Альтернативы общей теории относительности

Фактическая точность этой статьи оспаривается . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите обеспечить надежный источник спорных утверждений . ( Февраль 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Альтернативами общей теории относительности являются физические теории, которые пытаются описать явление гравитации в конкуренции с общей теорией относительности Эйнштейна . Было много разных попыток построить идеальную теорию гравитации . ^[1]

Эти попытки можно разделить на четыре большие категории в зависимости от их объема. В этой статье мы обсуждаем простые альтернативы общей теории относительности, которые не связаны с квантовой механикой или объединением сил. Другие теории, которые действительно пытаются построить теорию, используя принципы квантовой механики, известны как теории квантованной гравитации . В-третьих, есть теории, которые пытаются объяснить гравитацию и другие силы одновременно; они известны как классические теории единого поля . Наконец, самые амбициозные теории пытаются как описать гравитацию в терминах квантовой механики, так и объединить силы; их называют теориями всего .

Ни одна из этих альтернатив общей теории относительности не получила широкого распространения. Несмотря на множество проверок общей теории относительности , общая теория относительности до сих пор остается совместимой со всеми наблюдениями. Напротив, многие ранние альтернативы были окончательно опровергнуты. Однако некоторые альтернативные теории гравитации поддерживаются меньшинством физиков, и эта тема остается предметом интенсивных исследований в теоретической физике .

История теории гравитации через общую теорию относительности [ править ]

На момент публикации в 17 веке теория гравитации Исаака Ньютона была самой точной теорией гравитации. С тех пор был предложен ряд альтернатив. Теории, которые предшествовали формулировке общей теории относительности в 1915 году, обсуждаются в истории теории гравитации .

Общая теория относительности [ править ]

Эта теория ^{[2] [3]} - это то, что мы сейчас называем «общей теорией относительности» (включена сюда для сравнения). Полностью отбрасывая метрику Минковского, Эйнштейн получает:

${\ displaystyle \ delta \ int ds = 0 \,}$

${\ displaystyle {ds} ^ {2} = g _ {\ mu \ nu} \, dx ^ {\ mu} \, dx ^ {\ nu} \,}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\,}$

что также может быть написано

${\displaystyle T^{\mu \nu }={c^{4} \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\,.}$

За пять дней до того, как Эйнштейн представил последнее уравнение выше, Гильберт представил статью, содержащую почти идентичное уравнение. См. Спор о приоритете относительности . Гильберт был первым, кто правильно сформулировал действие Эйнштейна – Гильберта для общей теории относительности, а именно:

${\displaystyle S={c^{4} \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\ d^{4}x+S_{m}\,}$

где - гравитационная постоянная Ньютона, - кривизна Риччи пространства и - действие, обусловленное массой.${\displaystyle G\,}$${\displaystyle R=R_{\mu }^{~\mu }\,}$${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })\,}$${\displaystyle S_{m}\,}$

Общая теория относительности - это тензорная теория, все уравнения содержат тензоры. С другой стороны, теории Нордстрема являются скалярными, потому что гравитационное поле является скаляром. Позже в этой статье вы увидите скалярно-тензорные теории, которые содержат скалярное поле в дополнение к тензорам общей теории относительности, а также недавно были разработаны другие варианты, содержащие векторные поля.

Мотивации [ править ]

После общей теории относительности были предприняты попытки либо улучшить теории, разработанные до общей теории относительности, либо улучшить саму общую теорию относительности. Было предпринято множество различных попыток, например, добавление спина к общей теории относительности, объединение метрики, подобной общей теории относительности, с пространством-временем, которое статично по отношению к расширению Вселенной, получение дополнительной свободы путем добавления еще одного параметра. По крайней мере, одна теория была мотивирована желанием разработать альтернативу общей теории относительности, свободную от сингулярностей.

Экспериментальные испытания улучшились вместе с теориями. Многие из различных стратегий, которые были разработаны вскоре после отказа от общей теории относительности, и был толчок к разработке более общих форм сохранившихся теорий, чтобы теория была готова, когда любой тест покажет несогласие с общей теорией относительности.

К 1980-м годам все возрастающая точность экспериментальных тестов подтвердила общую теорию относительности; не осталось конкурентов, кроме тех, которые включали общую теорию относительности как частный случай. Кроме того, вскоре после этого теоретики переключились на теорию струн, которая начинала казаться многообещающей, но с тех пор потеряла популярность. В середине 1980-х годов несколько экспериментов предполагали, что гравитация была изменена добавлением пятой силы (или, в одном случае, пятой, шестой и седьмой сил), действующих в диапазоне нескольких метров. Последующие эксперименты устранили их.

Мотивы для более поздних альтернативных теорий почти все космологические, связанные или заменяющие такие конструкции, как « инфляция », « темная материя » и « темная энергия ». Исследование аномалии Pioneer вызвало новый интерес общественности к альтернативам общей теории относительности.

Обозначения в этой статье [ править ]

${\displaystyle c\;}$это скорость света , это гравитационная постоянная . « Геометрические переменные » не используются.${\displaystyle G\;}$

Латинские индексы идут от 1 до 3, греческие - от 0 до 3. Используются правила суммирования Эйнштейна .

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\;}$- метрика Минковского . - тензор, обычно метрический тензор . Они имеют подпись (-, +, +, +).${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

Частичная дифференциация пишется или . Ковариантное дифференцирование пишется или .${\displaystyle \partial _{\mu }\varphi \;}$${\displaystyle \varphi _{,\mu }\;}$${\displaystyle \nabla _{\mu }\varphi \;}$${\displaystyle \varphi _{;\mu }\;}$

Классификация теорий [ править ]

Теории гравитации можно условно разделить на несколько категорий. Большинство описанных здесь теорий:

• « действие » (см. принцип наименьшего действия , вариационный принцип, основанный на концепции действия)
• плотность лагранжиана
• метрика

Если теория имеет лагранжевую плотность, скажем , для гравитации, то гравитационная часть действия является ее интегралом:${\displaystyle L\,}$${\displaystyle S\,}$

${\displaystyle S=\int L{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$.

В этом уравнении обычно, хотя и не обязательно, при использовании декартовых координат иметь пространственную бесконечность. Например, действие Эйнштейна – Гильберта использует${\displaystyle g=-1\,}$

${\displaystyle L\,\propto \,R}$

где R - скалярная кривизна , мера кривизны пространства.

Почти каждая теория, описанная в этой статье, имеет действие . Это наиболее эффективный из известных способов гарантировать автоматическое включение необходимых законов сохранения энергии, импульса и углового момента; хотя легко построить действие, в котором эти законы сохранения нарушаются. Канонические методы предоставляют другой способ построения систем с требуемыми законами сохранения, но этот подход более громоздок в реализации. ^[4] В оригинальной версии MOND 1983 года не было экшена.

Некоторые теории имеют действие, но не имеют лагранжевой плотности. Хорошим примером является Whitehead ^[5], действие там называется нелокальным.

Теория гравитации является «метрической теории» тогда и только тогда , когда оно может быть дано математическое представление , в котором два условия:
Условие 1 : Там существует симметричный метрический тензор с сигнатурой (-, +, +, +), который регулирует измерения собственной длины и собственного времени обычным способом в специальной и общей теории относительности:${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle {d\tau }^{2}=-g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

где есть суммирование по индексам и . Условие 2 : Напряженное вещество и поля, на которые действует сила тяжести, реагируют в соответствии с уравнением:${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{,\nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }T^{\sigma \nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }T^{\mu \sigma }\,}$

где - тензор энергии-импульса для всех материальных и негравитационных полей, где - ковариантная производная по метрике, - символ Кристоффеля . Тензор энергии-импульса также должен удовлетворять энергетическому условию .${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle \nabla _{\nu }}$${\displaystyle \Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\,}$

Метрические теории включают (от самых простых до самых сложных):

• Скалярные теории поля (включая конформно плоские теории и стратифицированные теории с конформно плоскими пространственными срезами)
  • Бергман
  • Коулман
  • Эйнштейн (1912)
  • Теория Эйнштейна – Фоккера
  • Ли - Лайтман - Ни
  • Littlewood
  • Ni
  • Теория гравитации Нордстрема (первая разработанная метрическая теория гравитации)
  • Пейдж – Таппер
  • Папапетру
  • Розен (1971)
  • Уитроу-Мордух
  • Йылмазская теория гравитации (попытка исключить горизонты событий из теории).
• Квазилинейные теории (включая линейную фиксированную калибровку)
  • Боллини – Джамбиаджи – Тиомно
  • Дезер – Лоран
  • Теория гравитации Уайтхеда (предназначенная для использования только запаздывающих потенциалов )
• Тензорные теории
  • Общая теория относительности Эйнштейна
  • Гравитация четвертого порядка (позволяет лагранжиану зависеть от сжатия второго порядка тензора кривизны Римана)
  • f (R) гравитация (позволяет лагранжиану зависеть от старших степеней скаляра Риччи)
  • Гаусс-Бонне гравитация
  • Теория гравитации Лавлока (позволяет лагранжиану зависеть от сжатия тензора кривизны Римана более высокого порядка)
  • Теорема о бесконечной производной гравитации
• Скалярно-тензорные теории
  • Бекенштейн
  • Бергманн – Ваггонер
  • Теория Бранса – Дикке (наиболее известная альтернатива общей теории относительности, призванная лучше применять принцип Маха)
  • Иордания
  • Нордтведт
  • Тридцать
  • Хамелеон
  • Pressuron
• Векторно-тензорные теории
  • Hellings- Nordtvedt
  • Воля - Нордтведт
• Биметрические теории
  • Лайтман - Ли
  • Расталл
  • Розен (1975)
• Другие метрические теории

(см. раздел « Современные теории» ниже)

Неметрические теории включают

• Белинфанте – Свихарт
• Теория Эйнштейна – Картана (предназначена для управления спин-орбитальным обменом угловым моментом)
• Кустаанхеймо (1967)
• Телепараллелизм
• Калибровочная теория гравитации

Здесь уместно сказать несколько слов о принципе Маха, потому что некоторые из этих теорий основаны на принципе Маха (например, Уайтхеда ^[5] ), а многие упоминают его мимоходом (например, Эйнштейн – Гроссманн ^[6], Бранс – Дике ^[7] ). Принцип Маха можно представить себе на полпути между Ньютоном и Эйнштейном. Это происходит так: ^[8]

• Ньютон: Абсолютное пространство и время.
• Мах: Система отсчета исходит из распределения материи во Вселенной.
• Эйнштейн: Нет системы отсчета.

Пока все экспериментальные свидетельства указывают на неправильность принципа Маха, но это не исключено полностью. ^{[ необходима цитата ]}

Теории с 1917 по 1980 годы [ править ]

В этот раздел включены альтернативы общей теории относительности, опубликованные после общей теории относительности, но до наблюдений вращения галактик, которые привели к гипотезе « темной материи ». Здесь рассматриваются следующие (см. Will ^{[9] [10]} Lang ^{[11] [12]} ):

Эти теории представлены здесь без космологической постоянной или добавленного скалярного или векторного потенциала, если специально не указано иное, по той простой причине, что необходимость в одном или обоих из них не была признана до наблюдений сверхновых в рамках проекта Supernova Cosmology Project и High-Z Supernova Search. Команда . Как добавить космологическую константу или квинтэссенцию к теории, обсуждается в разделе «Современные теории» (см. Также действие Эйнштейна – Гильберта ).

Теории скалярного поля [ править ]

Теории скалярного поля Нордстрёма ^{[48] [49]} уже обсуждались. Формулы Литтлвуда, ^[21] Бергмана, ^[23] Йилмаза, ^[26] Уитроу и Мордуха ^{[28] [29]} и Пейджа и Таппера ^[33] следуют общей формуле, приведенной Пейджем и Таппером.

Согласно Пейджу и Тапперу ^[33], которые обсуждают все это, кроме Нордстрёма ^[49], общая теория скалярного поля исходит из принципа наименьшего действия:

${\displaystyle \delta \int f\left({\tfrac {\varphi }{c^{2}}}\right)\,ds=0}$

где скалярное поле,

${\displaystyle \varphi ={\frac {GM}{r}}}$

и c может зависеть или не зависеть от .${\displaystyle \varphi }$

В Нордстрёме ^[48]

${\displaystyle f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}),\qquad c=c_{\infty }}$

В Литтлвуде ^[21] и Бергманне ^[23]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}-{\frac {(c/\varphi ^{2})^{2}}{2}}\right)\qquad c=c_{\infty }\,}$

В Уитроу и Мордухе ^[28]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=1,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

В Уитроу и Мордуч, ^[29]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right),\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

В Пейдж и Таппер, ^[33]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)={\frac {\varphi }{c^{2}}}+\alpha \left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)^{2},\qquad {\frac {c_{\infty }^{2}}{c^{2}}}=1+4\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)+(15+2\alpha )\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)^{2}}$

Страница и Таппер ^[33] соответствует теории Yilmaz в ^[26] для второго порядка , когда .${\displaystyle \alpha =-7/2}$

Гравитационное отклонение света должно быть нулевым, когда c постоянна. Учитывая, что переменная c и нулевое отклонение света противоречат эксперименту, перспективы успешной скалярной теории гравитации выглядят очень маловероятными. Кроме того, если параметры скалярной теории настроены так, чтобы отклонение света было правильным, то гравитационное красное смещение, вероятно, будет неправильным.

Ни ^[10] обобщил некоторые теории, а также создал еще две. В первом случае ранее существовавшие координаты пространства-времени и универсального времени специальной теории относительности взаимодействуют с веществом и негравитационными полями, создавая скалярное поле. Это скалярное поле действует вместе со всеми остальными, создавая метрику.

Действие:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-2g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi }$

Misner et al. ^[50] дает это без термина. это дело действия.${\displaystyle \varphi R}$${\displaystyle S_{m}}$

${\displaystyle \Box \varphi =4\pi T^{\mu \nu }\left[\eta _{\mu \nu }e^{-2\varphi }+\left(e^{2\varphi }+e^{-2\varphi }\right)\,\partial _{\mu }t\,\partial _{\nu }t\right]}$

t - всемирная координата времени. Эта теория непротиворечива и полна. Но движение Солнечной системы через Вселенную приводит к серьезным расхождениям с экспериментом.

Во второй теории Ni ^[10] существует две произвольные функции , и которые имеют отношение к метрике:${\displaystyle f(\varphi )}$${\displaystyle k(\varphi )}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{-2f(\varphi )}dt^{2}-e^{2f(\varphi )}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )}$

Ni ^[10] цитирует Rosen ^[38] , как имеющие два скалярных поля и которые имеют отношение к метрике:${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ds^{2}=\varphi ^{2}\,dt^{2}-\psi ^{2}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

У Папапетру ^[19] гравитационная часть лагранжиана:

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{\varphi }\left({\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{\varphi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)}$

У Папапетру ^[20] есть второе скалярное поле . Гравитационная часть лагранжиана теперь:${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{{\frac {1}{2}}(3\varphi +\chi )}\left(-{\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi -e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\chi }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{-\chi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)\,}$

Биметрические теории [ править ]

Биметрические теории содержат как нормальную тензорную метрику, так и метрику Минковского (или метрику постоянной кривизны), а также могут содержать другие скалярные или векторные поля.

Розен ^[51] (1975) биметрическая теория Действие:

${\displaystyle S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-\eta }}\eta ^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }g^{\gamma \delta }(g_{\alpha \gamma |\mu }g_{\alpha \delta |\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta |\mu }g_{\gamma \delta |\nu })+S_{m}}$

${\displaystyle \Box _{\eta }g_{\mu \nu }-g^{\alpha \beta }\eta ^{\gamma \delta }g_{\mu \alpha |\gamma }g_{\nu \beta |\delta }=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)\,}$

Лайтман – Ли ^[43] разработал метрическую теорию, основанную на неметрической теории Белинфанте и Свихарта. ^{[24] [25]} Результат известен как теория BSLL. Учитывая тензорное поле , и две константы и действие:${\displaystyle B_{\mu \nu }\,}$${\displaystyle B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle a\,}$${\displaystyle f\,}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{\mu \nu |\alpha }B_{\mu \nu |\alpha }+fB_{,\alpha }B^{,\alpha })+S_{m}}$

а тензор энергии-импульса получается из:

${\displaystyle a\Box _{\eta }B^{\mu \nu }+f\eta ^{\mu \nu }\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g/\eta }}\,T^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial B_{\mu }\nu }}\right)}$

В Rastall ^[47] метрика является алгебраической функцией метрики Минковского и векторного поля. ^[52] Действие:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}F(N)K^{\mu ;\nu }K_{\mu ;\nu }+S_{m}}$

куда

${\displaystyle F(N)=-{\frac {N}{2+N}}}$ и ${\displaystyle N=g^{\mu \nu }K_{\mu }K_{\nu }\;}$

( уравнение поля для и см. в Уилле ^[9] ).${\displaystyle T^{\mu \nu }\;}$${\displaystyle K_{\mu }\;}$

Квазилинейные теории [ править ]

В Whitehead , ^[5] физическая метрика строится (по Синга ) алгебраически из метрики Минковского и материи переменных, так что даже не имеет скалярное поле. Конструкция:${\displaystyle g\;}$${\displaystyle \eta \;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x^{\alpha })=\eta _{\mu \nu }-2\int _{\Sigma ^{-}}{y_{\mu }^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}\left[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }\,d\Sigma _{\alpha }\right]^{-}}$

где верхний индекс (-) указывает величины, оцененные вдоль светового конуса прошедшего времени точки поля, и${\displaystyle \eta \;}$${\displaystyle x^{\alpha }\;}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(y^{\mu })^{-}&=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-},\qquad (y^{\mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0,\\[5pt]w^{-}&=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-},\qquad (u_{\mu })={\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }},\\[5pt]d\sigma ^{2}&=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\end{aligned}}}$

Тем не менее, метрическая конструкция (из неметрической теории) с использованием анзаца «стягивания длины» подвергается критике. ^[53]

Дезер и Лоран ^[32] и Боллини – Джамбиаджи – Тиомно ^[35] являются линейными теориями с фиксированной калибровкой. Используя подход из квантовой теории поля, объедините пространство-время Минковского с калибровочно-инвариантным действием тензорного поля спина два (т.е. гравитона), чтобы определить${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\;}$

Действие:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\left[2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\mu \lambda }^{|\lambda }-2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\lambda |\mu }^{\lambda }+h_{\nu |\mu }^{\nu }h_{\lambda }^{\lambda |\mu }-h^{\mu \nu |\lambda }h_{\mu \nu |\lambda }\right]+S_{m}\;}$

Идентичность Bianchi , связанная с этой частичной калибровочной инвариантности является неправильным. Теории линейной фиксированной калибровки стремятся исправить это, нарушая калибровочную инвариантность гравитационного воздействия путем введения дополнительных гравитационных полей, которые взаимодействуют с ними .${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

Космологическая константа может быть введена в теорию квазилинейном по простым способом изменения фона Минковского к деСиттера или анти-де Ситтера пространства - времени , как это было предложено Г. Храм в 1923 году предложения Темпл о том , как сделать это подверглись критике со стороны ЦБ Райнер в 1955 году. ^[54]

Тензорные теории [ править ]

Эйнштейн общей теория относительности является простейшей правдоподобной теорией гравитации , которая может быть основана только на одном симметричном поле тензора ( метрический тензор ). Другие включают в себя: Старобинской (R + R ^ 2) гравитацию, Гаусс-Bonnet гравитацию , F (R) гравитацию и теорию Лавлок тяжести .

Старобинский [ править ]

Старобинская гравитация, предложенная Алексеем Старобинским, имеет лагранжиан

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}\right]}$

и использовался для объяснения инфляции в форме инфляции Старобинского .

Гаусс-Бонне [ править ]

Гравитация Гаусса-Бонне имеет действие

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+R^{2}-4R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

где коэффициенты при дополнительных членах выбраны так, что действие сводится к общей теории относительности в четырех измерениях пространства-времени, а дополнительные члены становятся нетривиальными только тогда, когда вводятся дополнительные измерения.

4-я производная гравитации Стелла [ править ]

Четвертая производная гравитации Стелля, которая является обобщением гравитации Гаусса – Бонне, имеет действие

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+f_{1}R^{2}+f_{2}R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+f_{3}R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

f (R) [ править ]

f (R) гравитация действует

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}f(R)}$

и представляет собой семейство теорий, каждая из которых определяется отдельной функцией скаляра Риччи. Старобинская гравитация на самом деле теория.${\displaystyle f(R)}$

Бесконечная производная гравитация [ править ]

Бесконечная производная гравитации - это ковариантная теория гравитации, квадратичная по кривизне, без кручения и инвариантная по четности, ^[55]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[M_{p}^{2}R+Rf_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R+R^{\mu \nu }f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

и

${\displaystyle 2f_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+2f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)=0,}$

чтобы убедиться, что в пропагаторе гравитона вокруг фона Минковского распространяются только безмассовые компоненты со спином −2 и спином −0. Действие становится нелокальным за пределами шкалы и восстанавливается до общей теории относительности в инфракрасном диапазоне для энергий ниже нелокального масштаба . В ультрафиолетовом режиме, на расстояниях и временных масштабах ниже нелокальных масштабов, гравитационное взаимодействие ослабевает достаточно, чтобы разрешить точечную сингулярность, что означает, что сингулярность Шварцшильда потенциально может быть разрешена в теориях гравитации с бесконечной производной .${\displaystyle M_{s}}$${\displaystyle M_{s}}$${\displaystyle M_{s}^{-1}}$

Лавлок [ править ]

Гравитация Лавлока действует

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),}$

и может рассматриваться как обобщение общей теории относительности.

Скалярно-тензорные теории [ править ]

Все они содержат по крайней мере один свободный параметр, в отличие от общей теории относительности, в которой нет свободных параметров.

Хотя обычно не считается скалярно-тензорной теорией гравитации, метрика Калуцы – Клейна 5 на 5 сводится к метрике 4 на 4 и одному скаляру. Таким образом, если 5-й элемент рассматривается как скалярное гравитационное поле вместо электромагнитного поля, то Калуца-Клейн можно считать прародителем скалярно-тензорных теорий гравитации. Это признал Тири. ^[18]

Скалярно-тензорные теории включают Тири, ^[18] Джордан, ^[22] Бранс и Дике, ^[7] Бергман, ^[34] Нордтвельдт (1970), Ваггонер ^[37], Бекенштейн ^[45] и Баркер. ^[46]

Действие основано на интеграле лагранжиана .${\displaystyle S\;}$${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi )\;}$

${\displaystyle S_{m}=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,G_{N}L_{m}\;}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{\mu \nu }}}$

где - разные безразмерные функции для каждой теории скалярного тензора. Функция играет ту же роль, что и космологическая постоянная в общей теории относительности. - безразмерная нормализационная константа, фиксирующая текущее значение . К скаляру можно добавить произвольный потенциал.${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$${\displaystyle G_{N}\;}$${\displaystyle G\;}$

Полная версия сохраняется у Бергмана ^[34] и Ваггонера. ^[37] Особые случаи:

Нордтведт, ^[36] ${\displaystyle \lambda =0\;}$

Поскольку в то время все равно считалось равным нулю, это не могло считаться существенной разницей. Роль космологической постоянной в более современных работах обсуждается в разделе « Космологическая постоянная» .${\displaystyle \lambda }$

Бранса – Дике, ^[7] постоянна${\displaystyle \omega \;}$

Теория переменной массы Бекенштейна ^[45]. Начав с параметров и , найденных из космологического решения, определяет функцию, затем${\displaystyle r\;}$${\displaystyle q\;}$${\displaystyle \varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{-r}\;}$${\displaystyle f\;}$

${\displaystyle \omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\varphi )[(1-6q)qf(\varphi )-1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{-2}\;}$

Теория постоянной G Баркера ^[46]

${\displaystyle \omega (\varphi )={\frac {4-3\varphi }{2\varphi -2}}}$

Корректировка позволяет скалярным тензорным теориям стремиться к общей теории относительности в пределе текущей эпохи. Однако в ранней Вселенной могли быть значительные отличия от общей теории относительности.${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$${\displaystyle \omega \rightarrow \infty \;}$

Пока общая теория относительности подтверждается экспериментом, нельзя полностью исключить общие скалярно-тензорные теории (включая Бранса-Дике ^[7] ), но по мере того, как эксперименты продолжают более точно подтверждать общую теорию относительности, и параметры должны быть точно настроены. так что предсказания более точно совпадают с предсказаниями общей теории относительности.

Приведенные выше примеры являются частными случаями теории Horndeski в , ^{[56] [57]} наиболее общий лагранжиан построен из метрического тензора и скалярного поля ведущего к уравнениям второго порядка движения в 4-мерном пространстве. Было показано, что жизнеспособные теории помимо Хорндески (с уравнениями движения более высокого порядка) существуют. ^{[58] [59] [60]}

Векторно-тензорные теории [ править ]

Прежде чем мы начнем, Уилл (2001) сказал: «Многие альтернативные метрические теории, разработанные в 1970-х и 1980-х годах, можно рассматривать как теории« соломенного человека », изобретенные для доказательства существования таких теорий или для иллюстрации конкретных свойств. Лишь немногие из них могли можно рассматривать как хорошо мотивированные теории с точки зрения, скажем, теории поля или физики элементарных частиц. Примерами являются векторные тензорные теории, изученные Уиллом, Нордтведтом и Хеллингсом ».

Хеллингс и Нордтведт ^[42] и Уилл и Нордтведт ^[41] являются векторно-тензорными теориями. Помимо метрического тензора существует времяподобное векторное поле . Гравитационное действие:${\displaystyle K_{\mu }.}$

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi G}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{\mu \nu }-\epsilon F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+\tau K_{\mu ;\nu }K^{\mu ;\nu }\right]+S_{m}}$

где - константы и${\displaystyle \omega ,\eta ,\epsilon ,\tau }$

${\displaystyle F_{\mu \nu }=K_{\nu ;\mu }-K_{\mu ;\nu }.}$(См. Уилл ^[9], где приведены уравнения поля для и )${\displaystyle T^{\mu \nu }}$${\displaystyle K_{\mu }.}$

Уилл и Нордтведт ^[41] - частный случай, когда

${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =0;\quad \tau =1}$

Хеллингс и Нордтведт ^[42] - частный случай, когда

${\displaystyle \tau =0;\quad \epsilon =1;\quad \eta =-2\omega }$

Эти векторно-тензорные теории являются полуконсервативными, что означает, что они удовлетворяют законам сохранения импульса и углового момента, но могут иметь эффекты предпочтительной системы отсчета. Когда они сводятся к общей теории относительности, пока общая теория относительности подтверждается экспериментом, нельзя исключать общие векторно-тензорные теории.${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =\tau =0}$

Другие метрические теории [ править ]

Были предложены и другие метрические теории; что из Бекенштейн ^[61] обсуждается в рамках современной теории.

Неметрические теории [ править ]

Теория Картана особенно интересна как потому, что это неметрическая теория, так и потому, что она очень старая. Статус теории Картана неясен. Уилл ^[9] утверждает, что все неметрические теории устраняются принципом эквивалентности Эйнштейна. Уилл (2001) смягчает это, объясняя экспериментальные критерии проверки неметрических теорий против принципа эквивалентности Эйнштейна. Misner et al. ^[50] утверждает, что теория Картана является единственной неметрической теорией , выдержавшей все экспериментальные проверки до этой даты, а Турышев ^[62] называет теорию Картана одной из немногих, выдержавших все экспериментальные проверки до этой даты. Ниже приводится краткий набросок теории Картана, изложенной Траутманом. ^[63]

Картан ^{[13] [14]} предложил простое обобщение теории гравитации Эйнштейна. Он предложил модель пространства-времени с метрическим тензором и линейной «связью», совместимую с метрикой, но не обязательно симметричную. Тензор кручения связи связан с плотностью собственного углового момента. Независимо от Картана аналогичные идеи были выдвинуты Скиамой, Кибблом в период с 1958 по 1966 год, кульминацией которых стал обзор Хел и др. За 1976 год.

Первоначальное описание дано в терминах дифференциальных форм, но в настоящей статье оно заменено более привычным языком тензоров (риск потери точности). Как и в общей теории относительности, лагранжиан состоит из безмассовой и массовой частей. Лагранжиан для безмассовой части:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={1 \over 32\pi G}\Omega _{\nu }^{\mu }g^{\nu \xi }x^{\eta }x^{\zeta }\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\\[5pt]\Omega _{\nu }^{\mu }&=d\omega _{\nu }^{\mu }+\omega _{\xi }^{\eta }\\[5pt]\nabla x^{\mu }&=-\omega _{\nu }^{\mu }x^{\nu }\end{aligned}}}$

Это линейная связь. является полностью антисимметричным псевдотензором ( символ Леви-Чивиты ) с , и, как обычно , является метрическим тензором. Предполагая, что линейная связь является метрической, можно устранить нежелательную свободу, присущую неметрической теории. Тензор энергии-импульса рассчитывается по формуле:${\displaystyle \omega _{\nu }^{\mu }\;}$${\displaystyle \varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\;}$${\displaystyle \varepsilon _{0123}={\sqrt {-g}}\;}$${\displaystyle g^{\nu \xi }\,}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 16\pi G}(g^{\mu \nu }\eta _{\eta }^{\xi }-g^{\xi \mu }\eta _{\eta }^{\nu }-g^{\xi \nu }\eta _{\eta }^{\mu })\Omega _{\xi }^{\eta }\;}$

Кривизна пространства не является римановой, но в римановом пространстве-времени лагранжиан сводится к лагранжиану общей теории относительности.

Некоторые уравнения неметрической теории Белинфанте и Свихарта ^{[24] [25]} уже обсуждались в разделе, посвященном биметрическим теориям .

Отчетливо неметрическую теорию дает калибровочная теория гравитации , которая заменяет метрику в своих полевых уравнениях парой калибровочных полей в плоском пространстве-времени. С одной стороны, теория достаточно консервативна, поскольку она по существу эквивалентна теории Эйнштейна – Картана (или общей теории относительности в пределе исчезающего спина), отличаясь в основном природой ее глобальных решений. С другой стороны, он радикален, потому что заменяет дифференциальную геометрию геометрической алгеброй .

Современные теории с 1980-х годов по настоящее время [ править ]

В этот раздел включены альтернативы общей теории относительности, опубликованные после наблюдений за вращением галактик, которые привели к гипотезе «темной материи». Нет известного надежного списка для сравнения этих теорий. В число рассматриваемых здесь входят: Бекенштейн, ^[61] Моффат, ^[64] Моффат, ^[65] Моффат. ^{[66] [67]} Эти теории представлены с космологической постоянной или добавленным скалярным или векторным потенциалом.

Мотивации [ править ]

Мотивы для более поздних альтернатив общей теории относительности почти все космологические, связанные или заменяющие такие конструкции, как «инфляция», «темная материя» и «темная энергия». Основная идея состоит в том, что гравитация согласуется с общей теорией относительности в нынешнюю эпоху, но, возможно, была совершенно иной в ранней Вселенной.

В 80-е годы в мире физики постепенно начиналось осознание того, что нынешнему сценарию Большого взрыва присущ ряд проблем, в том числе проблема горизонта.и наблюдение, что в ранние времена, когда кварки только формировались, во Вселенной не было достаточно места, чтобы вместить хотя бы один кварк. Теория инфляции была разработана для преодоления этих трудностей. Другой альтернативой было построение альтернативы общей теории относительности, в которой скорость света была выше в ранней Вселенной. Открытие неожиданных кривых вращения галактик застало всех врасплох. Может ли во Вселенной быть больше массы, чем мы думаем, или сама теория гравитации неверна? Сейчас консенсус состоит в том, что недостающая масса - это «холодная темная материя», но этот консенсус был достигнут только после попытки альтернативы общей теории относительности, и некоторые физики все еще считают, что альтернативные модели гравитации могут дать ответ.

В 1990-х годах обзоры сверхновых обнаружили ускоренное расширение Вселенной, которое теперь обычно приписывают темной энергии . Это привело к быстрому восстановлению космологической постоянной Эйнштейна, и квинтэссенция появилась как альтернатива космологической постоянной. По крайней мере, одна новая альтернатива общей теории относительности попыталась совершенно иначе объяснить результаты исследований сверхновых. Измерение скорости гравитации с помощью события гравитационной волны GW170817 исключило многие альтернативные теории гравитации в качестве объяснения ускоренного расширения. ^{[68] [69] [70]} Еще одно наблюдение, которое вызвало в последнее время интерес к альтернативам общей теории относительности, - это аномалия Пионера.. Вскоре было обнаружено, что эту аномалию можно объяснить альтернативами общей теории относительности. В настоящее время считается, что это объясняется неоднородным тепловым излучением.

Космологическая постоянная и квинтэссенция [ править ]

Космологическая постоянная - очень старая идея, восходящая к Эйнштейну в 1917 году. ^[3] Успех модели Вселенной Фридмана, в которой привел к всеобщему признанию того, что она равна нулю, но пришло использование ненулевого значения. назад с удвоенной силой, когда данные сверхновых показали, что расширение Вселенной ускоряется${\displaystyle \Lambda \;}$${\displaystyle \Lambda =0\;}$

Во-первых, давайте посмотрим, как это влияет на уравнения ньютоновской гравитации и общей теории относительности. В ньютоновской гравитации добавление космологической постоянной изменяет уравнение Ньютона – Пуассона:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =4\pi \rho \ G;}$

к

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {1}{2}}\Lambda c^{2}=4\pi \rho \ G;}$

В общей теории относительности он изменяет действие Эйнштейна – Гильберта с

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

к

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

что меняет уравнение поля

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\;}$

к

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R+g^{\mu \nu }\Lambda \right)\;}$

В альтернативных теориях гравитации космологическая постоянная может быть добавлена ​​к действию точно таким же образом.

Космологическая постоянная - не единственный способ получить ускоренное расширение Вселенной в альтернативе общей теории относительности. Мы уже видели, как скалярный потенциал может быть добавлен к скалярным тензорным теориям. Это также можно сделать в любой альтернативе общей теории относительности, которая содержит скалярное поле , добавив член внутри лагранжиана для гравитационной части действия, части${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$${\displaystyle \varphi \;}$${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,L_{\varphi }+S_{m}\;}$

Поскольку это произвольная функция скалярного поля, его можно настроить так, чтобы оно давало ускорение, которое велико в ранней Вселенной и мало в нынешнюю эпоху. Это известно как квинтэссенция.${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$

Подобный метод может быть использован в качестве альтернативы общей теории относительности, использующей векторные поля, включая теорию Расталла ^[47] и векторно-тензорные теории. Срок, пропорциональный

${\displaystyle K^{\mu }K^{\nu }g_{\mu \nu }\;}$

добавляется к лагранжиану для гравитационной части действия.

Теории Фарнса [ править ]

В декабре 2018 года астрофизик Джейми Фарнс из Оксфордского университета предложил теорию темной жидкости , связанную с представлениями о гравитационно-отталкивающих отрицательных массах, которые ранее были представлены Альбертом Эйнштейном . Теория может помочь лучше понять значительное количество неизвестной темной материи и темной энергии во Вселенной . ^[71]

Теория опирается на концепцию отрицательной массы и повторно вводит тензор рождения Фреда Хойла , чтобы позволить создание материи только для частиц с отрицательной массой. Таким образом, частицы с отрицательной массой окружают галактики и оказывают на них давление, напоминая темную материю. Поскольку эти предполагаемые частицы взаимно отталкиваются друг от друга, они раздвигают Вселенную, напоминая темную энергию. Создание материи позволяет плотности экзотических частиц с отрицательной массой оставаться постоянной как функция времени, и поэтому выглядит как космологическая постоянная . Полевые уравнения Эйнштейна видоизменяются:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }^{+}+T_{\mu \nu }^{-}+C_{\mu \nu }\right)}$

Согласно бритве Оккама, теория Фарнса является более простой альтернативой традиционной модели LambdaCDM, поскольку и темная энергия, и темная материя (две гипотезы) решаются с использованием одной жидкости с отрицательной массой (одна гипотеза). Теория будет напрямую проверена с помощью крупнейшего в мире радиотелескопа Square Kilometer Array, который должен быть запущен в 2022 году. ^[72]

Релятивистский МОНД [ править ]

Первоначальная теория MOND была разработана Милгромом в 1983 году как альтернатива «темной материи». Отклонения от закона всемирного тяготения Ньютона регулируются шкалой ускорения, а не шкалой расстояний. MOND успешно объясняет наблюдение Талли-Фишера о том, что светимость галактики должна масштабироваться как четвертая степень скорости вращения. Это также объясняет, почему разница вращения в карликовых галактиках особенно велика.

Вначале с MOND было несколько проблем.

1. Он не включал релятивистские эффекты
2. Это нарушило закон сохранения энергии, импульса и момента количества движения.
3. Это было непоследовательно, поскольку дает разные галактические орбиты для газа и звезд.
4. В нем не указано, как рассчитать гравитационное линзирование от скоплений галактик.

К 1984 году проблемы 2 и 3 были решены введением лагранжиана ( AQUAL ). Релятивистская версия этого, основанная на скалярно-тензорной теории, была отклонена, потому что она позволяла волнам в скалярном поле распространяться быстрее света. Лагранжиан нерелятивистской формы:

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {\frac {|\nabla \varphi |^{2}}{a_{0}^{2}}}\right\rbrack -\rho \varphi }$

В релятивистской версии этого есть:

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}{\tilde {f}}\left(\ell _{0}^{2}g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi \right)}$

с нестандартным массовым действием. Здесь и - произвольные функции, выбранные для придания поведения Ньютона и MOND в правильных пределах, и - масштаб длины MOND. К 1988 году второе скалярное поле (PCC) устранило проблемы с более ранней версией скалярного тензора, но вступило в конфликт с прецессией перигелия Меркурия и гравитационным линзированием галактиками и скоплениями. К 1997 году MOND был успешно включен в стратифицированную релятивистскую теорию [Сандерс], но, поскольку это предпочтительная фрейм-теория, у нее есть свои проблемы. Бекенштейн ^[61] ввел тензорно-векторно-скалярную модель (TeVeS). Это имеет два скалярных поля и и векторное поле${\displaystyle f}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle l_{0}=c^{2}/a_{0}\;}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \sigma \;}$${\displaystyle U_{\alpha }}$. Действие разделено на части для гравитации, скаляров, вектора и массы.

${\displaystyle S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}}$

Гравитационная часть такая же, как и в общей теории относительности.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{s}&=-{\frac {1}{2}}\int \left[\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{,\alpha }\varphi _{,\beta }+{\frac {1}{2}}G\ell _{0}^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2})\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{v}&=-{\frac {K}{32\pi G}}\int \left[g^{\alpha \beta }g^{\mu \nu }U_{[\alpha ,\mu ]}U_{[\beta ,\nu ]}-{\frac {2\lambda }{K}}\left(g^{\mu \nu }U_{\mu }U_{\nu }+1\right)\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{m}&=\int L\left({\tilde {g}}_{\mu \nu },f^{\alpha },f_{|\mu }^{\alpha },\ldots \right){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-U^{\alpha }U^{\beta }}$

${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }=e^{2\varphi }g^{\alpha \beta }+2U^{\alpha }U^{\beta }\sinh(2\varphi )}$

${\displaystyle k,K}$- константы, квадратные скобки в индексах представляют антисимметризацию, - множитель Лагранжа (вычисленный в другом месте), а L - лагранжиан, переведенный из плоского пространства-времени в метрику . Обратите внимание, что G не обязательно равно наблюдаемой гравитационной постоянной . F - произвольная функция, и${\displaystyle U_{[\alpha ,\mu ]}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }}$${\displaystyle G_{Newton}}$

${\displaystyle F(\mu )={\frac {3}{4}}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }}$

приводится в качестве примера с правильной асимптотикой; обратите внимание, как он становится неопределенным, когда${\displaystyle \mu =1}$

Параметрические постньютоновские параметры этой теории рассчитаны в ^[73], где показано, что все ее параметры равны параметрам общей теории относительности, за исключением

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {4G}{K}}\left((2K-1)e^{-4\varphi _{0}}-e^{4\varphi _{0}}+8\right)-8\\[5pt]\alpha _{2}&={\frac {6G}{2-K}}-{\frac {2G(K+4)e^{4\varphi _{0}}}{(2-K)^{2}}}-1\end{aligned}}}$

оба выражены в геометрических единицах где ; так${\displaystyle c=G_{Newtonian}=1}$

${\displaystyle G^{-1}={\frac {2}{2-K}}+{\frac {k}{4\pi }}.}$

Теории Моффата [ править ]

Дж. В. Моффат ^[64] разработал несимметричную теорию гравитации . Это не метрическая теория. Сначала было заявлено, что он не содержит горизонта черной дыры, но Бурко и Ори ^[74] обнаружили, что несимметричная теория гравитации может содержать черные дыры. Позже Моффат утверждал, что его также применяли для объяснения кривых вращения галактик без обращения к «темной материи». Дамур, Дезер и Макарти ^[75] подвергли критике несимметричную теорию гравитации, заявив, что она имеет неприемлемое асимптотическое поведение.

Математика не сложна, но взаимосвязана, поэтому ниже приводится лишь краткий набросок. Начиная с несимметричного тензора , плотность лагранжиана разбивается на${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle L=L_{R}+L_{M}\;}$

где то же, что и для материи в общей теории относительности.${\displaystyle L_{M}\;}$

${\displaystyle L_{R}={\sqrt {-g}}\left[R(W)-2\lambda -{\frac {1}{4}}\mu ^{2}g^{\mu \nu }g_{[\mu \nu ]}\right]-{\frac {1}{6}}g^{\mu \nu }W_{\mu }W_{\nu }\;}$

где - член кривизны, аналогичный, но не равный кривизне Риччи в общей теории относительности, и - космологические константы, - антисимметричная часть . представляет собой соединение, и его немного сложно объяснить, потому что оно определено рекурсивно. Тем не мение,${\displaystyle R(W)\;}$${\displaystyle \lambda \;}$${\displaystyle \mu ^{2}\;}$${\displaystyle g_{[\nu \mu ]}\;}$${\displaystyle g_{\nu \mu }\;}$${\displaystyle W_{\mu }\;}$${\displaystyle W_{\mu }\approx -2g_{[\mu \nu ]}^{,\nu }\;}$

Хауган и Кауфманн ^[76] использовали поляризационные измерения света, излучаемого галактиками, чтобы наложить резкие ограничения на величину некоторых параметров несимметричной теории гравитации. Они также использовали эксперименты Хьюза-Древера, чтобы ограничить оставшиеся степени свободы. Их ограничение на восемь порядков острее, чем предыдущие оценки.

Теория метрической косой тензорной гравитации (MSTG) Моффата ^[66] способна предсказывать кривые вращения для галактик без темной материи или MOND, и утверждает, что она также может объяснить гравитационное линзирование скоплений галактик без темной материи. Он имеет переменную величину , увеличивающуюся до окончательного постоянного значения примерно через миллион лет после большого взрыва.${\displaystyle G\;}$

Кажется, что теория содержит асимметричное тензорное поле и вектор тока источника . Действие разделено на:${\displaystyle A_{\mu \nu }\;}$${\displaystyle J_{\mu }\;}$

${\displaystyle S=S_{G}+S_{F}+S_{FM}+S_{M}\;}$

И гравитация, и масса совпадают с членами общей теории относительности с космологической постоянной. Действие телесного поля и взаимодействие материи телесного поля:

${\displaystyle S_{F}=\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{12}}F_{\mu \nu \rho }F^{\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}\mu ^{2}A_{\mu \nu }A^{\mu \nu }\right)\;}$

${\displaystyle S_{FM}=\int d^{4}x\,\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }A_{\alpha \beta }\partial _{\mu }J_{\nu }\;}$

куда

${\displaystyle F_{\mu \nu \rho }=\partial _{\mu }A_{\nu \rho }+\partial _{\rho }A_{\mu \nu }}$

и является символом Леви-Чивита. Связь с телом - это связь Паули, она калибровочно инвариантна для любого тока источника. Источник тока выглядит как фермионное поле материи, связанное с барионным и лептонным числами.${\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\;}$

Скалярно-тензорно-векторная гравитация [ править ]

Скалярно-тензорно-векторная гравитация Моффата ^[67] содержит тензорное, векторное и три скалярных поля. Но уравнения довольно просты. Действие разделено на: с условиями для гравитации, скалярных полей векторного поля и массы. - это стандартный гравитационный член, за исключением того, что он перемещается внутри интеграла.${\displaystyle S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}}$${\displaystyle K_{\mu },}$${\displaystyle G,\omega ,\mu }$${\displaystyle S_{G}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle S_{K}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\omega \left({\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }+V(K)\right),\qquad {\text{where }}\quad B_{\mu \nu }=\partial _{\mu }K_{\nu }-\partial _{\nu }K_{\mu }.}$

${\displaystyle S_{S}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}{\frac {1}{G^{3}}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }G\,\nabla _{\nu }G-V(G)\right)+{\frac {1}{G}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\omega \,\nabla _{\nu }\omega -V(\omega )\right)+{1 \over \mu ^{2}G}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\mu \,\nabla _{\nu }\mu -V(\mu )\right).}$

Потенциальная функция для векторного поля выбрана следующей:

${\displaystyle V(K)=-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }-{\frac {1}{4}}g\left(\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }\right)^{2}}$

где - константа связи. Предполагаемые функции для скалярных потенциалов не указаны.${\displaystyle g}$

Бесконечная производная гравитация [ править ]

Чтобы удалить призраки в модифицированном пропагаторе, а также получить асимптотическую свободу, Бисвас, Мазумдар и Сигел (2005) рассмотрели бесконечный набор членов с высшими производными, вдохновленный струнами.

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {R}{2}}+RF(\Box )R\right)}$

где - экспонента от целой функции оператора Даламбера . ^{[77] [78]} Это позволяет избежать сингулярности черной дыры вблизи начала координат, одновременно восстанавливая падение 1 / r потенциала общей теории относительности на больших расстояниях. ^[79] Lousto и Mazzitelli (1997) нашли точное решение этой теории, представляющей гравитационную ударную волну. ^[80]${\displaystyle F(\Box )}$

Проверка альтернатив общей теории относительности [ править ]

Любая предполагаемая альтернатива общей теории относительности должна пройти множество тестов, чтобы стать приемлемой. Для более подробного описания этих тестов см. Misner et al. ^[50] Ch.39, Will ^[9] Table 2.1, и Ni. ^[10] Большинство таких тестов можно разделить на следующие подразделы.

Самосогласованность [ править ]

Самосогласованность среди неметрических теорий включает устранение теорий, допускающих тахионы , полюсы-призраки и полюсы более высокого порядка, а также теорий , которые имеют проблемы с поведением на бесконечности. Среди метрических теорий самосогласованность лучше всего иллюстрируется описанием нескольких теорий, не прошедших этот тест. Классическим примером является теория поля спин-два Фирца и Паули; ^[15] уравнения поля подразумевают, что гравитирующие тела движутся по прямым линиям, тогда как уравнения движения утверждают, что гравитация отклоняет тела от движения по прямой линии. Йилмаз (1971) ^[27] содержит тензорное гравитационное поле, используемое для построения метрики; это математически непоследовательно, потому что функциональная зависимость метрики от тензорного поля не определена четко.

Полнота [ править ]

Чтобы быть законченной, теория гравитации должна быть способна анализировать результаты каждого интересующего эксперимента. Следовательно, он должен быть связан с электромагнетизмом и всей другой физикой. Например, любая теория, которая не может предсказать из первых принципов движение планет или поведение атомных часов, является неполной.

Многие ранние теории неполны в том смысле, что неясно, должна ли плотность, используемая теорией, рассчитываться на основе тензора энергии-импульса как или как , где - четырехскоростная скорость , а - дельта Кронекера . Теории Тирри (1948) и Джордана ^[22] являются неполными, если параметр Джордана не установлен на -1, и в этом случае они соответствуют теории Бранса – Дике ^[7] и поэтому заслуживают дальнейшего рассмотрения. Милн ^[17] является неполным, потому что он не дает предсказания гравитационного красного смещения. Теории Уитроу и Мордуха, ^{[28] [29]} Кустаанхеймо ^[30]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}$${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }\delta ^{\mu \nu }}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \eta \;}$и Кустаанхеймо и Нуотио ^[31] либо неполны, либо непоследовательны. Включение уравнений Максвелла является неполным, если не предполагается, что они наложены на плоский фон пространства-времени, и когда это сделано, они несовместимы, потому что они предсказывают нулевое гравитационное красное смещение, когда используется волновая версия света (теория Максвелла). , и ненулевое красное смещение, когда используется версия частицы (фотон). Другой более очевидный пример - ньютоновская гравитация с уравнениями Максвелла; свет как фотоны отклоняется гравитационными полями (вдвое меньше общей теории относительности), а свет как волны - нет.

Классические тесты [ править ]

Существует три «классических» теста (датируемых 1910-ми годами или ранее) способности теорий гравитации справляться с релятивистскими эффектами; это гравитационное красное смещение , гравитационное линзирование (обычно проверяемое вокруг Солнца) и аномальное смещение перигелия планет. Каждая теория должна воспроизводить наблюдаемые результаты в этих областях, которые до настоящего времени всегда согласовывались с предсказаниями общей теории относительности. В 1964 году Ирвин И. Шапиро обнаружил четвертый тест, названный задержкой Шапиро . Обычно его тоже считают «классическим».

Согласие с ньютоновской механикой и специальной теорией относительности [ править ]

В качестве примера несогласия с экспериментами Ньютона теория Биркгофа ^[16] достаточно надежно предсказывает релятивистские эффекты, но требует, чтобы звуковые волны распространялись со скоростью света. Это было следствием предположения, сделанного для упрощения обработки столкновения масс. ^{[ необходима цитата ]}

Принцип эквивалентности Эйнштейна [ править ]

Принцип эквивалентности Эйнштейна состоит из трех компонентов. Первый - это уникальность свободного падения, также известная как принцип слабой эквивалентности. Это выполняется, если инертная масса равна гравитационной массе. η - параметр, используемый для проверки максимально допустимого нарушения принципа слабой эквивалентности. Первые испытания принципа слабой эквивалентности были проведены Этвешем до 1900 г. и ограничили η значением менее 5 × 10 ^{- 9} . Современные тесты уменьшили это количество до менее 5 × 10 ^{- 13} . Второй - лоренц-инвариантность. В отсутствие гравитационных эффектов скорость света постоянна. Тестовый параметр для этого - δ. Первые тесты на лоренц-инвариантность были проведены Майкельсоном и Морли до 1890 г. и ограничили δ до значения менее 5 × 10 ^{- 3} . Современные тесты уменьшили это значение до менее 1 × 10 ^{- 21} . Третий - это локальная позиционная инвариантность, которая включает пространственную и временную инвариантность. Результат любого локального негравитационного эксперимента не зависит от того, где и когда он проводится. Инвариантность пространственного локального положения проверяется с помощью измерений гравитационного красного смещения. Тестовый параметр для этого - α . Верхние пределы этого значения, обнаруженные Паундом и Ребкой в ​​1960 г., ограничивают значение α менее 0,1. Современные тесты уменьшили это значение до менее чем 1 ×10 ^{- 4} .

Гипотеза Шиффа утверждает, что любая полная самосогласованная теория гравитации, которая воплощает принцип слабой эквивалентности, обязательно воплощает принцип эквивалентности Эйнштейна. Это, вероятно, будет правдой, если в теории есть полное сохранение энергии. Метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. Этому удовлетворяет очень мало неметрических теорий. Например, неметрическая теория Белинфанте и Свихарта ^{[24] [25]} устраняется формализмом THεμ для проверки принципа эквивалентности Эйнштейна. Калибровочная теория гравитации является заметным исключением, где сильный принцип эквивалентности, по существу, минимальной связью по производной калибровочной ковариантной .

Параметрический постньютоновский формализм [ править ]

См. Также « Тесты общей теории относительности» , Misner et al. ^[50] и Уилл ^[9] для получения дополнительной информации.

Работа по разработке стандартизированного, а не специального набора тестов для оценки альтернативных моделей гравитации началась с Эддингтона в 1922 году и привела к стандартному набору параметрических постньютоновских чисел в Нордтведте и Уилле ^[81] и Уилле и Нордтведте. ^[41] Каждый параметр измеряет разные аспекты того, насколько теория отклоняется от ньютоновской гравитации. Поскольку здесь мы говорим об отклонении от теории Ньютона, они измеряют только эффекты слабого поля. Эффекты сильных гравитационных полей будут рассмотрены позже.

Вот эти десять: ${\displaystyle \gamma ,\beta ,\eta ,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4}.}$

• ${\displaystyle \gamma }$ является мерой кривизны пространства, равной нулю для ньютоновской гравитации и единице для общей теории относительности.
• ${\displaystyle \beta }$ - мера нелинейности в добавлении гравитационных полей, единица для общей теории относительности.
• ${\displaystyle \eta }$ - проверка на наличие эффектов предпочтительного местоположения.
• ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$измерить степень и характер «эффектов предпочтительного кадра». Любая теория гравитации, в которой хотя бы один из трех отличен от нуля, называется теорией предпочтительной системы отсчета.
• ${\displaystyle \zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4},\alpha _{3}}$измерить степень и характер нарушений в глобальных законах сохранения. Теория гравитации обладает четырьмя законами сохранения энергии-импульса и шестью законами сохранения момента количества движения, только если все пять равны нулю.

Сильная гравитация и гравитационные волны [ править ]

Параметрический постньютоновский - это только мера слабых полевых эффектов. Эффекты сильной гравитации можно увидеть в компактных объектах, таких как белые карлики, нейтронные звезды и черные дыры. Экспериментальные тесты, такие как стабильность белых карликов, скорость замедления вращения пульсаров, орбиты двойных пульсаров и существование горизонта черной дыры, могут быть использованы в качестве альтернативных тестов общей теории относительности. Общая теория относительности предсказывает, что гравитационные волны распространяются со скоростью света. Многие альтернативы общей теории относительности говорят, что гравитационные волны распространяются быстрее света, что, возможно, нарушает причинно-следственную связь. После обнаружения слияния нейтронных звезд GW170817 с помощью нескольких сообщений, когда световые и гравитационные волны двигались с одинаковой скоростью с ошибкой 1/10 ¹⁵многие из этих модифицированных теорий гравитации были исключены.

Космологические тесты [ править ]

Многие из них были разработаны недавно. Для теорий, которые стремятся заменить темную материю , кривая вращения галактики , соотношение Талли-Фишера , более высокая скорость вращения карликовых галактик и гравитационное линзирование из-за скоплений галактик действуют как ограничения. Для теорий, которые стремятся заменить инфляцию , размер ряби в спектре космического микроволнового фонового излучения является самым строгим критерием. Для теорий, которые включают или стремятся заменить темную энергию, результаты яркости сверхновой и возраст Вселенной могут быть использованы в качестве тестов. Еще одно испытание - плоскостность Вселенной. В общей теории относительности комбинация барионной материи, темной материи и темной энергии в сумме делает Вселенную абсолютно плоской. По мере повышения точности экспериментальных тестов альтернативы общей теории относительности, призванные заменить темную материю или темную энергию, должны будут объяснить, почему.

Результаты проверки теорий [ править ]

Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий [ править ]

(Подробнее см. Уилл ^[9] и Ни ^[10] . Миснер и др. ^[50] приводят таблицу для перевода параметров из обозначений Ni в обозначения Уилла).

Общей теории относительности уже более 100 лет, и за это время одна альтернативная теория гравитации не соответствовала все более точным наблюдениям. Ярким примером является параметризованный постньютоновский формализм . В следующей таблице перечислены параметрические постньютоновские значения для большого количества теорий. Если значение в ячейке совпадает со значением в заголовке столбца, то полная формула слишком сложна для включения в нее.

	${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{2}}$	${\displaystyle \alpha _{3}}$	${\displaystyle \zeta _{1}}$	${\displaystyle \zeta _{2}}$	${\displaystyle \zeta _{3}}$	${\displaystyle \zeta _{4}}$
Общая теория относительности Эйнштейна [2]	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Скалярно-тензорные теории
Бергманн, [34] Ваггонер [37]	${\displaystyle \textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$	${\displaystyle \beta }$	0	0	0	0	0	0	0	0
Нордтведт, [36] Бекенштейн [45]	${\displaystyle \textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$	${\displaystyle \beta }$	0	0	0	0	0	0	0	0
Бранс – Дике [7]	${\displaystyle \textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Векторно-тензорные теории
Хеллингс-Нордтведт [42]	${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle \beta }$	0	${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Уилл-Нордтведт [41]	1	1	0	0	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Биметрические теории
Розен [39]	1	1	0	0	${\displaystyle c_{0}/c_{1}-1}$	0	0	0	0	0
Расталл [47]	1	1	0	0	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Лайтман – Ли [43]	${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle \beta }$	0	${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Стратифицированные теории
Ли-Лайтман-Ни [44]	${\displaystyle ac_{0}/c_{1}}$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Ni [40]	${\displaystyle ac_{0}/c_{1}}$	${\displaystyle bc_{0}}$	0	${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Теории скалярного поля
Эйнштейн (1912) [82] [83] {Не общая теория относительности}	0	0		-4	0	-2	0	-1	0	0 †
Уитроу-Мордух [29]	0	-1		-4	0	0	0	−3	0	0 †
Розен [38]	${\displaystyle \lambda }$	${\displaystyle \textstyle {\frac {3}{4}}+\textstyle {\frac {\lambda }{4}}}$		${\displaystyle -4-4\lambda }$	0	-4	0	-1	0	0
Папапетру [19] [20]	1	1		-8	-4	0	0	2	0	0
Ni [10] (стратифицированный)	1	1		-8	0	0	0	2	0	0
Йылмаз [26] (1962)	1	1		-8	0	-4	0	-2	0	-1 †
Пейдж-Таппер [33]	${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle \beta }$		${\displaystyle -4-4\gamma }$	0	${\displaystyle -2-2\gamma }$	0	${\displaystyle \zeta _{2}}$	0	${\displaystyle \zeta _{4}}$
Нордстрем [48]	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$		0	0	0	0	0	0	0 †
Нордстрем, [49] Эйнштейн-Фоккер [84]	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$		0	0	0	0	0	0	0
Ni [10] (плоский)	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1-q}$		0	0	0	0	${\displaystyle \zeta _{2}}$	0	0 †
Уитроу-Мордух [28]	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1-q}$		0	0	0	0	q	0	0 †
Литтлвуд, [21] Бергман [23]	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$		0	0	0	0	-1	0	0 †