Сферический | Евклидово | Гиперболический | |||
---|---|---|---|---|---|
![]() {5,3} 5.5.5 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {6,3} 6.6.6 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {7,3} 7.7.7 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞, 3} ∞.∞.∞ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
Правильные мозаики {p, q} сферы, евклидовой плоскости и гиперболической плоскости с использованием правильных пятиугольных, шестиугольных, семиугольных и апейрогональных граней. | |||||
![]() т {5,3} 10.10.3 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() т {6,3} 12.12.3 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() т {7,3} 14.14.3 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() t {∞, 3} ∞.∞.3 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
Укороченные тайлинги Have 2p.2p.q вершина фигуры из регулярного {р, д}. | |||||
![]() г {5,3} 3.5.3.5 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() г {6,3} 3.6.3.6 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() г {7,3} 3.7.3.7 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() г {∞, 3} 3.∞.3.∞ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
Квазирегулярные мозаики похожи на правильные мозаики, но чередуют два типа правильных многоугольников вокруг каждой вершины. | |||||
![]() rr {5,3} 3.4.5.4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() rr {6,3} 3.4.6.4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() рр {7,3} 3.4.7.4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() rr {∞, 3} 3.4.∞.4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
У полурегулярных мозаик есть более одного типа правильных многоугольников. | |||||
![]() tr {5,3} 4.6.10 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() tr {6,3} 4.6.12 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() tr {7,3} 4.6.14 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() tr {∞, 3} 4.6.∞ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
Омноусеченные мозаики имеют три или более четных правильных многоугольника. |
Симметрия | Треугольная двугранная симметрия![]() | Тетраэдр![]() | Восьмигранный![]() | Икосаэдр![]() | симметрия p6m![]() | [3,7] симметрия![]() | [3,8] симметрия![]() | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Запуск твердой операции | Символ {p, q} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Треугольный хозоэдр {2,3} ![]() | Треугольный диэдр {3,2} ![]() | Тетраэдр {3,3} ![]() | Куб {4,3} ![]() | Октаэдр {3,4} ![]() | Додекаэдр {5,3} ![]() | Икосаэдр {3,5} ![]() | Шестиугольная черепица {6,3} ![]() | Треугольная черепица {3,6} ![]() | Плитка семиугольной формы {7,3} ![]() | Треугольная черепица Order-7 {3,7} ![]() | Восьмиугольная черепица {8,3} ![]() | Треугольная черепица Order-8 {3,8} ![]() |
Усечение (t) | т {р, д}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | треугольная призма![]() | усеченный треугольный диэдр (половина «ребер» считается вырожденными гранями двуугольника . Другая половина - нормальные ребра.)![]() | усеченный тетраэдр![]() | усеченный куб![]() | усеченный октаэдр![]() | усеченный додекаэдр![]() | усеченный икосаэдр![]() | Усеченная шестиугольная мозаика![]() | Усеченная треугольная мозаика![]() | Усеченная семиугольная черепица![]() | Усеченная треугольная мозаика порядка 7![]() | Усеченная восьмиугольная черепица![]() | Усеченная треугольная мозаика порядка 8![]() |
Ректификация (r) Амбо (a) | г {р, д}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | трехгранник (все "ребра" считаются вырожденными гранями двуугольника .)![]() | тетраэтраэдр![]() | кубооктаэдр![]() | икосододекаэдр![]() | Трехгранная черепица![]() | Тригептагональная черепица![]() | Трехугольная черепица![]() | ||||||
Bitruncation (2t) Dual кис (dk) | 2t {p, q}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | усеченный треугольный диэдр (половина «ребер» считается вырожденными гранями двуугольника . Другая половина - нормальные ребра.)![]() | треугольная призма![]() | усеченный тетраэдр![]() | усеченный октаэдр![]() | усеченный куб![]() | усеченный икосаэдр![]() | усеченный додекаэдр![]() | усеченная треугольная мозаика![]() | усеченная шестиугольная мозаика![]() | Усеченная треугольная мозаика порядка 7![]() | Усеченная семиугольная черепица![]() | Усеченная треугольная мозаика порядка 8![]() | Усеченная восьмиугольная черепица![]() |
Биректификация (2r) Двойная (d) | 2r {p, q}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | треугольный диэдр {3,2} ![]() | треугольный хозоэдр {2,3} ![]() | тетраэдр![]() | октаэдр![]() | куб![]() | икосаэдр![]() | додекаэдр![]() | треугольная черепица![]() | шестиугольная черепица![]() | Треугольная черепица Order-7![]() | Семиугольная черепица![]() | Треугольная черепица Order-8![]() | Восьмиугольная черепица![]() |
Cantellation (rr) Расширение (e) | рр {р, q}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | треугольная призма («ребро» между каждой парой четырехугольников считается вырожденной гранью двуугольника . Остальные ребра (те, которые находятся между треугольником и четырехугольником) являются нормальными ребрами.)![]() | ромбитратратраэдр![]() | ромбокубооктаэдр![]() | ромбикосододекаэдр ![]() | ромбогексагональная черепица![]() | Ромбитригептагональная черепица ![]() | Ромбитриоктагональная черепица ![]() | ||||||
Курчавый выпрямленный (sr) Курносый (s) | sr {p, q}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | треугольная антипризма (три желто-желтых «ребра», никакие два из которых не имеют общих вершин, считаются вырожденными гранями двуугольника . Остальные ребра являются нормальными ребрами.)![]() | курносый тетратраэдр![]() | курносый кубооктаэдр![]() | курносый икосододекаэдр![]() | плоскостная трехгексагональная черепица![]() | Плоская трехгептагональная черепица![]() | Плоская трехугольная черепица![]() | ||||||
Cantitruncation (tr) Bevel (b) | tr {p, q}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | шестиугольная призма![]() | усеченный тетратетраэдр![]() | усеченный кубооктаэдр![]() | усеченный икосододекаэдр![]() | усеченная трехгексагональная мозаика![]() | Усеченная трехгептагональная черепица![]() | Усеченная трехоктагональная черепица![]() |
В гиперболической геометрии , A однородных гиперболический плиточное (или регулярный, квазирегулярный или полурегулярен гиперболические плиточный) представляет собой от края до края заполнение гиперболической плоскости , которая имеет правильные многоугольники , как грани и является вершинно-транзитивным ( переходные на его вершину , изогональный, т.е. существует изометрия, отображающая любую вершину на любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны , а мозаика имеет высокую степень вращательной и трансляционной симметрии .
Равномерные мозаики можно идентифицировать по их конфигурации вершин , последовательности чисел, представляющих количество сторон многоугольников вокруг каждой вершины. Например, 7.7.7 представляет собой семиугольную мозаику с тремя семиугольниками вокруг каждой вершины. Он также является правильным, поскольку все многоугольники одинакового размера, поэтому ему также может быть присвоен символ Шлефли {7,3}.
Равномерные мозаики могут быть регулярными (если они также транзитивны по граням и ребрам), квазирегулярными (если транзитивны по ребрам, но не по граням) или полурегулярными (если не транзитивны по граням и граням). Для прямоугольных треугольников ( p q 2) есть два правильных мозаика, представленных символом Шлефли { p , q } и { q , p }.
Строительство Wythoff
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Wythoffian_construction_diagram.svg/400px-Wythoffian_construction_diagram.svg.png)
Существует бесконечное количество однородных мозаик на основе треугольников Шварца ( p q r ), где1/п + 1/q + 1/р <1, где p , q , r - порядки симметрии отражения в трех точках треугольника фундаментальной области - группа симметрии представляет собой группу гиперболического треугольника .
Каждое семейство симметрии содержит 7 однородных мозаик, определяемых символом Витоффа или диаграммой Кокстера-Дынкина , 7 представляющих комбинации 3 активных зеркал. Восьмой представляет собой операцию чередования , удаляя альтернативные вершины из высшей формы со всеми активными зеркалами.
Семейства с r = 2 содержат регулярные гиперболические мозаики , определяемые группой Кокстера, такой как [7,3], [8,3], [9,3], ... [5,4], [6,4], ....
Гиперболические семейства с r = 3 или выше задаются ( p q r ) и включают (4 3 3), (5 3 3), (6 3 3) ... (4 4 3), (5 4 3), ... (4 4 4) ....
Гиперболические треугольники ( p q r ) определяют компактные равномерные гиперболические мозаики. В пределе любое из p , q или r можно заменить на ∞, которое определяет паракомпактный гиперболический треугольник и создает однородные мозаики либо с бесконечными гранями (называемыми апейрогонами ), которые сходятся к одной идеальной точке, либо с бесконечной вершинной фигурой с бесконечным количеством расходящихся ребер. из той же идеальной точки.
Больше семейств симметрии можно построить из фундаментальных областей, не являющихся треугольниками.
Выбранные семейства равномерных мозаик показаны ниже (с использованием модели диска Пуанкаре для гиперболической плоскости). Три из них - (7 3 2), (5 4 2) и (4 3 3) - и никакие другие являются минимальными в том смысле, что если любое из их определяющих чисел заменить меньшим целым числом, результирующий шаблон будет либо Евклидова или сферическая, а не гиперболическая; и наоборот, любое из чисел может быть увеличено (даже до бесконечности) для создания других гиперболических паттернов.
Каждая однородная мозаика порождает двойную однородную мозаику , многие из которых также приведены ниже.
Области прямоугольного треугольника
Существует бесконечно много ( p q 2) семейств треугольных групп . В этой статье показаны регулярные мозаики с точностью до p , q = 8 и равномерные мозаики в 12 семействах: (7 3 2), (8 3 2), (5 4 2), (6 4 2), (7 4 2) , (8 4 2), (5 5 2), (6 5 2) (6 6 2), (7 7 2), (8 6 2) и (8 8 2).
Регулярные гиперболические мозаики
![]() |
Простейшим набором гиперболических мозаик являются правильные мозаики { p , q }, которые существуют в матрице с правильными многогранниками и евклидовыми мозаиками. У правильного замощения { p , q } есть двойное замощение { q , p } поперек диагональной оси стола. Самодвойственные мозаики {2,2}, {3,3} , {4,4} , {5,5} и т. Д. Проходят вниз по диагонали таблицы.
Регулярная гиперболическая мозаичная таблица | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сферические (несобственные / платонические) / евклидовы / гиперболические (диск Пуанкаре: компактные / паракомпактные / некомпактные ) мозаики с их символом Шлефли | |||||||||||
р \ д | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | ∞ | ... | iπ / λ |
2 | ![]() {2 , 2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {2,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {2,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {2,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {2,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {2,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {2,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {2, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {2, iπ / λ} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
3 | ![]() {3,2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ( тетраэдр ) {3,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ( октаэдр ) {3,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ( икосаэдр ) {3,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ( дельтиль ) {3,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {3, iπ / λ} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
4 | ![]() {4,2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ( куб ) {4,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ( кадриль ) {4,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {4, iπ / λ} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
5 | ![]() {5,2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ( додекаэдр ) {5,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {5,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {5,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {5,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {5,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {5,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {5, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {5, iπ / λ} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
6 | ![]() {6,2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ( гексилль ) {6,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {6,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {6,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {6,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {6,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {6,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {6, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {6, iπ / λ} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
7 | {7,2}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {7,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {7,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {7,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {7,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {7,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {7,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {7, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {7, iπ / λ}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
8 | {8,2}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {8,3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {8,4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {8,5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {8,6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {8,7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {8,8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {8, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {8, iπ / λ}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
... | |||||||||||
∞ | ![]() {∞, 2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞, 3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞, 4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞, 5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞, 6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞, 7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞, 8} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {∞, iπ / λ} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
... | |||||||||||
iπ / λ | ![]() {iπ / λ, 2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {iπ / λ, 3} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {iπ / λ, 4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {iπ / λ, 5} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {iπ / λ, 6} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {iπ / λ, 7}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {iπ / λ, 8}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {iπ / λ, ∞} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | {iπ / λ, iπ / λ}![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
(7 3 2)
(7 3 2) треугольник группа , группа Коксетера [7,3], орбиобразие (* 732) содержит эти однородные разбиения:
Равномерная семиугольная / треугольная мозаика | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия: [7,3], (* 732) | [7,3] + , (732) | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
{7,3} | т {7,3} | г {7,3} | т {3,7} | {3,7} | рр {7,3} | tr {7,3} | sr {7,3} | ||||
Униформа двойников | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
V7 3 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V3 7 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 |
(8 3 2)
(8 3 2) треугольник группа , группа Коксетера [8,3], орбиобразие (* 832) содержит эти однородные разбиения:
Равномерная восьмиугольная / треугольная мозаика | |||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия: [8,3], (* 832) | [8,3] + (832) | [1 + , 8,3] (* 443) | [8,3 + ] (3 * 4) | ||||||||||
{8,3} | т {8,3} | г {8,3} | т {3,8} | {3,8} | rr {8,3} s 2 {3,8} | tr {8,3} | sr {8,3} | ч {8,3} | ч 2 {8,3} | с {3,8} | |||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||||
![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | |||
Униформа двойников | |||||||||||||
V8 3 | V3.16.16 | V3.8.3.8 | V6.6.8 | V3 8 | V3.4.8.4 | V4.6.16 | V3 4 .8 | В (3,4) 3 | V8.6.6 | V3 5 .4 | |||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
(5 4 2)
(5 4 2) треугольник группа , группа Коксетера [5,4], орбиобразие (* 542) содержит эти однородные разбиения:
Равномерная пятиугольная / квадратная мозаика | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия: [5,4], (* 542) | [5,4] + , (542) | [5 + , 4], (5 * 2) | [5,4,1 + ], (* 552) | ||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
{5,4} | т {5,4} | г {5,4} | 2t {5,4} = t {4,5} | 2r {5,4} = {4,5} | рр {5,4} | tr {5,4} | sr {5,4} | с {5,4} | ч {4,5} | ||
Униформа двойников | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
V5 4 | V4.10.10 | V4.5.4.5 | V5.8.8 | V4 5 | V4.4.5.4 | V4.8.10 | V3.3.4.3.5 | V3.3.5.3.5 | V5 5 |
(6 4 2)
(6 4 2) треугольник группа , группа Коксетера [6,4], орбиобразие (* 642) содержит эти однородные разбиения. Поскольку все элементы четные, каждый однородный двойной мозаичный элемент представляет фундаментальную область отражательной симметрии: * 3333, * 662, * 3232, * 443, * 222222, * 3222 и * 642 соответственно. Кроме того, можно чередовать все 7 однородных плиток, и у них также есть двойники.
Равномерные тетрагексагональные мозаики | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [6,4], (* 642 ) (с [6,6] (* 662), [(4,3,3)] (* 443), [∞, 3, ∞] (* 3222) индекс 2 подсимметрии) (И [(∞, 3, ∞, 3)] (* 3232) подсимметрия индекса 4) | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
{6,4} | т {6,4} | г {6,4} | т {4,6} | {4,6} | rr {6,4} | tr {6,4} | |||||
Униформа двойников | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
V6 4 | V4.12.12 | В (4,6) 2 | V6.8.8 | V4 6 | V4.4.4.6 | V4.8.12 | |||||
Чередования | |||||||||||
[1 + , 6,4] (* 443) | [6 + , 4] (6 * 2) | [6,1 + , 4] (* 3222) | [6,4 + ] (4 * 3) | [6,4,1 + ] (* 662) | [(6,4,2 + )] (2 * 32) | [6,4] + (642) | |||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
ч {6,4} | с {6,4} | ч. {6,4} | с {4,6} | ч {4,6} | чрр {6,4} | sr {6,4} |
(7 4 2)
(7 4 2) треугольник группа , группа Коксетера [7,4], орбиобразие (* 742) содержит эти однородные разбиения:
Равномерная семиугольная / квадратная мозаика | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия: [7,4], (* 742) | [7,4] + , (742) | [7 + , 4], (7 * 2) | [7,4,1 + ], (* 772) | ||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
{7,4} | т {7,4} | г {7,4} | 2t {7,4} = t {4,7} | 2r {7,4} = {4,7} | rr {7,4} | tr {7,4} | sr {7,4} | с {7,4} | ч {4,7} | ||
Униформа двойников | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
V7 4 | V4.14.14 | V4.7.4.7 | V7.8.8 | V4 7 | V4.4.7.4 | V4.8.14 | V3.3.4.3.7 | V3.3.7.3.7 | V7 7 |
(8 4 2)
(8 4 2) треугольник группа , группа Коксетера [8,4], орбиобразие (* 842) содержит эти однородные разбиения. Поскольку все элементы четные, каждый однородный двойной мозаичный элемент представляет фундаментальную область отражательной симметрии: * 4444, * 882, * 4242, * 444, * 22222222, * 4222 и * 842 соответственно. Кроме того, можно чередовать все 7 однородных плиток, и у них также есть двойники.
Равномерная восьмиугольная / квадратная мозаика | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[8,4], (* 842) (с [8,8] (* 882), [(4,4,4)] (* 444), [∞, 4, ∞] (* 4222) подсимметриями индекса 2 ) (И [(∞, 4, ∞, 4)] (* 4242) подсимметрия индекса 4) | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
{8,4} | т {8,4} | г {8,4} | 2t {8,4} = t {4,8} | 2r {8,4} = {4,8} | рр {8,4} | tr {8,4} | |||||
Униформа двойников | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
V8 4 | V4.16.16 | В (4,8) 2 | V8.8.8 | V4 8 | V4.4.4.8 | V4.8.16 | |||||
Чередования | |||||||||||
[1 + , 8,4] (* 444) | [8 + , 4] (8 * 2) | [8,1 + , 4] (* 4222) | [8,4 + ] (4 * 4) | [8,4,1 + ] (* 882) | [(8,4,2 + )] (2 * 42) | [8,4] + (842) | |||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() знак равно ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
ч {8,4} | с {8,4} | ч. {8,4} | с {4,8} | ч {4,8} | чрр {8,4} | sr {8,4} | |||||
Alternation duals | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
V(4.4)4 | V3.(3.8)2 | V(4.4.4)2 | V(3.4)3 | V88 | V4.44 | V3.3.4.3.8 |
(5 5 2)
The (5 5 2) triangle group, Coxeter group [5,5], orbifold (*552) contains these uniform tilings:
Uniform pentapentagonal tilings | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [5,5], (*552) | [5,5]+, (552) | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
{5,5} | t{5,5} | r{5,5} | 2t{5,5}=t{5,5} | 2r{5,5}={5,5} | rr{5,5} | tr{5,5} | sr{5,5} | ||||
Uniform duals | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
V5.5.5.5.5 | V5.10.10 | V5.5.5.5 | V5.10.10 | V5.5.5.5.5 | V4.5.4.5 | V4.10.10 | V3.3.5.3.5 |
(6 5 2)
The (6 5 2) triangle group, Coxeter group [6,5], orbifold (*652) contains these uniform tilings:
Uniform hexagonal/pentagonal tilings | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [6,5], (*652) | [6,5]+, (652) | [6,5+], (5*3) | [1+,6,5], (*553) | ||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
{6,5} | t{6,5} | r{6,5} | 2t{6,5}=t{5,6} | 2r{6,5}={5,6} | rr{6,5} | tr{6,5} | sr{6,5} | s{5,6} | h{6,5} | ||
Uniform duals | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
V65 | V5.12.12 | V5.6.5.6 | V6.10.10 | V56 | V4.5.4.6 | V4.10.12 | V3.3.5.3.6 | V3.3.3.5.3.5 | V(3.5)5 |
(6 6 2)
The (6 6 2) triangle group, Coxeter group [6,6], orbifold (*662) contains these uniform tilings:
Uniform hexahexagonal tilings | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [6,6], (*662) | ||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
{6,6} = h{4,6} | t{6,6} = h2{4,6} | r{6,6} {6,4} | t{6,6} = h2{4,6} | {6,6} = h{4,6} | rr{6,6} r{6,4} | tr{6,6} t{6,4} |
Uniform duals | ||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
V66 | V6.12.12 | V6.6.6.6 | V6.12.12 | V66 | V4.6.4.6 | V4.12.12 |
Alternations | ||||||
[1+,6,6] (*663) | [6+,6] (6*3) | [6,1+,6] (*3232) | [6,6+] (6*3) | [6,6,1+] (*663) | [(6,6,2+)] (2*33) | [6,6]+ (662) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
h{6,6} | s{6,6} | hr{6,6} | s{6,6} | h{6,6} | hrr{6,6} | sr{6,6} |
(8 6 2)
The (8 6 2) triangle group, Coxeter group [8,6], orbifold (*862) contains these uniform tilings.
Uniform octagonal/hexagonal tilings | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [8,6], (*862) | ||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
{8,6} | t{8,6} | r{8,6} | 2t{8,6}=t{6,8} | 2r{8,6}={6,8} | rr{8,6} | tr{8,6} |
Uniform duals | ||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
V86 | V6.16.16 | V(6.8)2 | V8.12.12 | V68 | V4.6.4.8 | V4.12.16 |
Alternations | ||||||
[1+,8,6] (*466) | [8+,6] (8*3) | [8,1+,6] (*4232) | [8,6+] (6*4) | [8,6,1+] (*883) | [(8,6,2+)] (2*43) | [8,6]+ (862) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ||||
h{8,6} | s{8,6} | hr{8,6} | s{6,8} | h{6,8} | hrr{8,6} | sr{8,6} |
Alternation duals | ||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ||||||
V(4.6)6 | V3.3.8.3.8.3 | V(3.4.4.4)2 | V3.4.3.4.3.6 | V(3.8)8 | V3.45 | V3.3.6.3.8 |
(7 7 2)
The (7 7 2) triangle group, Coxeter group [7,7], orbifold (*772) contains these uniform tilings:
Uniform heptaheptagonal tilings | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [7,7], (*772) | [7,7]+, (772) | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
{7,7} | t{7,7} | r{7,7} | 2t{7,7}=t{7,7} | 2r{7,7}={7,7} | rr{7,7} | tr{7,7} | sr{7,7} | ||||
Uniform duals | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
V77 | V7.14.14 | V7.7.7.7 | V7.14.14 | V77 | V4.7.4.7 | V4.14.14 | V3.3.7.3.7 |
(8 8 2)
The (8 8 2) triangle group, Coxeter group [8,8], orbifold (*882) contains these uniform tilings:
Uniform octaoctagonal tilings | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [8,8], (*882) | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
{8,8} | t{8,8} | r{8,8} | 2t{8,8}=t{8,8} | 2r{8,8}={8,8} | rr{8,8} | tr{8,8} | |||||
Uniform duals | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
V88 | V8.16.16 | V8.8.8.8 | V8.16.16 | V88 | V4.8.4.8 | V4.16.16 | |||||
Alternations | |||||||||||
[1+,8,8] (*884) | [8+,8] (8*4) | [8,1+,8] (*4242) | [8,8+] (8*4) | [8,8,1+] (*884) | [(8,8,2+)] (2*44) | [8,8]+ (882) | |||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
h{8,8} | s{8,8} | hr{8,8} | s{8,8} | h{8,8} | hrr{8,8} | sr{8,8} | |||||
Alternation duals | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||||
![]() | ![]() | ||||||||||
V(4.8)8 | V3.4.3.8.3.8 | V(4.4)4 | V3.4.3.8.3.8 | V(4.8)8 | V46 | V3.3.8.3.8 |
General triangle domains
There are infinitely many general triangle group families (p q r). This article shows uniform tilings in 9 families: (4 3 3), (4 4 3), (4 4 4), (5 3 3), (5 4 3), (5 4 4), (6 3 3), (6 4 3), and (6 4 4).
(4 3 3)
The (4 3 3) triangle group, Coxeter group [(4,3,3)], orbifold (*433) contains these uniform tilings. Without right angles in the fundamental triangle, the Wythoff constructions are slightly different. For instance in the (4,3,3) triangle family, the snub form has six polygons around a vertex and its dual has hexagons rather than pentagons. In general the vertex figure of a snub tiling in a triangle (p,q,r) is p. 3.q.3.r.3, being 4.3.3.3.3.3 in this case below.
Uniform (4,3,3) tilings | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(4,3,3)], (*433) | [(4,3,3)]+, (433) | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
h{8,3} t0(4,3,3) | r{3,8}1/2 t0,1(4,3,3) | h{8,3} t1(4,3,3) | h2{8,3} t1,2(4,3,3) | {3,8}1/2 t2(4,3,3) | h2{8,3} t0,2(4,3,3) | t{3,8}1/2 t0,1,2(4,3,3) | s{3,8}1/2 s(4,3,3) | ||||
Uniform duals | |||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
V(3.4)3 | V3.8.3.8 | V(3.4)3 | V3.6.4.6 | V(3.3)4 | V3.6.4.6 | V6.6.8 | V3.3.3.3.3.4 |
(4 4 3)
The (4 4 3) triangle group, Coxeter group [(4,4,3)], orbifold (*443) contains these uniform tilings.
Uniform (4,4,3) tilings | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(4,4,3)] (*443) | [(4,4,3)]+ (443) | [(4,4,3+)] (3*22) | [(4,1+,4,3)] (*3232) | |||||||
![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
h{6,4} t0(4,4,3) | h2{6,4} t0,1(4,4,3) | {4,6}1/2 t1(4,4,3) | h2{6,4} t1,2(4,4,3) | h{6,4} t2(4,4,3) | r{6,4}1/2 t0,2(4,4,3) | t{4,6}1/2 t0,1,2(4,4,3) | s{4,6}1/2 s(4,4,3) | hr{4,6}1/2 hr(4,3,4) | h{4,6}1/2 h(4,3,4) | q{4,6} h1(4,3,4) |
Uniform duals | ||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||
V(3.4)4 | V3.8.4.8 | V(4.4)3 | V3.8.4.8 | V(3.4)4 | V4.6.4.6 | V6.8.8 | V3.3.3.4.3.4 | V(4.4.3)2 | V66 | V4.3.4.6.6 |
(4 4 4)
The (4 4 4) triangle group, Coxeter group [(4,4,4)], orbifold (*444) contains these uniform tilings.
Uniform (4,4,4) tilings | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(4,4,4)], (*444) | [(4,4,4)]+ (444) | [(1+,4,4,4)] (*4242) | [(4+,4,4)] (4*22) | ||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
t0(4,4,4) h{8,4} | t0,1(4,4,4) h2{8,4} | t1(4,4,4) {4,8}1/2 | t1,2(4,4,4) h2{8,4} | t2(4,4,4) h{8,4} | t0,2(4,4,4) r{4,8}1/2 | t0,1,2(4,4,4) t{4,8}1/2 | s(4,4,4) s{4,8}1/2 | h(4,4,4) h{4,8}1/2 | hr(4,4,4) hr{4,8}1/2 | ||
Uniform duals | |||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V(4.4)4 | V4.8.4.8 | V8.8.8 | V3.4.3.4.3.4 | V88 | V(4,4)3 |
(5 3 3)
The (5 3 3) triangle group, Coxeter group [(5,3,3)], orbifold (*533) contains these uniform tilings.
Uniform (5,3,3) tilings | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(5,3,3)], (*533) | [(5,3,3)]+, (533) | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
h{10,3} t0(5,3,3) | r{3,10}1/2 t0,1(5,3,3) | h{10,3} t1(5,3,3) | h2{10,3} t1,2(5,3,3) | {3,10}1/2 t2(5,3,3) | h2{10,3} t0,2(5,3,3) | t{3,10}1/2 t0,1,2(5,3,3) | s{3,10}1/2 ht0,1,2(5,3,3) | ||||
Uniform duals | |||||||||||
![]() | ![]() | ||||||||||
V(3.5)3 | V3.10.3.10 | V(3.5)3 | V3.6.5.6 | V(3.3)5 | V3.6.5.6 | V6.6.10 | V3.3.3.3.3.5 |
(5 4 3)
The (5 4 3) triangle group, Coxeter group [(5,4,3)], orbifold (*543) contains these uniform tilings.
(5,4,3) uniform tilings | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(5,4,3)], (*543) | [(5,4,3)]+, (543) | ||||||||||
![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
t0(5,4,3) (5,4,3) | t0,1(5,4,3) r(3,5,4) | t1(5,4,3) (4,3,5) | t1,2(5,4,3) r(5,4,3) | t2(5,4,3) (3,5,4) | t0,2(5,4,3) r(4,3,5) | t0,1,2(5,4,3) t(5,4,3) | s(5,4,3) | ||||
Uniform duals | |||||||||||
![]() | |||||||||||
V(3.5)4 | V3.10.4.10 | V(4.5)3 | V3.8.5.8 | V(3.4)5 | V4.6.5.6 | V6.8.10 | V3.5.3.4.3.3 |
(5 4 4)
The (5 4 4) triangle group, Coxeter group [(5,4,4)], orbifold (*544) contains these uniform tilings.
Uniform (5,4,4) tilings | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(5,4,4)] (*544) | [(5,4,4)]+ (544) | [(5+,4,4)] (5*22) | [(5,4,1+,4)] (*5222) | ||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
t0(5,4,4) h{10,4} | t0,1(5,4,4) r{4,10}1/2 | t1(5,4,4) h{10,4} | t1,2(5,4,4) h2{10,4} | t2(5,4,4) {4,10}1/2 | t0,2(5,4,4) h2{10,4} | t0,1,2(5,4,4) t{4,10}1/2 | s(4,5,4) s{4,10}1/2 | h(4,5,4) h{4,10}1/2 | hr(4,5,4) hr{4,10}1/2 | ||
Uniform duals | |||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | |||||||||
V(4.5)4 | V4.10.4.10 | V(4.5)4 | V4.8.5.8 | V(4.4)5 | V4.8.5.8 | V8.8.10 | V3.4.3.4.3.5 | V1010 | V(4.4.5)2 |
(6 3 3)
The (6 3 3) triangle group, Coxeter group [(6,3,3)], orbifold (*633) contains these uniform tilings.
Uniform (6,3,3) tilings | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(6,3,3)], (*633) | [(6,3,3)]+, (633) | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
t0{(6,3,3)} h{12,3} | t0,1{(6,3,3)} r{3,12}1/2 | t1{(6,3,3)} h{12,3} | t1,2{(6,3,3)} h2{12,3} | t2{(6,3,3)} {3,12}1/2 | t0,2{(6,3,3)} h2{12,3} | t0,1,2{(6,3,3)} t{3,12}1/2 | s{(6,3,3)} s{3,12}1/2 | ||||
Uniform duals | |||||||||||
![]() | ![]() | ||||||||||
V(3.6)3 | V3.12.3.12 | V(3.6)3 | V3.6.6.6 | V(3.3)6 {12,3} | V3.6.6.6 | V6.6.12 | V3.3.3.3.3.6 |
(6 4 3)
The (6 4 3) triangle group, Coxeter group [(6,4,3)], orbifold (*643) contains these uniform tilings.
(6,4,3) uniform tilings | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(6,4,3)] (*643) | [(6,4,3)]+ (643) | [(6,1+,4,3)] (*3332) | [(6,4,3+)] (3*32) | ||||||
![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
t0{(6,4,3)} | t0,1{(6,4,3)} | t1{(6,4,3)} | t1,2{(6,4,3)} | t2{(6,4,3)} | t0,2{(6,4,3)} | t0,1,2{(6,4,3)} | s{(6,4,3)} | h{(6,4,3)} | hr{(6,4,3)} |
Uniform duals | |||||||||
![]() | ![]() | ![]() | |||||||
V(3.6)4 | V3.12.4.12 | V(4.6)3 | V3.8.6.8 | V(3.4)6 | V4.6.6.6 | V6.8.12 | V3.6.3.4.3.3 | V(3.6.6)3 | V4.(3.4)3 |
(6 4 4)
The (6 4 4) triangle group, Coxeter group [(6,4,4)], orbifold (*644) contains these uniform tilings.
6-4-4 uniform tilings | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(6,4,4)], (*644) | (644) | ||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
(6,4,4) h{12,4} | t0,1(6,4,4) r{4,12}1/2 | t1(6,4,4) h{12,4} | t1,2(6,4,4) h2{12,4} | t2(6,4,4) {4,12}1/2 | t0,2(6,4,4) h2{12,4} | t0,1,2(6,4,4) t{4,12}1/2 | s(6,4,4) s{4,12}1/2 |
Uniform duals | |||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
V(4.6)4 | V(4.12)2 | V(4.6)4 | V4.8.6.8 | V412 | V4.8.6.8 | V8.8.12 | V4.6.4.6.6.6 |
Summary of tilings with finite triangular fundamental domains
For a table of all uniform hyperbolic tilings with fundamental domains (p q r), where 2 ≤ p,q,r ≤ 8.
- See Template:Finite triangular hyperbolic tilings table
Quadrilateral domains
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Square_kaleidoscope_generators.png/320px-Square_kaleidoscope_generators.png)
(3 2 2 2)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/9/96/Example_3222_hyperbolic_uniform_tilings_kaleidoscopes.png/220px-Example_3222_hyperbolic_uniform_tilings_kaleidoscopes.png)
Quadrilateral fundamental domains also exist in the hyperbolic plane, with the *3222 orbifold ([∞,3,∞] Coxeter notation) as the smallest family. There are 9 generation locations for uniform tiling within quadrilateral domains. The vertex figure can be extracted from a fundamental domain as 3 cases (1) Corner (2) Mid-edge, and (3) Center. When generating points are corners adjacent to order-2 corners, degenerate {2} digon faces at those corners exist but can be ignored. Snub and alternated uniform tilings can also be generated (not shown) if a vertex figure contains only even-sided faces.
Coxeter diagrams of quadrilateral domains are treated as a degenerate tetrahedron graph with 2 of 6 edges labeled as infinity, or as dotted lines. A logical requirement of at least one of two parallel mirrors being active limits the uniform cases to 9, and other ringed patterns are not valid.
Uniform tilings in symmetry *3222 | ||||
---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
(3 2 3 2)
Similar H2 tilings in *3232 symmetry | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Coxeterdiagrams | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | |||||
Vertexfigure | 66 | (3.4.3.4)2 | 3.4.6.6.4 | 6.4.6.4 | ||||
Image | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
Dual | ![]() | ![]() |
Ideal triangle domains
There are infinitely many triangle group families including infinite orders. This article shows uniform tilings in 9 families: (∞ 3 2), (∞ 4 2), (∞ ∞ 2), (∞ 3 3), (∞ 4 3), (∞ 4 4), (∞ ∞ 3), (∞ ∞ 4), and (∞ ∞ ∞).
(∞ 3 2)
The ideal (∞ 3 2) triangle group, Coxeter group [∞,3], orbifold (*∞32) contains these uniform tilings:
Paracompact uniform tilings in [∞,3] family | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [∞,3], (*∞32) | [∞,3]+ (∞32) | [1+,∞,3] (*∞33) | [∞,3+] (3*∞) | |||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
{∞,3} | t{∞,3} | r{∞,3} | t{3,∞} | {3,∞} | rr{∞,3} | tr{∞,3} | sr{∞,3} | h{∞,3} | h2{∞,3} | s{3,∞} |
Uniform duals | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
V∞3 | V3.∞.∞ | V(3.∞)2 | V6.6.∞ | V3∞ | V4.3.4.∞ | V4.6.∞ | V3.3.3.3.∞ | V(3.∞)3 | V3.3.3.3.3.∞ |
(∞ 4 2)
The ideal (∞ 4 2) triangle group, Coxeter group [∞,4], orbifold (*∞42) contains these uniform tilings:
Paracompact uniform tilings in [∞,4] family | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
{∞,4} | t{∞,4} | r{∞,4} | 2t{∞,4}=t{4,∞} | 2r{∞,4}={4,∞} | rr{∞,4} | tr{∞,4} | |
Dual figures | |||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
V∞4 | V4.∞.∞ | V(4.∞)2 | V8.8.∞ | V4∞ | V43.∞ | V4.8.∞ | |
Alternations | |||||||
[1+,∞,4] (*44∞) | [∞+,4] (∞*2) | [∞,1+,4] (*2∞2∞) | [∞,4+] (4*∞) | [∞,4,1+] (*∞∞2) | [(∞,4,2+)] (2*2∞) | [∞,4]+ (∞42) | |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
h{∞,4} | s{∞,4} | hr{∞,4} | s{4,∞} | h{4,∞} | hrr{∞,4} | s{∞,4} | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
Alternation duals | |||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() | ![]() | ||||||
V(∞.4)4 | V3.(3.∞)2 | V(4.∞.4)2 | V3.∞.(3.4)2 | V∞∞ | V∞.44 | V3.3.4.3.∞ |
(∞ 5 2)
The ideal (∞ 5 2) triangle group, Coxeter group [∞,5], orbifold (*∞52) contains these uniform tilings:
Paracompact uniform apeirogonal/pentagonal tilings | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [∞,5], (*∞52) | [∞,5]+ (∞52) | [1+,∞,5] (*∞55) | [∞,5+] (5*∞) | ||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
{∞,5} | t{∞,5} | r{∞,5} | 2t{∞,5}=t{5,∞} | 2r{∞,5}={5,∞} | rr{∞,5} | tr{∞,5} | sr{∞,5} | h{∞,5} | h2{∞,5} | s{5,∞} | |
Uniform duals | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||||
V∞5 | V5.∞.∞ | V5.∞.5.∞ | V∞.10.10 | V5∞ | V4.5.4.∞ | V4.10.∞ | V3.3.5.3.∞ | V(∞.5)5 | V3.5.3.5.3.∞ |
(∞ ∞ 2)
The ideal (∞ ∞ 2) triangle group, Coxeter group [∞,∞], orbifold (*∞∞2) contains these uniform tilings:
Paracompact uniform tilings in [∞,∞] family | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
{∞,∞} | t{∞,∞} | r{∞,∞} | 2t{∞,∞}=t{∞,∞} | 2r{∞,∞}={∞,∞} | rr{∞,∞} | tr{∞,∞} |
Dual tilings | ||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
V∞∞ | V∞.∞.∞ | V(∞.∞)2 | V∞.∞.∞ | V∞∞ | V4.∞.4.∞ | V4.4.∞ |
Alternations | ||||||
[1+,∞,∞] (*∞∞2) | [∞+,∞] (∞*∞) | [∞,1+,∞] (*∞∞∞∞) | [∞,∞+] (∞*∞) | [∞,∞,1+] (*∞∞2) | [(∞,∞,2+)] (2*∞∞) | [∞,∞]+ (2∞∞) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
h{∞,∞} | s{∞,∞} | hr{∞,∞} | s{∞,∞} | h2{∞,∞} | hrr{∞,∞} | sr{∞,∞} |
Alternation duals | ||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
V(∞.∞)∞ | V(3.∞)3 | V(∞.4)4 | V(3.∞)3 | V∞∞ | V(4.∞.4)2 | V3.3.∞.3.∞ |
(∞ 3 3)
The ideal (∞ 3 3) triangle group, Coxeter group [(∞,3,3)], orbifold (*∞33) contains these uniform tilings.
Paracompact hyperbolic uniform tilings in [(∞,3,3)] family | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(∞,3,3)], (*∞33) | [(∞,3,3)]+, (∞33) | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
(∞,∞,3) | t0,1(∞,3,3) | t1(∞,3,3) | t1,2(∞,3,3) | t2(∞,3,3) | t0,2(∞,3,3) | t0,1,2(∞,3,3) | s(∞,3,3) | ||||
Dual tilings | |||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ||||||||||
V(3.∞)3 | V3.∞.3.∞ | V(3.∞)3 | V3.6.∞.6 | V(3.3)∞ | V3.6.∞.6 | V6.6.∞ | V3.3.3.3.3.∞ |
(∞ 4 3)
The ideal (∞ 4 3) triangle group, Coxeter group [(∞,4,3)], orbifold (*∞43) contains these uniform tilings:
Paracompact hyperbolic uniform tilings in [(∞,4,3)] family | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(∞,4,3)] (*∞43) | [(∞,4,3)]+ (∞43) | [(∞,4,3+)] (3*4∞) | [(∞,1+,4,3)] (*∞323) | ||||||||
![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
(∞,4,3) | t0,1(∞,4,3) | t1(∞,4,3) | t1,2(∞,4,3) | t2(∞,4,3) | t0,2(∞,4,3) | t0,1,2(∞,4,3) | s(∞,4,3) | ht0,2(∞,4,3) | ht1(∞,4,3) | ||
Dual tilings | |||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | |||||||||
V(3.∞)4 | V3.∞.4.∞ | V(4.∞)3 | V3.8.∞.8 | V(3.4)∞ | 4.6.∞.6 | V6.8.∞ | V3.3.3.4.3.∞ | V(4.3.4)2.∞ | V(6.∞.6)3 |
(∞ 4 4)
The ideal (∞ 4 4) triangle group, Coxeter group [(∞,4,4)], orbifold (*∞44) contains these uniform tilings.
Paracompact hyperbolic uniform tilings in [(4,4,∞)] family | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(4,4,∞)], (*44∞) | (44∞) | ||||||||||
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||
(4,4,∞) h{∞,4} | t0,1(4,4,∞) r{4,∞}1/2 | t1(4,4,∞) h{4,∞}1/2 | t1,2(4,4,∞) h2{∞,4} | t2(4,4,∞) {4,∞}1/2 | t0,2(4,4,∞) h2{∞,4} | t0,1,2(4,4,∞) t{4,∞}1/2 | s(4,4,∞) s{4,∞}1/2 | ||||
Dual tilings | |||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||
V(4.∞)4 | V4.∞.4.∞ | V(4.∞)4 | V4.∞.4.∞ | V4∞ | V4.∞.4.∞ | V8.8.∞ | V3.4.3.4.3.∞ |
(∞ ∞ 3)
The ideal (∞ ∞ 3) triangle group, Coxeter group [(∞,∞,3)], orbifold (*∞∞3) contains these uniform tilings.
Paracompact hyperbolic uniform tilings in [(∞,∞,3)] family | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(∞,∞,3)], (*∞∞3) | [(∞,∞,3)]+ (∞∞3) | [(∞,∞,3+)] (3*∞∞) | [(∞,1+,∞,3)] (*∞3∞3) | ||||||
![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
(∞,∞,3) h{6,∞} | t0,1(∞,∞,3) h2{6,∞} | t1(∞,∞,3) {∞,6}1/2 | t1,2(∞,∞,3) h2{6,∞} | t2(∞,∞,3) h{6,∞} | t0,2(∞,∞,3) r{∞,6}1/2 | t0,1,2(∞,∞,3) t{∞,6}1/2 | s(∞,∞,3) s{∞,6}1/2 | hr0,2(∞,∞,3) hr{∞,6}1/2 | hr1(∞,∞,3) h{∞,6}1/2 |
Dual tilings | |||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||||||
V(3.∞)∞ | V3.∞.∞.∞ | V(∞.∞)3 | V3.∞.∞.∞ | V(3.∞)∞ | V(6.∞)2 | V6.∞.∞ | V3.∞.3.∞.3.3 | V(3.4.∞.4)2 | V(∞.6)6 |
(∞ ∞ 4)
The ideal (∞ ∞ 4) triangle group, Coxeter group [(∞,∞,4)], orbifold (*∞∞4) contains these uniform tilings.
Paracompact hyperbolic uniform tilings in [(∞,∞,4)] family | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Symmetry: [(∞,∞,4)], (*∞∞4) | ||||||
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
(∞,∞,4) h{8,∞} | t0,1(∞,∞,4) h2{8,∞} | t1(∞,∞,4) {∞,8} | t1,2(∞,∞,4) h2{∞,8} | t2(∞,∞,4) h{8,∞} | t0,2(∞,∞,4) r{∞,8} | t0,1,2(∞,∞,4) t{∞,8} |
Dual tilings | ||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
V(4.∞)∞ | V∞.∞.∞.4 | V∞4 | V∞.∞.∞.4 | V(4.∞)∞ | V∞.∞.∞.4 | V∞.∞.8 |
Alternations | ||||||
[(1+,∞,∞,4)] (*2∞∞∞) | [(∞+,∞,4)] (∞*2∞) | [(∞,1+,∞,4)] (*2∞∞∞) | [(∞,∞+,4)] (∞*2∞) | [(∞,∞,1+,4)] (*2∞∞∞) | [(∞,∞,4+)] (2*∞∞) | [(∞,∞,4)]+ (4∞∞) |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
Alternation duals | ||||||
![]() | ![]() | ![]() | ||||
V∞∞ | V∞.44 | V(∞.4)4 | V∞.44 | V∞∞ | V∞.44 | V3.∞.3.∞.3.4 |
(∞ ∞ ∞)
The ideal (∞ ∞ ∞) triangle group, Coxeter group [(∞,∞,∞)], orbifold (*∞∞∞) contains these uniform tilings.
Paracompact uniform tilings in [(∞,∞,∞)] family | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
(∞,∞,∞) h{∞,∞} | r(∞,∞,∞) h2{∞,∞} | (∞,∞,∞) h{∞,∞} | r(∞,∞,∞) h2{∞,∞} | (∞,∞,∞) h{∞,∞} | r(∞,∞,∞) r{∞,∞} | t(∞,∞,∞) t{∞,∞} |
Dual tilings | ||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
V∞∞ | V∞.∞.∞.∞ | V∞∞ | V∞.∞.∞.∞ | V∞∞ | V∞.∞.∞.∞ | V∞.∞.∞ |
Alternations | ||||||
[(1+,∞,∞,∞)] (*∞∞∞∞) | [∞+,∞,∞)] (∞*∞) | [∞,1+,∞,∞)] (*∞∞∞∞) | [∞,∞+,∞)] (∞*∞) | [(∞,∞,∞,1+)] (*∞∞∞∞) | [(∞,∞,∞+)] (∞*∞) | [∞,∞,∞)]+ (∞∞∞) |
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Alternation duals | ||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
V(∞.∞)∞ | V(∞.4)4 | V(∞.∞)∞ | V(∞.4)4 | V(∞.∞)∞ | V(∞.4)4 | V3.∞.3.∞.3.∞ |
Summary of tilings with infinite triangular fundamental domains
For a table of all uniform hyperbolic tilings with fundamental domains (p q r), where 2 ≤ p,q,r ≤ 8, and one or more as ∞.
Infinite triangular hyperbolic tilings | |||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
(p q r) | t0 | h0 | t01 | h01 | t1 | h1 | t12 | h12 | t2 | h2 | t02 | h02 | t012 | s | |||||
![]() (∞ 3 2) | t0{∞,3}![]() ∞3 | h0{∞,3} (3.∞)3 | t01{∞,3}![]() ∞.3.∞ | t1{∞,3}![]() (3.∞)2 | t12{∞,3}![]() 6.∞.6 | h12{∞,3} 3.3.3.∞.3.3 | t2{∞,3}![]() 3∞ | t02{∞,3}![]() 3.4.∞.4 | t012{∞,3}![]() 4.6.∞ | s{∞,3} 3.3.3.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 4 2) | t0{∞,4}![]() ∞4 | h0{∞,4} (4.∞)4 | t01{∞,4}![]() ∞.4.∞ | h01{∞,4} 3.∞.3.3.∞ | t1{∞,4}![]() (4.∞)2 | h1{∞,4} (4.4.∞)2 | t12{∞,4}![]() 8.∞.8 | h12{∞,4} 3.4.3.∞.3.4 | t2{∞,4}![]() 4∞ | h2{∞,4} ∞∞ | t02{∞,4}![]() 4.4.∞.4 | h02{∞,4} 4.4.4.∞.4 | t012{∞,4}![]() 4.8.∞ | s{∞,4} 3.3.4.3.∞ | |||||
![]() (∞ 5 2) | t0{∞,5}![]() ∞5 | h0{∞,5} (5.∞)5 | t01{∞,5}![]() ∞.5.∞ | t1{∞,5}![]() (5.∞)2 | t12{∞,5}![]() 10.∞.10 | h12{∞,5} 3.5.3.∞.3.5 | t2{∞,5}![]() 5∞ | t02{∞,5}![]() 5.4.∞.4 | t012{∞,5}![]() 4.10.∞ | s{∞,5} 3.3.5.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 6 2) | t0{∞,6}![]() ∞6 | h0{∞,6} (6.∞)6 | t01{∞,6}![]() ∞.6.∞ | h01{∞,6} 3.∞.3.3.3.∞ | t1{∞,6}![]() (6.∞)2 | h1{∞,6} (4.3.4.∞)2 | t12{∞,6}![]() 12.∞.12 | h12{∞,6} 3.6.3.∞.3.6 | t2{∞,6}![]() 6∞ | h2{∞,6} (∞.3)∞ | t02{∞,6}![]() 6.4.∞.4 | h02{∞,6} 4.3.4.4.∞.4 | t012{∞,6}![]() 4.12.∞ | s{∞,6} 3.3.6.3.∞ | |||||
![]() (∞ 7 2) | t0{∞,7}![]() ∞7 | h0{∞,7} (7.∞)7 | t01{∞,7}![]() ∞.7.∞ | t1{∞,7}![]() (7.∞)2 | t12{∞,7}![]() 14.∞.14 | h12{∞,7} 3.7.3.∞.3.7 | t2{∞,7}![]() 7∞ | t02{∞,7}![]() 7.4.∞.4 | t012{∞,7}![]() 4.14.∞ | s{∞,7} 3.3.7.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 8 2) | t0{∞,8}![]() ∞8 | h0{∞,8} (8.∞)8 | t01{∞,8}![]() ∞.8.∞ | h01{∞,8} 3.∞.3.4.3.∞ | t1{∞,8}![]() (8.∞)2 | h1{∞,8} (4.4.4.∞)2 | t12{∞,8}![]() 16.∞.16 | h12{∞,8} 3.8.3.∞.3.8 | t2{∞,8}![]() 8∞ | h2{∞,8} (∞.4)∞ | t02{∞,8}![]() 8.4.∞.4 | h02{∞,8} 4.4.4.4.∞.4 | t012{∞,8}![]() 4.16.∞ | s{∞,8} 3.3.8.3.∞ | |||||
![]() (∞ ∞ 2) | t0{∞,∞}![]() ∞∞ | h0{∞,∞} (∞.∞)∞ | t01{∞,∞}![]() ∞.∞.∞ | h01{∞,∞} 3.∞.3.∞.3.∞ | t1{∞,∞}![]() ∞4 | h1{∞,∞} (4.∞)4 | t12{∞,∞}![]() ∞.∞.∞ | h12{∞,∞} 3.∞.3.∞.3.∞ | t2{∞,∞}![]() ∞∞ | h2{∞,∞} (∞.∞)∞ | t02{∞,∞}![]() (∞.4)2 | h02{∞,∞} (4.∞.4)2 | t012{∞,∞}![]() 4.∞.∞ | s{∞,∞} 3.3.∞.3.∞ | |||||
![]() (∞ 3 3) | t0(∞,3,3)![]() (∞.3)3 | t01(∞,3,3)![]() (3.∞)2 | t1(∞,3,3)![]() (3.∞)3 | t12(∞,3,3)![]() 3.6.∞.6 | t2(∞,3,3)![]() 3∞ | t02(∞,3,3)![]() 3.6.∞.6 | t012(∞,3,3)![]() 6.6.∞ | s(∞,3,3) 3.3.3.3.3.∞ | |||||||||||
![]() (∞ 4 3) | t0(∞,4,3)![]() (∞.3)4 | t01(∞,4,3)![]() 3.∞.4.∞ | t1(∞,4,3)![]() (4.∞)3 | h1(∞,4,3) (6.6.∞)3 | t12(∞,4,3)![]() 3.8.∞.8 | t2(∞,4,3)![]() (4.3)∞ | t02(∞,4,3)![]() 4.6.∞.6 | h02(∞,4,3) 4.4.3.4.∞.4.3 | t012(∞,4,3)![]() 6.8.∞ | s(∞,4,3) 3.3.3.4.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 5 3) | t0(∞,5,3)![]() (∞.3)5 | t01(∞,5,3)![]() 3.∞.5.∞ | t1(∞,5,3)![]() (5.∞)3 | t12(∞,5,3)![]() 3.10.∞.10 | t2(∞,5,3)![]() (5.3)∞ | t02(∞,5,3)![]() 5.6.∞.6 | t012(∞,5,3)![]() 6.10.∞ | s(∞,5,3) 3.3.3.5.3.∞ | |||||||||||
![]() (∞ 6 3) | t0(∞,6,3)![]() (∞.3)6 | t01(∞,6,3)![]() 3.∞.6.∞ | t1(∞,6,3)![]() (6.∞)3 | h1(∞,6,3) (6.3.6.∞)3 | t12(∞,6,3)![]() 3.12.∞.12 | t2(∞,6,3)![]() (6.3)∞ | t02(∞,6,3)![]() 6.6.∞.6 | h02(∞,6,3) 4.3.4.3.4.∞.4.3 | t012(∞,6,3)![]() 6.12.∞ | s(∞,6,3) 3.3.3.6.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 7 3) | t0(∞,7,3)![]() (∞.3)7 | t01(∞,7,3)![]() 3.∞.7.∞ | t1(∞,7,3)![]() (7.∞)3 | t12(∞,7,3)![]() 3.14.∞.14 | t2(∞,7,3)![]() (7.3)∞ | t02(∞,7,3)![]() 7.6.∞.6 | t012(∞,7,3)![]() 6.14.∞ | s(∞,7,3) 3.3.3.7.3.∞ | |||||||||||
![]() (∞ 8 3) | t0(∞,8,3)![]() (∞.3)8 | t01(∞,8,3)![]() 3.∞.8.∞ | t1(∞,8,3)![]() (8.∞)3 | h1(∞,8,3) (6.4.6.∞)3 | t12(∞,8,3)![]() 3.16.∞.16 | t2(∞,8,3)![]() (8.3)∞ | t02(∞,8,3)![]() 8.6.∞.6 | h02(∞,8,3) 4.4.4.3.4.∞.4.3 | t012(∞,8,3)![]() 6.16.∞ | s(∞,8,3) 3.3.3.8.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ ∞ 3) | t0(∞,∞,3)![]() (∞.3)∞ | t01(∞,∞,3)![]() 3.∞.∞.∞ | t1(∞,∞,3)![]() ∞6 | h1(∞,∞,3) (6.∞)6 | t12(∞,∞,3)![]() 3.∞.∞.∞ | t2(∞,∞,3)![]() (∞.3)∞ | t02(∞,∞,3)![]() (∞.6)2 | h02(∞,∞,3) (4.∞.4.3)2 | t012(∞,∞,3)![]() 6.∞.∞ | s(∞,∞,3) 3.3.3.∞.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 4 4) | t0(∞,4,4)![]() (∞.4)4 | h0(∞,4,4) (8.∞.8)4 | t01(∞,4,4)![]() (4.∞)2 | h01(∞,4,4) (4.4.∞)2 | t1(∞,4,4)![]() (4.∞)4 | h1(∞,4,4) (8.8.∞)4 | t12(∞,4,4)![]() 4.8.∞.8 | h12(∞,4,4) 4.4.4.4.∞.4.4 | t2(∞,4,4)![]() 4∞ | h2(∞,4,4) ∞∞ | t02(∞,4,4)![]() 4.8.∞.8 | h02(∞,4,4) 4.4.4.4.∞.4.4 | t012(∞,4,4)![]() 8.8.∞ | s(∞,4,4) 3.4.3.4.3.∞ | |||||
![]() (∞ 5 4) | t0(∞,5,4)![]() (∞.4)5 | h0(∞,5,4) (10.∞.10)5 | t01(∞,5,4)![]() 4.∞.5.∞ | t1(∞,5,4)![]() (5.∞)4 | t12(∞,5,4)![]() 4.10.∞.10 | h12(∞,5,4) 4.4.5.4.∞.4.5 | t2(∞,5,4)![]() (5.4)∞ | t02(∞,5,4)![]() 5.8.∞.8 | t012(∞,5,4)![]() 8.10.∞ | s(∞,5,4) 3.4.3.5.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 6 4) | t0(∞,6,4)![]() (∞.4)6 | h0(∞,6,4) (12.∞.12)6 | t01(∞,6,4)![]() 4.∞.6.∞ | h01(∞,6,4) 4.4.∞.4.3.4.∞ | t1(∞,6,4)![]() (6.∞)4 | h1(∞,6,4) (8.3.8.∞)4 | t12(∞,6,4)![]() 4.12.∞.12 | h12(∞,6,4) 4.4.6.4.∞.4.6 | t2(∞,6,4)![]() (6.4)∞ | h2(∞,6,4) (∞.3.∞)∞ | t02(∞,6,4)![]() 6.8.∞.8 | h02(∞,6,4) 4.3.4.4.4.∞.4.4 | t012(∞,6,4)![]() 8.12.∞ | s(∞,6,4) 3.4.3.6.3.∞ | |||||
![]() (∞ 7 4) | t0(∞,7,4)![]() (∞.4)7 | h0(∞,7,4) (14.∞.14)7 | t01(∞,7,4)![]() 4.∞.7.∞ | t1(∞,7,4)![]() (7.∞)4 | t12(∞,7,4)![]() 4.14.∞.14 | h12(∞,7,4) 4.4.7.4.∞.4.7 | t2(∞,7,4)![]() (7.4)∞ | t02(∞,7,4)![]() 7.8.∞.8 | t012(∞,7,4)![]() 8.14.∞ | s(∞,7,4) 3.4.3.7.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 8 4) | t0(∞,8,4)![]() (∞.4)8 | h0(∞,8,4) (16.∞.16)8 | t01(∞,8,4)![]() 4.∞.8.∞ | h01(∞,8,4) 4.4.∞.4.4.4.∞ | t1(∞,8,4)![]() (8.∞)4 | h1(∞,8,4) (8.4.8.∞)4 | t12(∞,8,4)![]() 4.16.∞.16 | h12(∞,8,4) 4.4.8.4.∞.4.8 | t2(∞,8,4)![]() (8.4)∞ | h2(∞,8,4) (∞.4.∞)∞ | t02(∞,8,4)![]() 8.8.∞.8 | h02(∞,8,4) 4.4.4.4.4.∞.4.4 | t012(∞,8,4)![]() 8.16.∞ | s(∞,8,4) 3.4.3.8.3.∞ | |||||
![]() (∞ ∞ 4) | t0(∞,∞,4)![]() (∞.4)∞ | h0(∞,∞,4) (∞.∞.∞)∞ | t01(∞,∞,4)![]() 4.∞.∞.∞ | h01(∞,∞,4) 4.4.∞.4.∞.4.∞ | t1(∞,∞,4)![]() ∞8 | h1(∞,∞,4) (8.∞)8 | t12(∞,∞,4)![]() 4.∞.∞.∞ | h12(∞,∞,4) 4.4.∞.4.∞.4.∞ | t2(∞,∞,4)![]() (∞.4)∞ | h2(∞,∞,4) (∞.∞.∞)∞ | t02(∞,∞,4)![]() (∞.8)2 | h02(∞,∞,4) (4.∞.4.4)2 | t012(∞,∞,4)![]() 8.∞.∞ | s(∞,∞,4) 3.4.3.∞.3.∞ | |||||
![]() (∞ 5 5) | t0(∞,5,5)![]() (∞.5)5 | t01(∞,5,5)![]() (5.∞)2 | t1(∞,5,5)![]() (5.∞)5 | t12(∞,5,5)![]() 5.10.∞.10 | t2(∞,5,5)![]() 5∞ | t02(∞,5,5)![]() 5.10.∞.10 | t012(∞,5,5)![]() 10.10.∞ | s(∞,5,5) 3.5.3.5.3.∞ | |||||||||||
![]() (∞ 6 5) | t0(∞,6,5)![]() (∞.5)6 | t01(∞,6,5)![]() 5.∞.6.∞ | t1(∞,6,5)![]() (6.∞)5 | h1(∞,6,5) (10.3.10.∞)5 | t12(∞,6,5)![]() 5.12.∞.12 | t2(∞,6,5)![]() (6.5)∞ | t02(∞,6,5)![]() 6.10.∞.10 | h02(∞,6,5) 4.3.4.5.4.∞.4.5 | t012(∞,6,5)![]() 10.12.∞ | s(∞,6,5) 3.5.3.6.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 7 5) | t0(∞,7,5)![]() (∞.5)7 | t01(∞,7,5)![]() 5.∞.7.∞ | t1(∞,7,5)![]() (7.∞)5 | t12(∞,7,5)![]() 5.14.∞.14 | t2(∞,7,5)![]() (7.5)∞ | t02(∞,7,5)![]() 7.10.∞.10 | t012(∞,7,5)![]() 10.14.∞ | s(∞,7,5) 3.5.3.7.3.∞ | |||||||||||
![]() (∞ 8 5) | t0(∞,8,5)![]() (∞.5)8 | t01(∞,8,5)![]() 5.∞.8.∞ | t1(∞,8,5)![]() (8.∞)5 | h1(∞,8,5) (10.4.10.∞)5 | t12(∞,8,5)![]() 5.16.∞.16 | t2(∞,8,5)![]() (8.5)∞ | t02(∞,8,5)![]() 8.10.∞.10 | h02(∞,8,5) 4.4.4.5.4.∞.4.5 | t012(∞,8,5)![]() 10.16.∞ | s(∞,8,5) 3.5.3.8.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ ∞ 5) | t0(∞,∞,5)![]() (∞.5)∞ | t01(∞,∞,5)![]() 5.∞.∞.∞ | t1(∞,∞,5)![]() ∞10 | h1(∞,∞,5) (10.∞)10 | t12(∞,∞,5)![]() 5.∞.∞.∞ | t2(∞,∞,5)![]() (∞.5)∞ | t02(∞,∞,5)![]() (∞.10)2 | h02(∞,∞,5) (4.∞.4.5)2 | t012(∞,∞,5)![]() 10.∞.∞ | s(∞,∞,5) 3.5.3.∞.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 6 6) | t0(∞,6,6)![]() (∞.6)6 | h0(∞,6,6) (12.∞.12.3)6 | t01(∞,6,6)![]() (6.∞)2 | h01(∞,6,6) (4.3.4.∞)2 | t1(∞,6,6)![]() (6.∞)6 | h1(∞,6,6) (12.3.12.∞)6 | t12(∞,6,6)![]() 6.12.∞.12 | h12(∞,6,6) 4.3.4.6.4.∞.4.6 | t2(∞,6,6)![]() 6∞ | h2(∞,6,6) (∞.3)∞ | t02(∞,6,6)![]() 6.12.∞.12 | h02(∞,6,6) 4.3.4.6.4.∞.4.6 | t012(∞,6,6)![]() 12.12.∞ | s(∞,6,6) 3.6.3.6.3.∞ | |||||
![]() (∞ 7 6) | t0(∞,7,6)![]() (∞.6)7 | h0(∞,7,6) (14.∞.14.3)7 | t01(∞,7,6)![]() 6.∞.7.∞ | t1(∞,7,6)![]() (7.∞)6 | t12(∞,7,6)![]() 6.14.∞.14 | h12(∞,7,6) 4.3.4.7.4.∞.4.7 | t2(∞,7,6)![]() (7.6)∞ | t02(∞,7,6)![]() 7.12.∞.12 | t012(∞,7,6)![]() 12.14.∞ | s(∞,7,6) 3.6.3.7.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 8 6) | t0(∞,8,6)![]() (∞.6)8 | h0(∞,8,6) (16.∞.16.3)8 | t01(∞,8,6)![]() 6.∞.8.∞ | h01(∞,8,6) 4.3.4.∞.4.4.4.∞ | t1(∞,8,6)![]() (8.∞)6 | h1(∞,8,6) (12.4.12.∞)6 | t12(∞,8,6)![]() 6.16.∞.16 | h12(∞,8,6) 4.3.4.8.4.∞.4.8 | t2(∞,8,6)![]() (8.6)∞ | h2(∞,8,6) (∞.4.∞.3)∞ | t02(∞,8,6)![]() 8.12.∞.12 | h02(∞,8,6) 4.4.4.6.4.∞.4.6 | t012(∞,8,6)![]() 12.16.∞ | s(∞,8,6) 3.6.3.8.3.∞ | |||||
![]() (∞ ∞ 6) | t0(∞,∞,6)![]() (∞.6)∞ | h0(∞,∞,6) (∞.∞.∞.3)∞ | t01(∞,∞,6)![]() 6.∞.∞.∞ | h01(∞,∞,6) 4.3.4.∞.4.∞.4.∞ | t1(∞,∞,6)![]() ∞12 | h1(∞,∞,6) (12.∞)12 | t12(∞,∞,6)![]() 6.∞.∞.∞ | h12(∞,∞,6) 4.3.4.∞.4.∞.4.∞ | t2(∞,∞,6)![]() (∞.6)∞ | h2(∞,∞,6) (∞.∞.∞.3)∞ | t02(∞,∞,6)![]() (∞.12)2 | h02(∞,∞,6) (4.∞.4.6)2 | t012(∞,∞,6)![]() 12.∞.∞ | s(∞,∞,6) 3.6.3.∞.3.∞ | |||||
![]() (∞ 7 7) | t0(∞,7,7)![]() (∞.7)7 | t01(∞,7,7)![]() (7.∞)2 | t1(∞,7,7)![]() (7.∞)7 | t12(∞,7,7)![]() 7.14.∞.14 | t2(∞,7,7)![]() 7∞ | t02(∞,7,7)![]() 7.14.∞.14 | t012(∞,7,7)![]() 14.14.∞ | s(∞,7,7) 3.7.3.7.3.∞ | |||||||||||
![]() (∞ 8 7) | t0(∞,8,7)![]() (∞.7)8 | t01(∞,8,7)![]() 7.∞.8.∞ | t1(∞,8,7)![]() (8.∞)7 | h1(∞,8,7) (14.4.14.∞)7 | t12(∞,8,7)![]() 7.16.∞.16 | t2(∞,8,7)![]() (8.7)∞ | t02(∞,8,7)![]() 8.14.∞.14 | h02(∞,8,7) 4.4.4.7.4.∞.4.7 | t012(∞,8,7)![]() 14.16.∞ | s(∞,8,7) 3.7.3.8.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ ∞ 7) | t0(∞,∞,7)![]() (∞.7)∞ | t01(∞,∞,7)![]() 7.∞.∞.∞ | t1(∞,∞,7)![]() ∞14 | h1(∞,∞,7) (14.∞)14 | t12(∞,∞,7)![]() 7.∞.∞.∞ | t2(∞,∞,7)![]() (∞.7)∞ | t02(∞,∞,7)![]() (∞.14)2 | h02(∞,∞,7) (4.∞.4.7)2 | t012(∞,∞,7)![]() 14.∞.∞ | s(∞,∞,7) 3.7.3.∞.3.∞ | |||||||||
![]() (∞ 8 8) | t0(∞,8,8)![]() (∞.8)8 | h0(∞,8,8) (16.∞.16.4)8 | t01(∞,8,8)![]() (8.∞)2 | h01(∞,8,8) (4.4.4.∞)2 | t1(∞,8,8)![]() (8.∞)8 | h1(∞,8,8) (16.4.16.∞)8 | t12(∞,8,8)![]() 8.16.∞.16 | h12(∞,8,8) 4.4.4.8.4.∞.4.8 | t2(∞,8,8)![]() 8∞ | h2(∞,8,8) (∞.4)∞ | t02(∞,8,8)![]() 8.16.∞.16 | h02(∞,8,8) 4.4.4.8.4.∞.4.8 | t012(∞,8,8)![]() 16.16.∞ | s(∞,8,8) 3.8.3.8.3.∞ | |||||
![]() (∞ ∞ 8) | t0(∞,∞,8)![]() (∞.8)∞ | h0(∞,∞,8) (∞.∞.∞.4)∞ | t01(∞,∞,8)![]() 8.∞.∞.∞ | h01(∞,∞,8) 4.4.4.∞.4.∞.4.∞ | t1(∞,∞,8)![]() ∞16 | h1(∞,∞,8) (16.∞)16 | t12(∞,∞,8)![]() 8.∞.∞.∞ | h12(∞,∞,8) 4.4.4.∞.4.∞.4.∞ | t2(∞,∞,8)![]() (∞.8)∞ | h2(∞,∞,8) (∞.∞.∞.4)∞ | t02(∞,∞,8)![]() (∞.16)2 | h02(∞,∞,8) (4.∞.4.8)2 | t012(∞,∞,8)![]() 16.∞.∞ | s(∞,∞,8) 3.8.3.∞.3.∞ | |||||
![]() (∞ ∞ ∞) | t0(∞,∞,∞)![]() ∞∞ | h0(∞,∞,∞) (∞.∞)∞ | t01(∞,∞,∞)![]() (∞.∞)2 | h01(∞,∞,∞) (4.∞.4.∞)2 | t1(∞,∞,∞)![]() ∞∞ | h1(∞,∞,∞) (∞.∞)∞ | t12(∞,∞,∞)![]() (∞.∞)2 | h12(∞,∞,∞) (4.∞.4.∞)2 | t2(∞,∞,∞)![]() ∞∞ | h2(∞,∞,∞) (∞.∞)∞ | t02(∞,∞,∞)![]() (∞.∞)2 | h02(∞,∞,∞) (4.∞.4.∞)2 | t012(∞,∞,∞)![]() ∞3 | s(∞,∞,∞) (3.∞)3 |
References
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
External links
![]() |
- Hatch, Don. "Hyperbolic Planar Tessellations". Retrieved 2010-08-19.
- Eppstein, David. "The Geometry Junkyard: Hyperbolic Tiling". Retrieved 2010-08-19.
- Joyce, David. "Hyperbolic Tessellations". Retrieved 2010-08-19.
- Klitzing, Richard. "2D Tesselations Hyperbolic Tesselations".
- The EPINET project explores 2D hyperbolic (H²) tilings