| Набор правильных n -угольных диэдров | |
|---|---|
 Пример шестиугольного диэдра на сфере | |
| Тип | Правильный многогранник или сферическая мозаика |
| Лица | 2 н -угольника |
| Края | п |
| Вершины | п |
| Конфигурация вершины | п . п |
| Символ Wythoff | 2 | п 2 |
| Символ Шлефли | { n , 2} |
| Диаграмма Кокстера |     |
| Группа симметрии | D n h , [2, n ], (* 22 n ), порядок 4 n |
| Группа вращения | D n , [2, n ] + , (22 n ), порядок 2 n |
| Двойной многогранник | n -угольный осоэдр |
Двугранный угол представляет собой тип многогранника , выполненный из двух граней многоугольника , которые разделяют один и тот же набор ребер. В трехмерном евклидовом пространстве он вырожден, если его грани плоские, тогда как в трехмерном сферическом пространстве диэдр с плоскими гранями можно рассматривать как линзу, примером которой является фундаментальная область линзового пространства L ( р , д ). [1] Dihedra также называют биэдров , [2] плоские многогранники , [3] или дважды покрытые многоугольники . [3]
Регулярно двугранный угол является двугранный угол , образованный двумя правильными многоугольниками , которые могут быть описаны с помощью символа Шлефли { п , 2}. [4] Как сферический многогранник, каждый многоугольник такого диэдра заполняет полусферу с правильным n -угольником на экваторе большого круга между ними.
Двойной из п -gonal диэдра является п -gonal осоэдр , где п Digon лица имеют две вершины.
Как многогранник [ править ]
Двугранный угол можно рассматривать как вырожденную призму , состоящую из двух (планарных) п односторонних многоугольники , соединенные «спина к спине», так что результирующий объект не имеет глубины. Многоугольники должны быть конгруэнтными, но склеенными таким образом, чтобы один был зеркальным отображением другого.
Дигедры могут возникать из теоремы единственности Александрова , которая характеризует расстояния на поверхности любого выпуклого многогранника как локально евклидовы, за исключением конечного числа точек с положительным угловым дефектом, в сумме равным 4 π . Эта характеризация верна и для расстояний на поверхности диэдра, поэтому утверждение теоремы Александрова требует, чтобы диэдры считались выпуклыми многогранниками. [5]
Некоторые диэдры могут возникать как нижние предельные члены других семейств многогранников: призма, образованная двуугольником, приведет к квадратному двуграннику, а пирамида, образованная двуугольником, будет треугольным двугранником.
Как мозаика на сфере [ править ]
Как сферическая мозаика , диэдр может существовать как невырожденная форма с двумя n- сторонними гранями, покрывающими сферу, каждая грань является полусферой , и вершинами вокруг большого круга . (Это нормально, если вершины расположены на одинаковом расстоянии.)
Правильный многогранник {2,2} самодвойственен и является одновременно осоэдром и диэдром .
| Изображение | ||||||
| Schläfli | {1,2} | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2} ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Coxeter |  | |  |  |  |  |
| Лица | 2 {1} | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} |
| Ребра и вершины | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Апейрогональный диэдр [ править ]
В пределе диэдр становится апейрогональным диэдром в виде двумерной мозаики:
Дитопы [ править ]
Правильная дитопа - это n- мерный аналог диэдра с символом Шлефли { p , ... q , r , 2}. Он имеет две грани , { p , ... q , r }, которые имеют общие ребра , { p , ... q }. [6]
См. Также [ править ]
- Многогранник
- Многогранник
Ссылки [ править ]
- ^ Гаусманн, Эвелиза; Роланд Лехук; Жан-Пьер Люмине; Жан-Филипп Узан; Джеффри Уикс (2001). «Топологическое линзирование в сферических пространствах». Классическая и квантовая гравитация . 18 (23): 5155–5186. arXiv : gr-qc / 0106033 . Bibcode : 2001CQGra..18.5155G . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 18/23/311 . S2CID 34259877 .
- ^ Кантор, С. (2003), "Об объеме неограниченных многогранников в гиперболическом пространстве" (PDF) , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (1): 145–154, MR 1990989 .
- ^ a b О'Рурк, Джозеф (2010), Плоские разворачивающиеся пары на молнии для Платоновых тел , arXiv : 1010.2450 , Bibcode : 2010arXiv1010.2450O
- ↑ Coxeter, HSM (январь 1973), Regular Polytopes (3-е изд.), Dover Publications Inc., стр. 12 , ISBN 0-486-61480-8
- ^ О'Рурк, Джозеф (2010), О плоских многогранниках, вытекающих из теоремы Александрова , arXiv : 1007.2016 , Bibcode : 2010arXiv1007.2016O
- ^ Макмаллен, Питер ; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.), Cambridge University Press , стр. 158 , ISBN 0-521-81496-0
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Дигедрон» . MathWorld .
