тензорное обобщение [ править ]

Гравитация f ( R ), представленная в предыдущих разделах, является скалярной модификацией общей теории относительности. В более общем плане мы можем иметь

\int \mathrm {d} ^{D}x{\sqrt {-g}}\,f(R,R^{\mu \nu }R_{\mu \nu },R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma })

муфта с участием инварианты Риччи тензора и тензора Вейля . Особые случаи F ( R ) тяжесть, конформная гравитация , Гаусс-Bonnet тяжесть и Лавлки тяжесть . Обратите внимание, что при любой нетривиальной тензорной зависимости у нас обычно есть дополнительные массивные степени свободы со спином 2 в дополнение к безмассовому гравитону и массивному скаляру. Исключение составляет гравитация Гаусса – Бонне, где члены четвертого порядка для компонентов со спином 2 сокращаются.

См. Также [ править ]

Расширенные теории гравитации
Гаусс-Бонне гравитация
Гравитация Лавлока

Ссылки [ править ]

^ Buchdahl, НА (1970). «Нелинейные лагранжианы и космологическая теория» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 150 : 1–8. Bibcode : 1970MNRAS.150 .... 1B . DOI : 10.1093 / MNRAS / 150.1.1 .
Перейти ↑ Starobinsky, AA (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Физика Письма Б . 91 (1): 99–102. Bibcode : 1980PhLB ... 91 ... 99S . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (80) 90670-X .
^ Tsujikawa, Синдзи (2007). «Возмущения плотности материи и эффективная гравитационная постоянная в модифицированных гравитационных моделях темной энергии». Physical Review D . 76 (2): 023514. arXiv : 0705.1032 . Bibcode : 2007PhRvD..76b3514T . DOI : 10.1103 / PhysRevD.76.023514 . S2CID 119324187 .
^ Де Феличе, Антонио; Цудзикава, Синдзи (2010). «Теории f (R)» . Живые обзоры в теории относительности . 13 (1): 3. arXiv : 1002,4928 . Bibcode : 2010LRR .... 13 .... 3D . DOI : 10.12942 / LRR-2010-3 . PMC 5255939 . PMID 28179828 .
^ а б Фланаган, EE (2004). «Свобода конформной рамки в теориях гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 21 (15): 3817–3829. arXiv : gr-qc / 0403063 . Bibcode : 2004CQGra..21.3817F . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 21/15 / N02 . S2CID 117619981 .
^ a b Olmo, GJ (2005). "Гравитационный лагранжиан согласно экспериментам Солнечной системы". Письма с физическим обзором . 95 (26): 261102. arXiv : gr-qc / 0505101 . Bibcode : 2005PhRvL..95z1102O . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.95.261102 . PMID 16486333 . S2CID 27440524 .
^ Иглесиас, А .; Kaloper, N .; Padilla, A .; Парк, М. (2007). «Как (не) использовать формулировку Палатини скалярно-тензорной гравитации». Physical Review D . 76 (10): 104001. arXiv : 0708.1163 . Bibcode : 2007PhRvD..76j4001I . DOI : 10.1103 / PhysRevD.76.104001 .
^ Barausse, E .; Сотириу, Т.П .; Миллер, JC (2008). "Запретная теорема для политропных сфер в Палатини f ( R ) гравитации". Классическая и квантовая гравитация . 25 (6): 062001. arXiv : gr-qc / 0703132 . Bibcode : 2008CQGra..25f2001B . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 25/6/062001 . S2CID 119370540 .
^ a b Берри, CPL; Гейр, младший (2011). «Линеаризованная гравитация f ( R ): Гравитационное излучение и испытания Солнечной системы». Physical Review D . 83 (10): 104022. arXiv : 1104.0819 . Bibcode : 2011PhRvD..83j4022B . DOI : 10.1103 / PhysRevD.83.104022 . S2CID 119202399 .
^ Cembranos, JAR (2009). «Темная материя из R ² Gravity». Письма с физическим обзором . 102 (14): 141301. arXiv : 0809.1653 . Bibcode : 2009PhRvL.102n1301C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.141301 . PMID 19392422 . S2CID 33042847 .
Перейти ↑ Clifton, T. (2008). «Параметризованный постньютоновский предел теорий гравитации четвертого порядка». Physical Review D . 77 (2): 024041. arXiv : 0801.0983 . Bibcode : 2008PhRvD..77b4041C . DOI : 10.1103 / PhysRevD.77.024041 . S2CID 54174617 .
Перейти ↑ Starobinsky, AA (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Физика Письма Б . 91 : 99–102. Bibcode : 1980PhLB ... 91 ... 99S . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (80) 90670-X .

Дальнейшее чтение [ править ]

См. Главу 29 в учебнике «Частицы и квантовые поля» Кляйнерта, Х. (2016), World Scientific (Сингапур, 2016) (также доступно в Интернете )
Сотириу, Т.П .; Фараони, В. (2010). "f (R) теории гравитации". Обзоры современной физики . 82 (1): 451–497. arXiv : 0805.1726 . Bibcode : 2010RvMP ... 82..451S . DOI : 10.1103 / RevModPhys.82.451 . S2CID 15024691 .
Сотириу, Т.П. (2009). «6 + 1 урок по гравитации f (R)». Журнал физики: Серия конференций . 189 (9): 012039. arXiv : 0810.5594 . Bibcode : 2009JPhCS.189a2039S . DOI : 10.1088 / 1742-6596 / 189/1/012039 . S2CID 14820388 .
Capozziello, S .; Де Лаурентис, М. (2011). «Расширенные теории гравитации». Отчеты по физике . 509 (4–5): 167–321. arXiv : 1108,6266 . Bibcode : 2011PhR ... 509..167C . DOI : 10.1016 / j.physrep.2011.09.003 . S2CID 119296243 .

Внешние ссылки [ править ]

f ( R ) гравитация на arxiv.org
Расширенные теории гравитации

[1] Buchdahl, НА (1970). «Нелинейные лагранжианы и космологическая теория» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 150 : 1–8. Bibcode : 1970MNRAS.150 .... 1B . DOI : 10.1093 / MNRAS / 150.1.1 .

[2] Перейти ↑ Starobinsky, AA (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Физика Письма Б . 91 (1): 99–102. Bibcode : 1980PhLB ... 91 ... 99S . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (80) 90670-X .

[3] Tsujikawa, Синдзи (2007). «Возмущения плотности материи и эффективная гравитационная постоянная в модифицированных гравитационных моделях темной энергии». Physical Review D . 76 (2): 023514. arXiv : 0705.1032 . Bibcode : 2007PhRvD..76b3514T . DOI : 10.1103 / PhysRevD.76.023514 . S2CID 119324187 .

[4] Де Феличе, Антонио; Цудзикава, Синдзи (2010). «Теории f (R)» . Живые обзоры в теории относительности . 13 (1): 3. arXiv : 1002,4928 . Bibcode : 2010LRR .... 13 .... 3D . DOI : 10.12942 / LRR-2010-3 . PMC 5255939 . PMID 28179828 .

[flanagan04-5] а б Фланаган, EE (2004). «Свобода конформной рамки в теориях гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 21 (15): 3817–3829. arXiv : gr-qc / 0403063 . Bibcode : 2004CQGra..21.3817F . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 21/15 / N02 . S2CID 117619981 .

[olmo05-6] Olmo, GJ (2005). "Гравитационный лагранжиан согласно экспериментам Солнечной системы". Письма с физическим обзором . 95 (26): 261102. arXiv : gr-qc / 0505101 . Bibcode : 2005PhRvL..95z1102O . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.95.261102 . PMID 16486333 . S2CID 27440524 .

[7] Иглесиас, А .; Kaloper, N .; Padilla, A .; Парк, М. (2007). «Как (не) использовать формулировку Палатини скалярно-тензорной гравитации». Physical Review D . 76 (10): 104001. arXiv : 0708.1163 . Bibcode : 2007PhRvD..76j4001I . DOI : 10.1103 / PhysRevD.76.104001 .

[8] Barausse, E .; Сотириу, Т.П .; Миллер, JC (2008). "Запретная теорема для политропных сфер в Палатини f ( R ) гравитации". Классическая и квантовая гравитация . 25 (6): 062001. arXiv : gr-qc / 0703132 . Bibcode : 2008CQGra..25f2001B . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 25/6/062001 . S2CID 119370540 .

[Berry-9] Берри, CPL; Гейр, младший (2011). «Линеаризованная гравитация f ( R ): Гравитационное излучение и испытания Солнечной системы». Physical Review D . 83 (10): 104022. arXiv : 1104.0819 . Bibcode : 2011PhRvD..83j4022B . DOI : 10.1103 / PhysRevD.83.104022 . S2CID 119202399 .

[10] Cembranos, JAR (2009). «Темная материя из R ² Gravity». Письма с физическим обзором . 102 (14): 141301. arXiv : 0809.1653 . Bibcode : 2009PhRvL.102n1301C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.141301 . PMID 19392422 . S2CID 33042847 .

[11] Перейти ↑ Clifton, T. (2008). «Параметризованный постньютоновский предел теорий гравитации четвертого порядка». Physical Review D . 77 (2): 024041. arXiv : 0801.0983 . Bibcode : 2008PhRvD..77b4041C . DOI : 10.1103 / PhysRevD.77.024041 . S2CID 54174617 .

[12] Перейти ↑ Starobinsky, AA (1980). «Новый тип изотропных космологических моделей без сингулярности». Физика Письма Б . 91 : 99–102. Bibcode : 1980PhLB ... 91 ... 99S . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (80) 90670-X .

[1]