Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено с обычного тайлинга )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Примеры периодических мозаик
1-униформа n1.svg
У правильного тайлинга есть одна правильная грань.		1-униформа n2.svg
Полурегулярно или равномерное разбиение имеет один тип вершины , а два или более типов граней.
2-униформа n1.svg
У k -однородного замощения есть k типов вершин и два или более типов правильных граней.		Искаженный усеченный квадрат tiling.svg
Не сквозная мозаика может иметь обычные грани разного размера.

Евклидовы плоские мозаики выпуклыми правильными многоугольниками широко использовались с древних времен. Первым систематическим математическим трактованием был Кеплер в его « Harmonices Mundi» ( лат . «Гармония мира» , 1619).

Обычные мозаики [ править ]

Следуя Грюнбауму и Шепарду (раздел 1.3), мозаика называется регулярной, если группа симметрии мозаики действует транзитивно на флаги мозаики, где флаг - это тройка, состоящая из взаимно инцидентной вершины , ребра и плитки мозаики. черепица. Это означает, что для каждой пары флагов существует операция симметрии, сопоставляющая первый флаг со вторым. Это эквивалентно тому , кровлю , являющейся от края до края плитки по конгруэнтных правильных многоугольников. Должно быть шесть равносторонних треугольников , четыре квадрата или три правильных шестиугольника.в вершине, что дает три правильных мозаики .

Правильные мозаики (3)
п6м, * 632p4m, * 442
1-униформа n11.svg1-униформа n1.svg1-униформа n5.svg
Тип вершины 3-3-3-3-3-3.svg
3 6
(t = 1, e = 1)		Тип вершины 6-6-6.svg
6 3
(t = 1, e = 1)		Тип вершины 4-4-4-4.svg
4 4
(t = 1, e = 1)

Архимедовы, равномерные или полуправильные мозаики [ править ]

Дополнительная информация: Список выпуклых однородных мозаик.

Вершинная транзитивность означает, что для каждой пары вершин существует операция симметрии, отображающая первую вершину во вторую. [1]

Если требование транзитивности флага ослаблено до транзитивности по вершинам, в то время как условие, что мозаика является сквозной, сохраняется, есть восемь дополнительных возможных мозаик , известных как архимедовы , равномерные или полуправильные мозаики . Обратите внимание на то, что существует две формы зеркального отображения (энантиоморфная или хиральная ) мозаики 3 4 .6 (плоско-гексагональной), только одна из которых показана в следующей таблице. Все остальные регулярные и полуправильные мозаики ахиральны.

Равномерные мозаики (8)
п6м, * 632



3,12 2
(t = 2, e = 2)
t {6,3}


3.4.6.4
(t = 3, e = 2)
rr {3,6}


4.6.12
(t = 3, e = 3)
tr {3,6}


(3.6) 2
(t = 2, e = 1)
r {6,3}



4,8 2
(t = 2, e = 2)
t {4,4}


3 2 .4.3.4
(t = 2, e = 2)
s {4,4}


3 3 .4 2
(t = 2, e = 3)
{3,6}: e


3 4 .6
(t = 3, e = 3)
ср {3,6}

Грюнбаум и Шепард различают описание этих мозаик как архимедово как относящееся только к тому, что локальное свойство расположения плиток вокруг каждой вершины одинаково, и как единообразное, как относящееся к глобальному свойству транзитивности вершин. Хотя они дают один и тот же набор мозаик на плоскости, в других пространствах есть архимедовы мозаики, которые не являются однородными.

k -однородные мозаики [ править ]

3-х однородная черепица №57 из 61 цветного

по сторонам, желтые треугольники, красные квадраты (по многоугольникам)
по 4-равногранным позициям, 3 закрашенным цветом треугольников (по орбитам)

Такие периодические мозаики можно классифицировать по количеству орбит вершин, ребер и плиток. Если существует k орбит вершин, мозаика называется k- равномерной или k -изогональной; если есть t орбит плиток, как t -изоэдральные; если есть е орбиты ребер, как е -изотоксал.

k -однородные мозаики с одинаковыми фигурами вершин можно идентифицировать по симметрии их группы обоев .

1-однородные мозаики включают 3 правильных мозаики и 8 полурегулярных мозаик с двумя или более типами правильных многоугольников. Есть 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородных мозаики, 151 4-однородные мозаики, 332 5-однородных мозаики и 673 6-однородных мозаик. Каждую из них можно сгруппировать по количеству m различных вершинных фигур, которые также называют m -архимедовыми мозаиками. [2]

Наконец, если количество типов вершин такое же, как и равномерность ( m = k ниже), то мозаика называется Krotenheerdt . В общем, однородность больше или равна количеству типов вершин ( m ≥ k ), поскольку разные типы вершин обязательно имеют разные орбиты, но не наоборот. Положив m = n = k , имеется 11 таких мозаик для n = 1; 20 таких мозаик при n = 2; 39 таких мозаик при n = 3; 33 таких мозаики при n = 4; 15 таких мозаик при n = 5; 10 таких мозаик дляn = 6; и 7 таких мозаик при n = 7.

k -однородный, m -архимедов счет тайлинга [3]
м -архимедовый
1234567891011121314≥ 15Общее
k -униформа1110000000000000011
2020000000000000020
30223900000000000061
4033853300000000000151
507414994150000000000332
601002841879210000000000673
70?????700000000?
80?????2000000000?
90??????80000000?
100??????270000000?
110???????1000000?
120????????000000?
130???????????000?
140????????????00?
≥ 150?????????????0?
Общее11∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞0∞

Разрезанные правильные многоугольники [ править ]

Некоторые из k -однородных мозаик могут быть получены путем симметричного разделения многоугольников мозаики с внутренними ребрами, например (прямое разрезание):

Разрезанные полигоны с исходными краями
ШестиугольникДодекагон
(каждый имеет 2 ориентации)

Некоторые k-однородные мозаики можно получить, рассекая правильные многоугольники с новыми вершинами вдоль исходных ребер, например (непрямое рассечение):

Рассечен с 1 или 2 средними вершинами
ТреугольникКвадратныйШестиугольник

Наконец, чтобы увидеть все типы конфигураций вершин, см. Planigon .

2-однородные мозаики [ править ]

Есть двадцать (20) 2-однородных мозаик евклидовой плоскости. (называемый также 2- изогональных тайлинги или demiregular тайлинги ) [4] [5] [6] Типы Vertex перечислены для каждого из них. Если две мозаики имеют одинаковые два типа вершин, им присваиваются индексы 1,2.

2-однородные мозаики (20)
п6м, * 632p4m, * 442

[3 6 ; 3 2 .4.3.4]
(t = 3, e = 3)
[3.4.6.4; 3 2 .4.3.4]
(t = 4, e = 4)
[3.4.6.4; 3 3 .4 2 ]
(t = 4, e = 4)
[3.4.6.4; 3.4 2 .6]
(t = 5, e = 5)
[4.6.12; 3.4.6.4]
(t = 4, e = 4)
[3 6 ; 3 2 .4.12]
(t = 4, e = 4)
[3.12.12; 3.4.3.12]
(t = 3, e = 3)
п6м, * 632п6, 632п6, 632см, 2 * 22пмм, * 2222см, 2 * 22пмм, * 2222

[3 6 ; 3 2 .6 2 ]
(t = 2, e = 3)
[3 6 ; 3 4 0,6] 1
(т = 3, е = 3)
[3 6 ; 3 4 0,6] 2
(т = 5, е = 7)
[3 2 .6 2 ; 3 4 .6]
(t = 2, e = 4)
[3.6.3.6; 3 2 .6 2 ]
(t = 2, e = 3)
[3,4 2 .6; 3.6.3.6] 2
(t = 3, e = 4)
[3,4 2 .6; 3.6.3.6] 1
(t = 4, e = 4)
p4g, 4 * 2пгг, 22 ×см, 2 * 22см, 2 * 22пмм, * 2222см, 2 * 22

[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1
(t = 4, e = 5)
[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2
(t = 3, e = 6)
[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1
(t = 2, e = 4)
[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2
(t = 3, e = 5)
[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1
(t = 3, e = 4)
[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2
(t = 4, e = 5)

Высшие k-однородные мозаики [ править ]

k -однородные мозаики пронумерованы до 6. Существует 673 6-однородных мозаик евклидовой плоскости. Поиск Брайана Галебаха воспроизвел список Кротенхердта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными типами вершин, а также обнаружил 92 из них с 5 типами вершин, 187 из них с 4 типами вершин, 284 из них с 3 типами вершин и 100 с 2 типами вершин. типы вершин.

Фрактализация k-однородных мозаик [ править ]

Есть много способов генерировать новые k-однородные мозаики из старых k-однородных мозаик. Например, обратите внимание, что 2-uniform [3.12.12; 3.4.3.12] тайлинг имеет квадратную решетку, 4 (3-1) -однородную [343.12; (3.12 2 ) 3] мозаика имеет курносую квадратную решетку и 5 (3-1-1) -однородную [334.12; 343,12; (3.12.12) 3] тайлинг имеет вытянутую треугольную решетку. Эти равномерные мозаики более высокого порядка используют ту же решетку, но обладают большей сложностью. Фрактальная основа для этих мозаик следующая: [7]

ТреугольникКвадратныйШестиугольникРассеченный
Додекагон
Форма
Фрактализация

Длина сторон увеличена в раз .

Это можно сделать аналогично с усеченным трехгексагональным замощением в качестве основы с соответствующим растяжением .

ТреугольникКвадратныйШестиугольникРассеченный
Додекагон
Форма
Фрактализация

Примеры фрактализации [ править ]

Усеченная шестиугольная мозаикаУсеченная трехгранная черепица
Фрактализация

Плитки без стыковки [ править ]

Выпуклые правильные многоугольники также могут образовывать плоские мозаики, которые не стыкуются между собой. Такие мозаики можно рассматривать как нерегулярные многоугольники со смежными коллинеарными ребрами.

Существует семь семейств изогональных, каждое из которых имеет параметр с действительным знаком, определяющий перекрытие между сторонами соседних плиток или соотношение между длинами краев разных плиток. Два семейства формируются из сдвинутого квадрата, прогрессивного или зигзагообразного положения. Грюнбаум и Шепард называют эти мозаики однородными, хотя это противоречит определению однородности Кокстера, которое требует от края до края правильных многоугольников. [8] Такие изогональные мозаики на самом деле топологически идентичны однородным мозаикам с разными геометрическими пропорциями.

Периодические изогональные замощения выпуклыми правильными многоугольниками без ребра
1234567

Ряды квадратов со смещениями по горизонтали
Ряды треугольников со смещениями по горизонтали
Плитка по квадратам
Три шестиугольника окружают каждый треугольник.
Каждый шестиугольник окружен шестью треугольниками.
Треугольники трех размеров
см (2 * 22)p2 (2222)см (2 * 22)p4m (* 442)p6 (632)п3 (333)
Шестиугольная черепицаКвадратная плиткаУсеченная квадратная мозаикаУсеченная шестиугольная мозаикаШестиугольная черепицаТрехгранная черепица

См. Также [ править ]

  • Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
  • Список однородных мозаик
  • Символ Wythoff
  • Мозаика
  • Группа обоев
  • Правильный многогранник ( Платоновы тела )
  • Полуправильный многогранник (включая архимедовы тела )
  • Гиперболическая геометрия
  • Плитка Пенроуза
  • Плитка прямоугольниками
  • Решетка (группа)

Ссылки [ править ]

  1. ^ Critchlow, p.60-61
  2. ^ k-равномерные мозаики правильными многоугольниками. Архивировано 30 июня 2015 г. на Wayback Machine Нильс Леннгрен, 2009 г.
  3. ^ "n-однородные мозаики" . вероятностьsports.com . Проверено 21 июня 2019 .
  4. ^ Critchlow, p.62-67
  5. ^ Замощения и шаблоны, Грюнбаум и Шеппард 1986, стр. 65-67
  6. ^ «В поисках Demiregular Tilings» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 07 мая 2016 года . Проверено 4 июня 2015 .
  7. ^ Chavey, Darrah (2014). "ПЛИТКИ ПО ОБЫЧНЫМ ПОЛИГОНАМ III: ДОДЕКАГОН-ПЛОТНЫЕ ПЛИТКИ". Симметрия-культура и наука . 25 (3): 193–210. S2CID 33928615 . 
  8. ^ Замощения правильными многоугольниками стр.236
  • Грюнбаум, Бранко; Шепард, Джеффри К. (1977). «Замощения правильными многоугольниками». Математика. Mag . 50 (5): 227–247. DOI : 10.2307 / 2689529 . JSTOR  2689529 .
  • Грюнбаум, Бранко; Шепард, GC (1978). «Девяносто один тип изогональных мозаик на плоскости» . Пер. Являюсь. Математика. Soc . 252 : 335–353. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1978-0496813-3 . Руководство по ремонту  0496813 .
  • Debroey, I .; Ландуйт, Ф. (1981). «Равнопереходные мозаики от края к краю». Geometriae Dedicata . 11 (1): 47–60. DOI : 10.1007 / BF00183189 . S2CID  122636363 .
  • Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.
  • Рен, Дин; Рей, Джон Р. (1987). «Граничная характеристика и теорема Пика в архимедовых плоских мозаиках» . J. Combinat. ТЕОРИЯ . 44 (1): 110–119. DOI : 10.1016 / 0097-3165 (87) 90063-X .
  • Чави, Д. (1989). "Тайлинги правильными многоугольниками - II: Каталог мозаик" . Компьютеры и математика с приложениями . 17 : 147–165. DOI : 10.1016 / 0898-1221 (89) 90156-9 .
  • Заказ в космосе: исходник по дизайну, Кейт Кричлоу, 1970 ISBN 978-0-670-52830-1 
  • Соммервиль, Дункан Макларен Янг (1958). Введение в геометрию n измерений . Dover Publications. Глава X: Правильные многогранники
  • Преа, П. (1997). «Дистанционные последовательности и пороги перколяции в архимедовых мозаиках». Mathl. Comput. Моделирование . 26 (8–10): 317–320. DOI : 10.1016 / S0895-7177 (97) 00216-1 .
  • Кович, Юрий (2011). «Графы типа симметрии платоновых и архимедовых тел» . Математика. Commun . 16 (2): 491–507.
  • Пеллисер, Дэниел; Уильямс, Гордон (2012). "Минимальные покрытия архимедовых мозаик. Часть 1" . Электронный журнал комбинаторики . 19 (3): # P6. DOI : 10.37236 / 2512 .
  • Дейл Сеймур и Джилл Бриттон , Введение в мозаику , 1989, ISBN 978-0866514613 , стр. 50–57 

Внешние ссылки [ править ]

Евклидовы и общие тайловые ссылки:

  • n-однородные мозаики, Брайан Галебах
  • Датч, Стив. «Равномерные мозаики» . Архивировано из оригинала на 2006-09-09 . Проверено 9 сентября 2006 .
  • Митчелл, К. "Полурабельные мозаики" . Проверено 9 сентября 2006 .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Тесселяция» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик У. "Полурегулярная тесселяция" . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Демирегулярная тесселяция" . MathWorld .