Шестигранник Тетракис | |
---|---|
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) | |
Тип | Каталонский твердый |
Диаграмма Кокстера | |
Обозначение Конвея | kC |
Тип лица | V4.6.6 равнобедренный треугольник |
Лица | 24 |
Края | 36 |
Вершины | 14 |
Вершины по типу | 6 {4} +8 {6} |
Группа симметрии | O h , B 3 , [4,3], (* 432) |
Группа вращения | О, [4,3] + , (432) |
Двугранный угол | 143 ° 07′48 ″ arccos (-4/5) |
Характеристики | выпуклый, гранно-транзитивный |
Усеченный октаэдр ( двойственный многогранник ) | Сеть |
В геометрии , A тетракис шестигранник (также известный как tetrahexahedron , hextetrahedron , тетракис куб и kiscube [2] ) является Каталонским твердым веществом . Его двойник - усеченный октаэдр , архимедово твердое тело .
Это также можно назвать disdyakis шестигранник или гексакис тетраэдр как двойной из omnitruncated тетраэдра .
Декартовы координаты
Декартовы координаты 14 вершин четырехугольного шестигранника с центром в начале координат - это точки (± 3/2, 0, 0), (0, ± 3/2, 0), (0, 0, ± 3/2) и (± 1, ± 1, ± 1).
Длина более коротких ребер этого тетракис-гексаэдра равна 3/2, а длина более длинных ребер равна 2. Грани представляют собой острые равнобедренные треугольники. Больший угол из них равен а два меньших равны .
Ортогональные проекции
Тетракисгексаэдр , двойной из усеченного октаэдра имеет 3 позиции симметрии, две расположенные на вершинах и один в середине края.
Проективная симметрия | [2] | [4] | [6] |
---|---|---|---|
Шестигранник Тетракис | |||
Усеченный октаэдр |
Использует
Природные ( кристаллические ) образования тетрагексаэдров наблюдаются в системах меди и флюорита .
Полиэдральные кости в форме , как тетракисгексаэдр иногда используются игроками .
24-клетки рассматриваются под вершиной первой перспективной проекции имеют поверхностную топологию тетракисгексаэдра и геометрические пропорции ромбического додекаэдра , с ромбическими гранями , разделенных на два треугольник.
Тетракис-шестигранник является одним из простейших примеров в теории строительства . Рассмотрим риманово симметрическое пространство, ассоциированное с группой SL 4 ( R ) . Его граница Титса имеет структуру сферического здания , квартиры которого представляют собой двумерные сферы. Разделение этой сферы на сферические симплексы (камеры) можно получить, взяв радиальную проекцию тетракис-шестигранника.
Симметрия
При T d , [3,3] (* 332) тетраэдрической симметрии треугольные грани представляют 24 фундаментальных домена тетраэдрической симметрии. Этот многогранник можно построить из 6 больших окружностей на сфере. Его также можно увидеть по кубу, квадратные грани которого триангулированы по вершинам и центрам граней, и по тетраэдру, грани которого разделены вершинами, средними ребрами и центральной точкой.
Усеченный tetratetrahedron | Disdyakis шестигранники | Дельтоидальный додекаэдр | Ромбический шестигранник | Тетраэдр |
Сферический многогранник | |||
---|---|---|---|
(см. вращающуюся модель ) | Ортографические проекции с 2-х, 3-х и 4-х кратных осей |
Края сферического тетракисгексаэдр принадлежит шесть больших кругов, которые соответствуют зеркальным плоскостям в тетраэдрической симметрии . Их можно сгруппировать в три пары ортогональных окружностей (каждая из которых обычно пересекается по одной координатной оси). На изображениях ниже эти квадратные хозоэдры окрашены в красный, зеленый и синий цвета.
Стереографические проекции | |||
---|---|---|---|
2-кратный | 3-кратный | 4-кратный | |
Габаритные размеры
Если обозначить длину ребра базового куба буквой a , высота каждой вершины пирамиды над кубом будет равна а/4. Наклон каждой треугольной грани пирамиды относительно грани куба является арктангенсом ( 1/2), примерно 26,565 ° (последовательность A073000 в OEIS ). Один край равнобедренных треугольников имеет длину a , два других - длину 3 а/4, что следует из применения теоремы Пифагора к высоте и длине основания. Это дает высоту √ 5 а/4в треугольнике ( OEIS : A204188 ). Его площадь составляет √ 5 а/8, а внутренние углы - arccos ( 2/3) (приблизительно 48,1897 °) и дополнительные 180 ° - 2 arccos ( 2/3) (примерно 83,6206 °).
Объем пирамиды составляет а 3/12; Таким образом, общий объем шести пирамид и куба в шестиграннике равен 3 а 3/2.
Kleetope
Его можно рассматривать как куб с квадратными пирамидами, покрывающими каждую квадратную грань; то есть это Kleetope куба.
Кубическая пирамида
Это очень похоже на трехмерную сеть для четырехмерной кубической пирамиды , поскольку сетка для квадрата представляет собой квадрат с треугольниками, прикрепленными к каждому краю, сеть для кубической пирамиды - это куб с квадратными пирамидами, прикрепленными к каждой грани.
Связанные многогранники и мозаики
Однородные октаэдрические многогранники | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | т {4,3} | г {4,3} г {3 1,1 } | т {3,4} т {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | ч {4,3} {3,3} | ч 2 {4,3} т {3,3} | с {3,4} с {3 1,1 } |
знак равно | знак равно | знак равно | знак равно или же | знак равно или же | знак равно | |||||
Двойники к однородным многогранникам | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | В (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
* n 32 мутация симметрии усеченных мозаик : n .6.6 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сим. * n 42 [n, 3] | Сферический | Евклид. | Компактный | Parac. | Некомпактный гиперболический | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | ||
Усеченные фигуры | ||||||||||||
Конфиг. | 2.6.6 | 3.6.6 | 4.6.6 | 5.6.6 | 6.6.6 | 7.6.6 | 8.6.6 | ∞.6.6 | 12i.6.6 | 9i.6.6 | 6i.6.6 | |
цифры n-kis | ||||||||||||
Конфиг. | V2.6.6 | V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 | V8.6.6 | V∞.6.6 | V12i.6.6 | V9i.6.6 | V6i.6.6 |
Это многогранники в последовательности, определяемой конфигурацией граней V4.6.2 n . Эта группа особенная тем, что у нее есть все четное число ребер на вершину и образуют биссектрисы, проходящие через многогранники и бесконечные прямые на плоскости, и переходят в гиперболическую плоскость для любого n ≥ 7.
С четным числом граней в каждой вершине эти многогранники и мозаики можно показать, чередуя два цвета, чтобы все смежные грани имели разные цвета.
Каждая грань на этих областях также соответствует фундаментальной области группы симметрии с зеркалами порядка 2, 3, n в каждой вершине треугольной грани.
* n 32 мутации симметрии полностью усеченных мозаик : 4.6.2n | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сим. * n 32 [ n , 3] | Сферический | Евклид. | Компактная гиперболия. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | [3i, 3] | |
Цифры | ||||||||||||
Конфиг. | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
Duals | ||||||||||||
Конфиг. | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
Смотрите также
- Триаконтаэдр Дисдякиса
- Додекаэдр Дисдякиса
- Kisrhombille плитка
- Соединение трех октаэдров
- Дельтоидный икоситетраэдр , еще одно 24- гранное каталонское тело.
Рекомендации
- ^ Hexakistetraeder на немецком, смотритенапример , Meyers страницу и Брокгауз страницу . На том же чертеже появляется в Брокгауза и Ефрона как преломленный пирамидальный тетраэдр ( преломляется пирамидальной тетраэдр ).
- ^ Conway, Симметрии вещей , с.284
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
- Веннингер, Магнус (1983), двойные модели , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, Руководство по ремонту 0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники, Тетракишексаэдр)
- Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 284, шестигранник Тетракиса)
Внешние ссылки
- Эрик В. Вайсштейн , шестигранник Тетракиса ( каталонское твердое тело ) в MathWorld .
- Многогранники виртуальной реальности www.georgehart.com: Энциклопедия многогранников
- Модель VRML
- Обозначение Конвея для многогранников Попробуйте: "dtO" или "kC"
- Tetrakis Hexahedron - Интерактивная модель многогранника
- Равномерные многогранники