В математике , то метрика Сиськи является метрикой , определенной на идеальной границе с пространством Адамар (также называемым полным CAT (0) пространство ). Он назван в честь Жака Титса .
Идеальная граница пространства Адамара.
Пусть ( X , d ) - пространство Адамара. Два геодезических луча c 1 , c 2 : [0, ∞] → X называются асимптотическими, если они остаются на определенном расстоянии во время путешествия, т. Е.
Эквивалентно, хаусдорфово расстояние между двумя лучами конечно.
Асимптотическое свойство определяет отношение эквивалентности на множестве геодезических лучей, а множество классов эквивалентности называется идеальной границей ∂ х из X . Класс эквивалентности геодезических лучей называется граничной точкой X . Для любого класса эквивалентности лучей и любой точки p в X существует единственный луч в классе, который исходит из p .
Определение метрики Титса
Сначала мы определяем угол между граничными точками относительно точки р в X . Для любых двух граничных точекна ∂ X возьмем два геодезических луча c 1 , c 2, выходящие из точки p, соответствующие двум граничным точкам соответственно. Можно определить угол двух лучей в p, называемый углом Александрова . Интуитивно возьмем треугольник с вершинами p , c 1 ( t ), c 2 ( t ) в качестве малого t и построим треугольник на плоской плоскости с той же длиной стороны, что и этот треугольник. Рассмотрим угол при вершине плоского треугольника, соответствующий p . Предел этого угла, когда t стремится к нулю, определяется как угол Александрова двух лучей в точке p . (По определению пространства CAT (0) угол монотонно уменьшается с уменьшением t , поэтому предел существует.) Теперь определим быть этим углом.
Чтобы определить угловую метрику на границе ∂ X , не зависящую от выбора p , возьмем супремум по всем точкам в X
Метрика Титса d T - это метрика длины, связанная с угловой метрикой, то есть для любых двух граничных точек расстояние Титса между ними - это нижняя грань длин всех соединяющих их кривых, измеренных в угловой метрике. Если такой кривой конечной длины нет, расстояние Титса между двумя точками определяется как бесконечность.
Идеальная граница X оснащена Tits метрической называется границей Титс , обозначенная как ∂ T X .
Для полного пространства CAT (0) можно показать, что его идеальная граница с угловой метрикой является полным пространством CAT (1), а его граница Титса также является полным пространством CAT (1). Таким образом, для любых двух граничных точек такой, что , у нас есть
и точки могут быть соединены единственным геодезическим отрезком на границе. Если пространство собственное , то любые две граничные точки на конечном расстоянии Титса друг от друга могут быть соединены геодезическим отрезком на границе.
Примеры
- Для евклидова пространства E n его границей Титса является единичная сфера S n - 1 .
- Адамара пространство X называется видимость пространства , если любые две различные граничные точки являются конечными точками геодезической линии в X . Для такого пространства угловое расстояние между любыми двумя граничными точками равно π, поэтому на идеальной границе нет кривой конечной длины, соединяющей любые две различные граничные точки, а это означает, что расстояние Титса между любыми двумя из них равно бесконечность.
Рекомендации
- Bridson, Martin R .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук] 319. Берлин: Springer-Verlag. С. xxii + 643. ISBN 3-540-64324-9. Руководство по ремонту 1744486 .