(2,3,7) треугольная группа

В теории римановых поверхностей и гиперболической геометрии , то треугольник группы (2,3,7) является особенно важным. Эта важность проистекает из его связи с поверхностями Гурвица , а именно с римановыми поверхностями рода g с максимально возможным порядком 84 ( g - 1) группы автоморфизмов.

Замечание по терминологии - «группа треугольников (2,3,7)» чаще всего относится к полной группе треугольников Δ (2,3,7) (группа Кокстера с треугольником Шварца (2,3,7) или реализация как гиперболическая группа отражений ), а скорее к обычной группе треугольников (группа фон Дейка ) D (2, 3, 7) сохраняющих ориентацию отображений (группа вращений), которая имеет индекс 2.

Нормальные подгруппы без кручения треугольной группы (2,3,7) - это фуксовы группы, связанные с поверхностями Гурвица , такими как квартика Клейна , поверхность Макбита и первая тройка Гурвица .

Конструкции [ править ]

Гиперболическая конструкция [ править ]

Группа треугольников (2, 3, 7) - это группа сохраняющих ориентацию изометрий замощения треугольником Шварца (2, 3, 7) , показанная здесь в проекции модели диска Пуанкаре .

Чтобы построить группу треугольников, начните с гиперболического треугольника с углами π / 2, π / 3, π / 7. Этот треугольник, наименьший гиперболический треугольник Шварца , покрывает плоскость отражениями в его сторонах. Рассмотрим затем группу, порожденную отражениями в сторонах треугольника, которая (поскольку плитки треугольника) является неевклидовой кристаллографической группой (дискретной подгруппой гиперболических изометрий) с этим треугольником в качестве фундаментальной области ; ассоциированная мозаика - это семиугольная мозаика порядка 3 пополам . Треугольная группа (2, 3, 7) определяется как подгруппа индекса 2, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий, которая является фуксовой группой (сохраняющей ориентацию группой NEC).

Равномерная семиугольная / треугольная мозаика v т е
Симметрия: [7,3], (* 732)							[7,3] + , (732)
{7,3}	т {7,3}	г {7,3}	т {3,7}	{3,7}	рр {7,3}	tr {7,3}	sr {7,3}
Униформа двойников
V7 3	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3 7	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Групповая презентация [ править ]

Он представлен в терминах пары образующих, g ₂ , g ₃ , по модулю следующих соотношений:

${\ displaystyle g_ {2} ^ {2} = g_ {3} ^ {3} = (g_ {2} g_ {3}) ^ {7} = 1.}$

Геометрически они соответствуют поворотам на вершины треугольника Шварца и вокруг них.${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {2}}, {\ frac {2 \ pi} {3}}}$${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {7}}}$

Кватернионная алгебра [ править ]

Треугольная группа (2, 3, 7) допускает представление в терминах группы кватернионов нормы 1 в подходящем порядке в алгебре кватернионов . Более конкретно, группа треугольников является фактором группы кватернионов по ее центру ± 1.

Пусть η = 2cos (2π / 7). Тогда из тождества

${\ displaystyle (2- \ eta) ^ {3} = 7 (\ eta -1) ^ {2}.}$

мы видим , что Q (η) является вполне реальным кубическим расширением Q . Гиперболическая треугольная группа (2, 3, 7) - это подгруппа группы элементов с нормой 1 в алгебре кватернионов, порожденная как ассоциативная алгебра парой образующих i , j и отношениями i ² = j ² = η , ij  = - джи . Каждый выбирает подходящий кватернионный порядок Гурвица в кватернионной алгебре. Здесь порядок формируется элементами${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}}}$${\ displaystyle Q _ {\ mathrm {Hur}}}$

${\ displaystyle g_ {2} = {\ tfrac {1} {\ eta}} ij}$

${\ displaystyle g_ {3} = {\ tfrac {1} {2}} (1 + (\ eta ^ {2} -2) j + (3- \ eta ^ {2}) ij).}$

Фактически, порядок является свободным Z [η] -модулем над базисом . Здесь генераторы удовлетворяют соотношениям${\displaystyle 1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}}$

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,\,}$

которые после факторизации по центру спускаются к соответствующим отношениям в группе треугольников.

Отношение к SL (2, R) [ править ]

Продолжая скаляры от Q (η) до R (посредством стандартного вложения), мы получаем изоморфизм между алгеброй кватернионов и алгеброй M (2, R ) вещественных матриц 2 на 2. Выбор конкретного изоморфизма позволяет показать (2, 3, 7 ) треугольную группу как конкретную фуксову группу в SL (2, R ) , в частности, как фактор модулярной группы . Это можно визуализировать с помощью связанных мозаик, как показано справа: мозаика (2, 3, 7) на диске Пуанкаре представляет собой частное от модулярной мозаики на верхней полуплоскости.

Однако для многих целей явные изоморфизмы не нужны. Таким образом, следы элементов группы (а значит, и длины трансляций гиперболических элементов, действующих в верхней полуплоскости , а также систолы фуксовых подгрупп) могут быть вычислены с помощью приведенного следа в алгебре кватернионов и формулы

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma )=2\cosh(\ell _{\gamma }/2).}$

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]