В математике , то формула Риман-Гурвица , названная в честь Бернхарда Римана и Адольф Гурвица , описывает взаимосвязь с характеристиками Эйлера двух поверхностей , когда один является разветвленным накрытием других. Следовательно , в данном случае он связывает ветвление с алгебраической топологией . Это результат прототипа для многих других, и он часто применяется в теории римановых поверхностей (которая является ее источником) и алгебраических кривых .
Заявление [ править ]
Для компактной , соединенной , ориентируемой поверхности , характеристика Эйлера является
- ,
где g - род ( количество ручек ), поскольку числа Бетти равны . В случае ( неразветвленной ) накрывающей карты поверхностей
которое является сюръективным и имеет степень , мы имеем формулу
Это происходит потому , что каждый симплекс должен быть покрыт именно в , по крайней мере , если мы будем использовать тонкую достаточно триангуляции из , как мы вправе сделать , так как эйлерова характеристика является топологическим инвариантом . Формула Римана – Гурвица добавляет поправку, учитывающую разветвление ( объединение листов ).
Теперь предположим , что и являются римановых поверхностей , а также о том , что карта является комплексным аналитическим . Карта называется разветвленной в точке P в S ′, если существуют аналитические координаты около P и π ( P ) такие, что π принимает форму π ( z ) = z n , а n > 1. Эквивалентный образ мышления о том , что существует малая окрестность U в P такая , что π ( P ) имеет ровно один прообраз в U , а образ любой другой точки вU имеет ровно п прообразов в U . Число п называется индекс ветвления в точке Р , а также обозначается е Р . При вычислении эйлеровой характеристики S ′ мы замечаем потерю e P - 1 копий P над π ( P ) (то есть в прообразе π ( P )). Теперь давайте выберем триангуляции S и S ′ с вершинами в точках ветвления и ветвления, соответственно, и используем их для вычисления характеристик Эйлера. Тогда в S ′ будет такое же количествоd -мерные грани для d, отличные от нуля, но с меньшим, чем ожидалось, вершинами. Таким образом, находим «исправленную» формулу
или как это тоже обычно пишут
(все, кроме конечного числа P, имеют e P = 1, так что это вполне безопасно). Эта формула известна как формула Римана – Гурвица, а также как теорема Гурвица .
Еще одна полезная форма формулы:
где r - количество точек в S ', в которых покрытие имеет нетривиальное разветвление ( точки ветвления ), а b - количество точек в S, которые являются образами таких точек ( точек ветвления ). Действительно, чтобы получить эту формулу, удалим непересекающиеся дисковые окрестности точек ветвления из S и непересекающиеся дисковые окрестности точек ветвления в S ' так, чтобы ограничение было накрытием. Затем примените к ограничению общую формулу степени, воспользуйтесь тем фактом, что эйлерова характеристика круга равна 1, и воспользуйтесь аддитивностью эйлеровой характеристики относительно связных сумм.
Примеры [ править ]
Вейерштрасса -функции , рассматриваемая как мероморфная функция со значениями в сфере Римана , дает карту от эллиптической кривой (род 1) на проективной прямой (род 0). Это двойное покрытие ( N = 2) с разветвлением только в четырех точках, в которых e = 2. Формула Римана – Гурвица имеет следующий вид:
с суммированием берется по четырем значениям Р .
Формулу также можно использовать для вычисления рода гиперэллиптических кривых .
В качестве другого примера сфера Римана отображается в себя функцией z n , имеющей индекс ветвления n в 0, для любого целого n > 1. Другое разветвление может быть только в бесконечно удаленной точке. Чтобы сбалансировать уравнение
мы также должны иметь индекс ветвления n на бесконечности.
Последствия [ править ]
Далее следуют несколько результатов по алгебраической топологии и комплексному анализу.
Во-первых, не существует разветвленных покрывающих отображений кривой нижнего рода в кривую более высокого рода - и, таким образом, поскольку непостоянные мероморфные отображения кривых являются разветвленными накрывающими пространствами, не существует непостоянных мероморфных отображений из кривой нижнего рода. род кривой более высокого рода.
В качестве другого примера он сразу показывает, что кривая рода 0 не имеет покрытия с N > 1, которое не разветвлено всюду: потому что это привело бы к эйлеровой характеристике> 2.
Обобщения [ править ]
Для соответствия кривых существует более общая формула, теорема Цойтена , которая дает поправку ветвления к первому приближению, согласно которой характеристики Эйлера находятся в обратном отношении к степеням соответствия.
Орбиобразие покрытия степени N между орбиобразием поверхности S»и S представляет собой разветвленное покрытие, поэтому формула Римана-Гурвица означает обычную формулу для покрытий
обозначающий орбифолдную эйлерову характеристику.
Ссылки [ править ]
- Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157 , OCLC 13348052, раздел IV.2.