Уравнение Гамильтона – Якоби также является единственной формулировкой механики, в которой движение частицы может быть представлено как волна. В этом смысле он выполнил давнюю цель теоретической физики (восходящую, по крайней мере, к Иоганну Бернулли в восемнадцатом веке) - найти аналогию между распространением света и движением частицы. Волновое уравнение, которому следуют механические системы, похоже, но не идентично уравнению Шредингера , как описано ниже; по этой причине уравнение Гамильтона – Якоби считается «ближайшим приближением» классической механики к квантовой механике . [1] [2]
Жирным шрифтом переменные, такие как представляют собой список обобщенные координаты ,
Точка над переменной или списком означает производную по времени (см. Нотацию Ньютона ). Например,
Скалярное произведение обозначений между двумя списками одного и того же числа координат является сокращение для суммы произведений соответствующих компонентов, таких как
Основная функция Гамильтона
Определение
Пусть матрица быть обратимым. Соотношение
показывает, что уравнения Эйлера-Лагранжа образуютсистема обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Инвертирование матрицы превращает эту систему в
Пусть момент времени и точка в конфигурационном пространстве быть зафиксированным. Теоремы существования и единственности гарантируют, что для каждогоначальная задача с условиями а также имеет локально уникальное решение Кроме того, пусть имеется достаточно малый интервал времени такие, что экстремали с разными начальными скоростями не будет пересекаться в Последнее означает, что для любого и любой может быть не более одной экстремальной для которого а также Подстановка в функционал действия , получаем главную функцию Гамильтона
Формула для импульсов: p (q, t) = ∂S / ∂q
Эти импульсы определяются величинами В этом разделе показано, что зависимость на исчезает, как только становится известен HPF.
Действительно, пусть момент времени и точка в конфигурационном пространстве быть зафиксированным. На каждый момент времени и точка позволять - (единственная) экстремаль из определения главной функции Гамильтона Вызов скорость на . потом
Доказательство.
Хотя в приведенном ниже доказательстве предполагается, что конфигурационное пространство является открытым подмножеством основная техника в равной степени применима к произвольным пространствам . В контексте этого доказательства каллиграфическая буква обозначает функционал действия, а курсивом главная функция Гамильтона.
Шаг 1. Пусть - путь в конфигурационном пространстве, и векторное поле вдоль . (Для каждого вектор называется возмущением , бесконечно малым изменением или виртуальным перемещением механической системы в точке). Напомним, что вариация действия в момент в направлении дается формулой
где следует заменить а также после вычисления частных производных в правой части. (Эта формула следует из определения производной Гато интегрированием по частям).
Предположить, что является экстремалью. Степерь удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа, интегральный член обращается в нуль. Еслиотправная точка фиксируется, таким образом, с помощью той же логики, которая использовалась для вывода уравнений Эйлера-Лагранжа, Таким образом,
Шаг 2. Пусть - (единственная) экстремаль из определения HPF, векторное поле вдоль а также вариант "совместим с Точнее говоря,
По определению HPF и производной Гато,
Здесь мы учли, что и упал для компактности.
Шаг 3. Теперь подставляем а также в выражение для из шага 1 и сравните результат с формулой из шага 2. Тот факт, что для векторное поле было выбрано произвольно, завершает доказательство.
Сопряженные импульсы соответствуют первым производным от по обобщенным координатам
Как решение уравнения Гамильтона – Якоби главная функция содержит неопределенные константы, первые из них обозначены как , а последний - от интеграции .
также являются константами движения, и эти уравнения можно обратить, чтобы найти как функция всех а также константы и время. [5]
Сравнение с другими формулировками механики
Уравнение Гамильтона – Якоби представляет собой одно уравнение в частных производных первого порядка для функцииобобщенные координаты и время . Обобщенные импульсы не появляются, за исключением производных от. Примечательно, что функцияравно классическому действию .
Для сравнения, в эквивалентных уравнений Эйлера-Лагранжа движения из механики Лагранжа , сопряженные импульсы также не появляются; Однако эти уравнения являются системами из, как правило, уравнения второго порядка для временной эволюции обобщенных координат. Точно так же уравнения движения Гамильтона представляют собой другую систему из 2 N уравнений первого порядка для временной эволюции обобщенных координат и их сопряженных импульсов..
Поскольку HJE является эквивалентным выражением интегральной задачи минимизации, такой как принцип Гамильтона , HJE может быть полезен в других задачах вариационного исчисления и, в более общем плане, в других областях математики и физики , таких как динамические системы , симплектическая геометрия и квантовый хаос . Например, уравнения Гамильтона – Якоби можно использовать для определения геодезических на римановом многообразии - важной вариационной задачи в римановой геометрии .
Вывод с использованием канонического преобразования
Любое каноническое преобразование с производящей функцией типа 2 приводит к отношениям
и уравнения Гамильтона в новых переменных и новый гамильтониан имеют такую же форму:
Чтобы получить HJE, производящую функцию выбирается таким образом, чтобы новый гамильтониан . Следовательно, все его производные также равны нулю, и преобразованные уравнения Гамильтона становятся тривиальными.
таким образом, новые обобщенные координаты и импульсы являются константами движения . Поскольку они являются константами, в этом контексте новые обобщенные импульсы обычно обозначаются , т.е. и новые обобщенные координаты обычно обозначаются как , так .
Установка производящей функции равной главной функции Гамильтона плюс произвольная константа :
HJE возникает автоматически
Когда решено для , они также дают нам полезные уравнения
или написано в компонентах для ясности
В идеале эти N уравнений можно инвертировать, чтобы найти исходные обобщенные координаты как функция констант а также , таким образом решая исходную проблему.
Действие и функции Гамильтона
И главная функция Гамильтона S, и классическая функция H тесно связаны с действием . Полный дифференциал из является:
так что производная по времени S равна
Следовательно,
так что S на самом деле является классическим действием плюс неопределенная константа.
Когда H явно не зависит от времени,
в этом случае W означает сокращенное действие .
Разделение переменных
HJE наиболее полезен, когда его можно решить с помощью аддитивного разделения переменных , которое напрямую определяет константы движения . Например, время t можно разделить, если гамильтониан не зависит явно от времени. В этом случае производная по времени в HJE должна быть константа, обычно обозначаемая (), давая разделенному раствору
где не зависящая от времени функция иногда называют характеристической функцией Гамильтона . Тогда редуцированное уравнение Гамильтона – Якоби можно записать
Чтобы проиллюстрировать разделимость для других переменных, некоторая обобщенная координата и его производная предполагается, что они появляются вместе как одна функция
в гамильтониане
В этом случае функция S может быть разделена на две функции: одна зависит только от q k, а другая зависит только от остальных обобщенных координат.
Подстановка этих формул в уравнение Гамильтона – Якоби показывает, что функция ψ должна быть постоянной (обозначенной здесь как), что дает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для
В удачных случаях функция можно полностью разделить на функции
В таком случае проблема переходит в обыкновенные дифференциальные уравнения .
Отделимость S зависит как от гамильтониана, так и от выбора обобщенных координат . Для ортогональных координат и гамильтонианов, не зависящих от времени и квадратичных по обобщенным импульсам,будет полностью разделимым, если потенциальная энергия аддитивно разделима в каждой координате, где член потенциальной энергии для каждой координаты умножается на зависящий от координаты множитель в соответствующем члене импульса гамильтониана ( условия Штекеля ). Для иллюстрации в следующих разделах проработано несколько примеров в ортогональных координатах .
Примеры в различных системах координат
Сферические координаты
В сферических координатах гамильтониан свободной частицы, движущейся в консервативном потенциале U, можно записать
Уравнение Гамильтона – Якоби полностью разделимо в этих координатах при наличии функций: такой, что можно записать в аналогичном виде
Замена полностью отделившегося раствора
into the HJE yields
This equation may be solved by successive integrations of ordinary differential equations, beginning with the equation for
where is a constant of the motion that eliminates the dependence from the Hamilton–Jacobi equation
The next ordinary differential equation involves the generalized coordinate
where is again a constant of the motion that eliminates the dependence and reduces the HJE to the final ordinary differential equation
whose integration completes the solution for .
Elliptic cylindrical coordinates
The Hamiltonian in elliptic cylindrical coordinates can be written
where the foci of the ellipses are located at on the -axis. The Hamilton–Jacobi equation is completely separable in these coordinates provided that has an analogous form
where : , and are arbitrary functions. Substitution of the completely separated solution
into the HJE yields
Separating the first ordinary differential equation
yields the reduced Hamilton–Jacobi equation (after re-arrangement and multiplication of both sides by the denominator)
which itself may be separated into two independent ordinary differential equations
that, when solved, provide a complete solution for .
Parabolic cylindrical coordinates
The Hamiltonian in parabolic cylindrical coordinates can be written
The Hamilton–Jacobi equation is completely separable in these coordinates provided that has an analogous form
where , , and are arbitrary functions. Substitution of the completely separated solution
into the HJE yields
Separating the first ordinary differential equation
yields the reduced Hamilton–Jacobi equation (after re-arrangement and multiplication of both sides by the denominator)
which itself may be separated into two independent ordinary differential equations
that, when solved, provide a complete solution for .
Волны и частицы
Optical wave fronts and trajectories
The HJE establishes a duality between trajectories and wave fronts.[6] For example, in geometrical optics, light can be considered either as “rays” or waves. The wave front can be defined as the surface that the light emitted at time has reached at time . Light rays and wave fronts are dual: if one is known, the other can be deduced.
More precisely, geometrical optics is a variational problem where the “action” is the travel time along a path,
where is the medium's index of refraction and is an infinitesimal arc length. From the above formulation, one can compute the ray paths using the Euler-Lagrange formulation; alternatively, one can compute the wave fronts by solving the Hamilton–Jacobi equation. Knowing one leads to knowing the other.
The above duality is very general and applies to all systems that derive from a variational principle: either compute the trajectories using Euler-Lagrange equations or the wave fronts by using Hamilton–Jacobi equation.
The wave front at time , for a system initially at at time , is defined as the collection of points such that . If is known, the momentum is immediately deduced.
Once is known, tangents to the trajectories are computed by solving the equation
for , where is the Lagrangian. The trajectories are then recovered from the knowledge of .
Relationship to the Schrödinger equation
The isosurfaces of the function can be determined at any time t. The motion of an -isosurface as a function of time is defined by the motions of the particles beginning at the points on the isosurface. The motion of such an isosurface can be thought of as a wave moving through -space, although it does not obey the wave equation exactly. To show this, let S represent the phase of a wave
where is a constant (Planck's constant) introduced to make the exponential argument dimensionless; changes in the amplitude of the wave can be represented by having be a complex number. The Hamilton–Jacobi equation is then rewritten as
which is the Schrödinger equation.
Conversely, starting with the Schrödinger equation and our ansatz for , it can be deduced that[7]
The classical limit () of the Schrödinger equation above becomes identical to the following variant of the Hamilton–Jacobi equation,
Приложения
HJE in a gravitational field
Using the energy–momentum relation in the form[8]
for a particle of rest mass travelling in curved space, where are the contravariant coordinates of the metric tensor (i.e., the inverse metric) solved from the Einstein field equations, and is the speed of light. Setting the four-momentum equal to the four-gradient of the action ,
gives the Hamilton–Jacobi equation in the geometry determined by the metric :
in other words, in a gravitational field.
HJE in electromagnetic fields
For a particle of rest mass and electric charge moving in electromagnetic field with four-potential in vacuum, the Hamilton–Jacobi equation in geometry determined by the metric tensor has a form
and can be solved for the Hamilton principal action function to obtain further solution for the particle trajectory and momentum:[9]
,
where and with the cycle average of the vector potential.
A circularly polarized wave
In the case of circular polarization,
,
,
Hence
where , implying the particle moving along a circular trajectory with a permanent radius and an invariable value of momentum directed along a magnetic field vector.
A monochromatic linearly polarized plane wave
For the flat, monochromatic, linearly polarized wave with a field directed along the axis
hence
,
,
implying the particle figure-8 trajectory with a long its axis oriented along the electric field vector.
An electromagnetic wave with a solenoidal magnetic field
For the electromagnetic wave with axial (solenoidal) magnetic field:[10]
hence
where is the magnetic field magnitude in a solenoid with the effective radius , inductivity , number of windings , and an electric current magnitude through the solenoid windings. The particle motion occurs along the figure-8 trajectory in plane set perpendicular to the solenoid axis with arbitrary azimuth angle due to axial symmetry of the solenoidal magnetic field.
Смотрите также
Mathematics portal
Physics portal
Canonical transformation
Constant of motion
Hamiltonian vector field
Hamilton–Jacobi–Einstein equation
WKB approximation
Action-angle coordinates
Рекомендации
^Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 484–492. ISBN 978-0-201-02918-5. (particularly the discussion beginning in the last paragraph of page 491)
^Sakurai, pp. 103–107.
^Kálmán, Rudolf E. (1963). "The Theory of Optimal Control and the Calculus of Variations". In Bellman, Richard (ed.). Mathematical Optimization Techniques. Berkeley: University of California Press. pp. 309–331. OCLC 1033974.
^Hand, L. N.; Finch, J. D. (2008). Analytical Mechanics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0.
^Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. p. 440. ISBN 978-0-201-02918-5.
^Houchmandzadeh, Bahram (2020). "The Hamilton-Jacobi Equation : an alternative approach". American Journal of Physics. 85 (5): 10.1119/10.0000781. arXiv:1910.09414. doi:10.1119/10.0000781.
^Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 490–491. ISBN 978-0-201-02918-5.
^Wheeler, John; Misner, Charles; Thorne, Kip (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 649, 1188. ISBN 978-0-7167-0344-0.
^Landau, L.; Lifshitz, E. (1959). The Classical Theory of Fields. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. OCLC 17966515.
^E. V. Shun'ko; D. E. Stevenson; V. S. Belkin (2014). "Inductively Coupling Plasma Reactor With Plasma Electron Energy Controllable in the Range from ~6 to ~100 eV". IEEE Transactions on Plasma Science. 42, part II (3): 774–785. Bibcode:2014ITPS...42..774S. doi:10.1109/TPS.2014.2299954.
дальнейшее чтение
Hamilton, W. (1833). "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function" (PDF). Dublin University Review: 795–826.
Hamilton, W. (1834). "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics" (PDF). British Association Report: 513–518.
Fetter, A. & Walecka, J. (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. ISBN 978-0-486-43261-8.
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975). Mechanics. Amsterdam: Elsevier.
Sakurai, J. J. (1985). Modern Quantum Mechanics. Benjamin/Cummings Publishing. ISBN 978-0-8053-7501-5.
Jacobi, C. G. J. (1884), Vorlesungen über Dynamik, C. G. J. Jacobi's Gesammelte Werke (in German), Berlin: G. Reimer, OL 14009561M
Nakane, Michiyo; Fraser, Craig G. (2002). "The Early History of Hamilton-Jacobi Dynamics". Centaurus. 44 (3–4): 161–227. doi:10.1111/j.1600-0498.2002.tb00613.x. PMID 17357243.