Усеченный октаэдр

Усеченный октаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Однородный многогранник
Элементы	F = 14, E = 36, V = 24 (χ = 2)
Лица по сторонам	6 {4} +8 {6}
Обозначение Конвея	пО ЪТ
Символы Шлефли	t {3,4} tr {3,3} или ${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
Символы Шлефли	t _0,1 {3,4} или t _0,1,2 {3,3}
Символ Wythoff	2 4 \| 3 3 3 2 \|
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	O _h , B ₃ , [4,3], (* 432), порядок 48 T _h , [3,3] и (* 332), порядок 24
Группа вращения	O , [4,3] ⁺ , (432), порядок 24
Двугранный угол	4-6: arccos (-1/√ 3) = 125 ° 15′51 ″ 6-6: arccos (-1/3) = 109 ° 28′16 ″
Рекомендации	U ₀₈ , C ₂₀ , W ₇
Характеристики	Полурегулярный выпуклый параллелоэдр пермутоэдр зоноэдр
Цветные лица	4.6.6 ( Вершина )
Шестигранник Тетракис ( двойственный многогранник )	Сеть

3D модель усеченного октаэдра

В геометрии , то усеченный октаэдр является архимедовым твердым веществом . У него 14 граней (8 правильных шестиугольников и 6 квадратных ), 36 ребер и 24 вершины. Поскольку каждая из его граней имеет точечную симметрию, усеченный октаэдр является зоноэдром . Это также многогранник Гольдберга G _IV (1,1), содержащий квадратные и шестиугольные грани. Как и куб, он может разбивать (или «упаковывать») трехмерное пространство в виде пермутоэдра .

Усеченный октаэдр Бакминстер Фуллер назвал «меконом». ^[1]

Его двойственный многогранник - шестигранник тетракис .

Если исходный усеченный октаэдр имеет единичную длину ребра, его двойной тетракис-куб имеет длину ребра.9/8√ 2 и3/2√ 2 .

Строительство [ править ]

Усеченный октаэдр построен из правильного октаэдра со стороной 3 a путем удаления шести правильных квадратных пирамид , по одной из каждой точки. Эти пирамиды имеют длину как основной стороны ( a ), так и длину боковой стороны ( e ) a , образуя равносторонние треугольники . Площадь основания затем ² . Обратите внимание, что эта форма в точности похожа на половину октаэдра или твердое тело Джонсона J ₁ .

Из свойств квадратных пирамид мы теперь можем найти наклонную высоту s и высоту h пирамиды:

{\ displaystyle {\ begin {align} h & = {\ sqrt {e ^ {2} - {\ tfrac {1} {2}} a ^ {2}}} && = {\ tfrac {1} {\ sqrt { 2}}} a \\ s & = {\ sqrt {h ^ {2} + {\ tfrac {1} {4}} a ^ {2}}} && = {\ sqrt {{\ tfrac {1} {2} }} a ^ {2} + {\ tfrac {1} {4}} a ^ {2}}} && = {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} a \ end {выровнено}}}

Объем пирамиды V определяется выражением:

{\ displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} a ^ {2} h = {\ tfrac {\ sqrt {2}} {6}} a ^ {3}}

Поскольку шесть пирамид удаляются усечением, общий потерянный объем составляет √ 2 a ³ .

Ортогональные проекции [ править ]

Усеченный октаэдр имеет пять специальных ортогональных проекций , в центре, на вершине, на двух типах ребер и двух типов граней: шестиугольник, и квадрат. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера B ₂ и A ₂ .

Ортогональные проекции
В центре	Вершина	Край 4-6	Край 6-6	Лицо Квадрат	Лицо шестиугольника
Твердый
Каркас
Двойной
Проективная симметрия	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]

Сферическая мозаика [ править ]

Усеченный октаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Ортографическая проекция	Стереографические проекции
	квадратно- центрированный	шестигранник с центром

Координаты [ править ]


Ортогональная проекция в ограничивающем прямоугольнике (± 2, ± 2, ± 2)	Усеченный октаэдр с шестиугольниками, замененными шестью копланарными треугольниками. Появилось 8 новых вершин в: (± 1, ± 1, ± 1).	Усеченный октаэдр, разделенный на топологический ромбический триаконтаэдр

Все перестановки из (0, ± 1, ± 2) являются декартовы координаты этих вершин одного усеченного октаэдра края длины а = √2 с центром в начале координат. Таким образом, вершины также являются углами 12 прямоугольников, длинные края которых параллельны осям координат.

Эти краевые векторы имеют декартовы координаты (0, ± 1, ± 1) и перестановки этих. Нормали граней (нормализованные перекрестные произведения ребер, которые имеют общую вершину) шести квадратных граней равны (0, 0, ± 1) , (0, ± 1, 0) и (± 1, 0, 0) . Нормали восьми шестиугольных граней равны (±1/√ 3, ±1/√ 3, ±1/√ 3) . Скалярное произведение между парами двух нормалей граней - это косинус двугранного угла между смежными гранями, либо -1/3 или -1/√ 3. Двугранный угол составляет приблизительно 1,910633 радиана (109,471 ° OEIS : A156546 ) на гранях, общих для двух шестиугольников, или 2,186276 радиан (125,263 ° OEIS : A195698 ) на гранях, общих для шестиугольника и квадрата.

Рассечение [ править ]

Усеченный октаэдр можно разделить на центральный октаэдр , окруженный 8 треугольными куполами на каждой грани и 6 квадратными пирамидами над вершинами. ^[2]

Удаление центрального октаэдра и 2 или 4 треугольных куполов создает два тороида Стюарта с двугранной и тетраэдрической симметрией:

Род 2	Род 3
D 3d , [2 ⁺ , 6], (2 * 3), порядок 12	T d , [3,3], (* 332), порядок 24

Пермутоэдр [ править ]

Усеченный октаэдр также может быть представлен еще более симметричными координатами в четырех измерениях: все перестановки (1, 2, 3, 4) образуют вершины усеченного октаэдра в трехмерном подпространстве x + y + z + w = 10 . Следовательно, усеченный октаэдр является пермутоэдром порядка 4: каждая вершина соответствует перестановке (1, 2, 3, 4), а каждое ребро представляет собой одну попарную замену двух элементов.

Площадь и объем [ править ]

Площадь A и объем V усеченного октаэдра с длиной ребра a равны:

{\ displaystyle {\ begin {align} A & = \ left (6 + 12 {\ sqrt {3}} \ right) a ^ {2} && \ приблизительно 26,784 \, 6097a ^ {2} \\ V & = 8 {\ sqrt {2}} a ^ {3} && \ приблизительно 11.313 \, 7085a ^ {3}. \ end {align}}}

Равномерная окраска [ править ]

Есть две однородные окраски с тетраэдрической симметрией и октаэдрической симметрией и две 2-однородные окраски с двугранной симметрией в виде усеченной треугольной антипризмы . Каждому дано конструктивное название. Обозначения их многогранников Конвея даны в скобках.

1-униформа		2-униформа
О ч , [4,3], (* 432) Порядок 48	T d , [3,3], (* 332) Порядок 24	D 4h , [4,2], (* 422) Заказ 16	D 3d , [2 ⁺ , 6], (2 * 3) Заказать 12
122 раскраски	123 раскраски	122 и 322 раскраски	122 и 123 раскраски
Усеченный октаэдр (tO)	Скошенный тетраэдр (bT)	Усеченная квадратная бипирамида (tdP4)	Усеченная треугольная антипризма (tA3)

Химия [ править ]

Усеченный октаэдр существует в структуре фожазитных кристаллов.

Скрытие данных [ править ]

Усеченный октаэдр (на самом деле, обобщенный усеченный октаэдр) появляется в анализе ошибок индекса квантования модуляции (Qim) в сочетании с кодовым повторением. ^[3]

Связанные многогранники [ править ]

Усеченный октаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 ⁺ , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 ^1,1 }	т {3,4} т {3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr {4,3} s ₂ {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 ^1,1 }

		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно

Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Он также существует как полное усечение семейства тетраэдров:

Семейство однородных тетраэдрических многогранников
Симметрия : [3,3] , (* 332)							[3,3] ⁺ , (332)


{3,3}	т {3,3}	г {3,3}	т {3,3}	{3,3}	рр {3,3}	tr {3,3}	ср {3,3}
Двойники к однородным многогранникам

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Мутации симметрии [ править ]

* n 32 мутации симметрии полностью усеченных мозаик : 4.6.2n v т е
Сим. * n 32 [ n , 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гипербола.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
Сим. * n 32 [ n , 3]	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3]	* ∞32 [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Цифры
Конфиг.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duals
Конфиг.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

* nn 2 мутации симметрии полностью усеченных мозаик: 4.2 n .2 n v т е
Симметрия * nn 2 [n, n]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
Симметрия * nn 2 [n, n]	* 222 [2,2]	* 332 [3,3]	* 442 [4,4]	* 552 [5,5]	* 662 [6,6]	* 772 [7,7]	* 882 [8,8] ...	* ∞∞2 [∞, ∞]
Фигура
Конфиг.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Двойной
Конфиг.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Этот многогранник является членом последовательности однородных узоров с фигурой вершины (4.6.2 p ) и диаграммой Кокстера – Дынкина. . При p <6 элементы последовательности представляют собой полностью усеченные многогранники ( зоноэдры ), показанные ниже в виде сферических мозаик. При p > 6 они представляют собой мозаики гиперболической плоскости, начиная с усеченного тригептагонального мозаичного покрытия .

Усеченный октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с фигурами вершин n .6.6, простирающихся в гиперболическую плоскость:

* n 32 мутация симметрии усеченных мозаик : n .6.6 v т е
Сим. * n 42 [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактный		Parac.	Некомпактный гиперболический
Сим. * n 42 [n, 3]	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3] ...	* ∞32 [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]
Усеченные фигуры
Конфиг.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
цифры n-kis
Конфиг.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Усеченный октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с фигурами вершин 4.2 n .2 n , простирающихся в гиперболическую плоскость:

* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: 4.2 n .2 n v т е
Симметрия * n 42 [n, 4]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
Симметрия * n 42 [n, 4]	* 242 [2,4]	* 342 [3,4]	* 442 [4,4]	* 542 [5,4]	* 642 [6,4]	* 742 [7,4]	* 842 [8,4] ...	* ∞42 [∞, 4]
Усеченные фигуры
Конфиг.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
цифры n-kis
Конфиг.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Связанные многогранники [ править ]

Усеченный октаэдр ( bitruncated куб), является первым в последовательности bitruncated гиперкубов :

Битрорезанные гиперкубы
Изображение							...
Имя	Обрезанный куб	Обрезанный тессеракт	Обрезанный бит 5-куб	Обрезанный битом 6-куб	Bitruncated 7-cube	Обрезанный битами 8-куб
Coxeter
Фигура вершины	() v {}	{} v {}	{} v {3}	{} v {3,3}	{} v {3,3,3}	{} v {3,3,3,3}

Можно разрезать тессеракт гиперплоскостью так, чтобы его разрезанное поперечное сечение представляло собой усеченный октаэдр. ^[4]

Тесселяции [ править ]

Усеченный октаэдр существует в трех различных выпуклых однородных сотах ( мозаиках, заполняющих пространство ):

Усеченный кубический	Усеченный кубический	Усеченная чередующаяся кубическая

Клеток транзитивно bitruncated кубических сот можно также рассматривать как Вороную тесселяцию из кубической объемно центрированной решетки . Усеченный октаэдр - один из пяти трехмерных первичных параллелоэдров .

Объекты [ править ]

Спортивные сети в джунглях часто включают усеченные октаэдры.

древние китайцы умирают
скульптура в Бонне
Вариант кубика Рубика
модель изготовлена из конструктора Полидрон
Кристалл пирита

Усеченный октаэдрический граф [ править ]

Усеченный октаэдрический граф
3-кратная симметричная диаграмма Шлегеля
Вершины	24
Края	36
Автоморфизмы	48
Хроматическое число	2
Толщина книги	3
Номер очереди	2
Характеристики	Кубическая , гамильтонова , регулярная , нуль-симметричная
Таблица графиков и параметров

В математической области теории графов , A усеченного октаэдрической график представляет собой график вершин и ребер усеченного октаэдра. Он имеет 24 вершины и 36 ребер и является кубическим архимедовым графом . ^[5] Он имеет книгу толщина 3 и очередь номер 2. ^[6]

Как гамильтонов кубический граф , он может быть представлен в нотации LCF несколькими способами: [3, −7, 7, −3] ⁶ , [5, −11, 11, 7, 5, −5, −7, −11 , 11, −5, −7, 7] ² и [−11, 5, −3, −7, −9, 3, −5, 5, −3, 9, 7, 3, −5, 11, −3, 7, 5, −7, −9, 9, 7, −5, −7, 3]. ^[7]

Три различных гамильтоновых цикла, описываемых тремя разными обозначениями LCF для усеченного октаэдрического графа

Ссылки [ править ]

^ "Усеченный октаэдр" . Wolfram Mathworld .
^ Доски, Алекс. «Приключения среди тороидов - Глава 5 - Простейшие (R) (A) (Q) (T) Тороиды рода p = 1» . www.doskey.com .
^ Перес-Гонсалес, Ф .; Balado, F .; Мартин, JRH (2003). «Анализ производительности существующих и новых методов сокрытия данных с информацией об известных хостах в дополнительных каналах». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 51 (4): 960–980. DOI : 10.1109 / TSP.2003.809368 .
^ Боровик, Александр В .; Боровик, Анна (2010), «Упражнение 14.4» , Зеркала и размышления , Universitext, New York: Springer, p. 109, DOI : 10.1007 / 978-0-387-79066-4 , ISBN 978-0-387-79065-7, Руководство по ремонту 2561378
^ Читать, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269
^ Wolz, Джессика; Инженерные линейные схемы с SAT. Магистерская работа, Тюбингенский университет, 2018 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный октаэдрический граф» . MathWorld .

Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3–9)
Фрейтас, Роберт А. младший «Равномерное заполнение пространства с использованием только усеченных октаэдров» . Рисунок 5.5 Наномедицины, Том I: Основные возможности , Landes Bioscience, Джорджтаун, Техас, 1999 . Проверено 8 сентября 2006 . Внешняя ссылка в |publisher=( помощь )
Гайха П. и Гуха С.К. (1977). «Смежные вершины пермутоэдра». Журнал СИАМ по прикладной математике . 32 (2): 323–327. DOI : 10.1137 / 0132025 .
Харт, Джордж В. "Модель VRML усеченного октаэдра" . Виртуальные многогранники: Энциклопедия многогранников . Проверено 8 сентября 2006 . Внешняя ссылка в |publisher=( помощь )
Мэдер, Роман. «Однородные многогранники: усеченный октаэдр» . Проверено 8 сентября 2006 .
Александров, АД (1958). Konvexe Polyeder . Берлин: Springer. п. 539. ISBN. 3-540-23158-7.
Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с усеченным октаэдром .

Эрик В. Вайсштейн , Усеченный октаэдр ( архимедово твердое тело ) в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный октаэдрический граф» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Перммутоэдр» . MathWorld .
Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые равномерные многогранники x3x4o - носок» .
Редактируемая печатная сетка усеченного октаэдра с интерактивным трехмерным изображением

[1] "Усеченный октаэдр" . Wolfram Mathworld .

[2] Доски, Алекс. «Приключения среди тороидов - Глава 5 - Простейшие (R) (A) (Q) (T) Тороиды рода p = 1» . www.doskey.com .

[3] Перес-Гонсалес, Ф .; Balado, F .; Мартин, JRH (2003). «Анализ производительности существующих и новых методов сокрытия данных с информацией об известных хостах в дополнительных каналах». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 51 (4): 960–980. DOI : 10.1109 / TSP.2003.809368 .

[4] Боровик, Александр В .; Боровик, Анна (2010), «Упражнение 14.4» , Зеркала и размышления , Universitext, New York: Springer, p. 109, DOI : 10.1007 / 978-0-387-79066-4 , ISBN 978-0-387-79065-7, Руководство по ремонту 2561378

[5] Читать, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

[6] Wolz, Джессика; Инженерные линейные схемы с SAT. Магистерская работа, Тюбингенский университет, 2018 г.

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный октаэдрический граф» . MathWorld .

[1]