Уравнение Эйлера – Лагранжа.

В вариационном исчислении и классической механики , в уравнения Эйлера-Лагранжа ^[1] представляет собой систему второго порядка обыкновенных дифференциальных уравнений , решения которых являются стационарными точками данного функционала действия . Уравнения были открыты в 1750-х годах швейцарским математиком Леонардом Эйлером и итальянским математиком Жозефом-Луи Лагранжем .

Поскольку дифференцируемый функционал стационарен в своих локальных экстремумах , уравнение Эйлера – Лагранжа полезно для решения задач оптимизации, в которых при заданном функционале ищется функция, минимизирующая или максимизирующая его. Это аналогично теореме Ферма в исчислении , утверждающей, что в любой точке, где дифференцируемая функция достигает локального экстремума, ее производная равна нулю.

В лагранжевой механике , согласно принципу стационарного действия Гамильтона , эволюция физической системы описывается решениями уравнения Эйлера для действия системы. В этом контексте уравнения Эйлера обычно называют уравнениями Лагранжа . В классической механике он эквивалентен законам движения Ньютона , но имеет то преимущество, что принимает ту же форму в любой системе обобщенных координат и лучше подходит для обобщений. В классической теории поля есть аналогичное уравнение для расчета динамики поля .

История [ править ]

Уравнение Эйлера – Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с их исследованиями проблемы таутохрон . Это проблема определения кривой, на которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированный промежуток времени, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту проблему в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба далее развили метод Лагранжа и применили его к механике , что привело к формулировке лагранжевой механики . Их соответствие в конечном итоге привело к вариационному исчислению - термину, введенному самим Эйлером в 1766 году ^[2].

Заявление [ править ]

Уравнение Эйлера-Лагранжа является уравнением удовлетворяют функции д о в режиме реального аргумента т , которая является стационарной точкой функционала

${\displaystyle \displaystyle S({\boldsymbol {q}})=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,\mathrm {d} t}$

где:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ это функция, которую нужно найти:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {q}}\colon [a,b]\subset \mathbb {R} &\to X\\t&\mapsto x={\boldsymbol {q}}(t)\end{aligned}}}$

такие, что дифференцируемы , и .${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}}$

• ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}}$является производной от :${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}\colon [a,b]&\to T_{q}X\\t&\mapsto v={\dot {q}}(t).\end{aligned}}}$

${\displaystyle T_{q}X}$обозначает касательное расслоение к вдоль кривой , (непересекающееся) объединение всех касательных пространств (см. касательное пространство ) к точкам кривой .${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle T_{q(t)}X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{q(t)~\forall t\}}$${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle L}$- вещественная функция с непрерывными первыми частными производными :

  ${\displaystyle {\begin{aligned}L\colon [a,b]\times TX&\to \mathbb {R} \\(t,(x,v))&\mapsto L(t,x,v).\end{aligned}}}$

${\displaystyle TX}$будучи касательным расслоением из определены${\displaystyle X}$

${\displaystyle TX=\bigcup _{x\in X}\{x\}\times T_{x}X}$.

Таким образом, уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид

Здесь и обозначены частные производные от по второму и третьему аргументам соответственно.${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle L_{v}}$${\displaystyle L}$

Если размерность пространства больше 1, это система дифференциальных уравнений, по одному для каждого компонента:${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0\quad {\text{for }}i=1,\dots ,n.}$

Вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа.

Вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа - одно из классических доказательств в математике . Он основан на основной лемме вариационного исчисления . Мы хотим найти функцию , которая удовлетворяет граничные условия , и которые extremizes функционала${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a)=A}$${\displaystyle f(b)=B}$ ${\displaystyle J=\int _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .}$ Мы предполагаем, что он дважды непрерывно дифференцируем. [3] Можно использовать более слабое предположение, но доказательство становится сложнее. [ необходима цитата ]${\displaystyle F}$ Если экстремизирует функционал с учетом граничных условий, то любое небольшое возмущение, которое сохраняет граничные значения, должно либо увеличиваться (если является минимизатором), либо уменьшаться (если является максимизатором).${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle J}$${\displaystyle f}$${\displaystyle J}$${\displaystyle f}$ Пусть будет результат такого возмущения в , где мал и является дифференцируемой функцией , удовлетворяющей . Затем определите${\displaystyle g_{\varepsilon }(x)=f(x)+\varepsilon \eta (x)}$${\displaystyle \varepsilon \eta (x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \eta (x)}$${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$ ${\displaystyle J_{\varepsilon }=\int _{a}^{b}F(x,g_{\varepsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}F_{\varepsilon }\,\mathrm {d} x}$ где .${\displaystyle F_{\varepsilon }=F(x,\,g_{\varepsilon }(x),\,g_{\varepsilon }'(x))}$ Теперь мы хотим , чтобы вычислить полную производную по отношению к е .${\displaystyle J_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}F_{\varepsilon }\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} F_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}\,\mathrm {d} x.}$ Из полной производной следует, что ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} F_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+{\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }'}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\\&={\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+{\frac {\mathrm {d} g'_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g'_{\varepsilon }}}\\&=\eta (x){\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\ .\\\end{aligned}}}$ Так ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F_{\varepsilon }}{\partial g_{\varepsilon }'}}\,\right]\,\mathrm {d} x\ .}$ При ε = 0 имеем g ε = f , F ε = F (x, f (x), f '(x)) и J ε   имеет экстремальное значение, так что ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigg |}_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .}$ Следующим шагом является использование интегрирования по частям во втором члене подынтегральной функции, в результате чего получаем ${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}=0\ .}$ Используя граничные условия ,${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\ .}$ Теперь, применяя фундаментальную лемму вариационного исчисления, получаем уравнение Эйлера – Лагранжа ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0\ .}$

Альтернативный вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа.

Учитывая функционал ${\displaystyle J=\int _{a}^{b}F(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t}$ на с граничными условиями и , мы продолжим путем аппроксимации кривой экстремальную ломаной с сегментами и переходя к пределу число сегментов растет сколь угодно большим.${\displaystyle C^{1}([a,b])}$${\displaystyle y(a)=A}$${\displaystyle y(b)=B}$${\displaystyle n}$ Разделите интервал на равные отрезки с конечными точками и пусть . Вместо гладкой функции мы рассматриваем ломаную с вершинами , где и . Соответственно, наш функционал становится реальной функцией переменных, заданных формулой${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b}$${\displaystyle \Delta t=t_{k}-t_{k-1}}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle (t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})}$${\displaystyle y_{0}=A}$${\displaystyle y_{n}=B}$${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}F\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.}$ Экстремали этого нового функционала, определенные на дискретных точках, соответствуют точкам, в которых${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.}$ Оценка этой частной производной дает ${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=F_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+F_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-F_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).}$ Разделив приведенное выше уравнение на, дает${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=F_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[F_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-F_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],}$ и переходя к пределу в правой части этого выражения, получаем${\displaystyle \Delta t\to 0}$ ${\displaystyle F_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}F_{y'}=0.}$ Левая часть предыдущего уравнения - это функциональная производная функционала . Необходимым условием для дифференцируемого функционала иметь экстремум на некоторой функции является то, что его функциональная производная на этой функции равна нулю, что дается последним уравнением.${\displaystyle \delta J/\delta y}$${\displaystyle J}$

Примеры [ править ]

Стандартный пример - это поиск вещественной функции y ( x ) на интервале [ a , b ], такой что y ( a ) = c и y ( b ) = d , для которой длина пути вдоль кривой, отслеживаемой y как можно короче.

${\displaystyle {\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,}$

функция подынтегральной функции равна L ( x , y , y ′) = √ 1 + y ′ ² .

Частные производные от L :

${\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}$

Подставляя их в уравнение Эйлера – Лагранжа, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}:=A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}$

то есть функция должна иметь постоянную первую производную, и поэтому ее график представляет собой прямую линию .

Обобщения [ править ]

Одиночная функция от одной переменной с высшими производными [ править ]

Стационарные значения функционала

${\displaystyle I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}}$

можно получить из уравнения Эйлера – Лагранжа ^[4]

${\displaystyle {\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0}$

при фиксированных граничных условиях как для самой функции, так и для первых производных (т.е. для всех ). Конечные значения старшей производной остаются гибкими.${\displaystyle k-1}$${\displaystyle f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}}$${\displaystyle f^{(k)}}$

Несколько функций одной переменной с одной производной [ править ]

Если задача заключается в нахождении нескольких функций ( ) одной независимой переменной ( ), определяющих экстремум функционала${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}}$

то соответствующие уравнения Эйлера – Лагранжа имеют вид ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0\end{aligned}}}$

Одна функция нескольких переменных с одной производной [ править ]

Многомерное обобщение происходит из рассмотрения функции от n переменных. Если есть поверхность, то${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$

экстремизируется, только если f удовлетворяет уравнению в частных производных

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.}$

Когда n = 2 и функционал представляет собой функционал энергии , это приводит к проблеме минимальной поверхности мыльной пленки .${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Несколько функций нескольких переменных с одной производной [ править ]

Если необходимо определить несколько неизвестных функций и несколько переменных, таких что

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$

система уравнений Эйлера – Лагранжа имеет вид ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}}$

Одна функция двух переменных с высшими производными [ править ]

Если необходимо определить единственную неизвестную функцию f , которая зависит от двух переменных x ₁ и x _2, и если функционал зависит от высших производных f до n -го порядка, таких что

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

то уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}}$

который можно кратко представить как:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

где индексы охватывают количество переменных, то есть здесь они идут от 1 до 2. Здесь суммирование по индексам завершается только для того, чтобы избежать многократного подсчета одной и той же частной производной, например, появляется только один раз в предыдущем уравнении .${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$${\displaystyle \mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}}$${\displaystyle f_{12}=f_{21}}$

Несколько функций нескольких переменных с высшими производными [ править ]

Если необходимо определить p неизвестных функций f _i , которые зависят от m переменных x ₁ ... x _m, и если функционал зависит от высших производных f _i до n -го порядка, таких что

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

где - индексы, охватывающие количество переменных, то есть они идут от 1 до m. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

где при суммировании не учитывается несколько раз одна и та же производная , как и в предыдущем пункте. Более компактно это можно выразить как${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$${\displaystyle f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

Обобщение на многообразия [ править ]

Пусть - гладкое многообразие , и пусть обозначает пространство гладких функций . Тогда для функционалов вида${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to M}$${\displaystyle S:C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t}$

где - лагранжиан, это утверждение эквивалентно утверждению, что для всех тривиализация каждой координатной системы координат окрестности точки приводит к следующим уравнениям:${\displaystyle L:TM\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathrm {d} S_{f}=0}$${\displaystyle t\in [a,b]}$ ${\displaystyle (x^{i},X^{i})}$${\displaystyle {\dot {f}}(t)}$${\displaystyle \dim M}$

${\displaystyle \forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.}$

См. Также [ править ]

Найдите уравнение Эйлера – Лагранжа в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Лагранжева механика
• Гамильтонова механика
• Аналитическая механика
• Белтрами личность
• Функциональная производная

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• "Уравнения Лагранжа (в механике)" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа" . MathWorld .
• «Вариационное исчисление» . PlanetMath .
• Гельфанд, Израиль Моисеевич (1963). Вариационное исчисление . Дувр. ISBN 0-486-41448-5.
• Рубичек, Т .: Вариационное исчисление . Глава 17 в: Математические инструменты для физиков . (Ред. М. Гринфельд) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7 , стр. 551-588.