В этой статье не процитировать какие - либо источники . ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
Это глоссарий некоторых терминов, используемых в римановой геометрии и метрической геометрии - он не охватывает терминологию дифференциальной топологии .
Следующие статьи также могут быть полезны; они либо содержат специализированную лексику, либо предоставляют более подробное изложение определений, приведенных ниже.
Смотрите также:
- Глоссарий общей топологии
- Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
- Список тем по дифференциальной геометрии
Если не указано иное, буквы X , Y , Z ниже обозначают метрические пространства, M , N обозначают римановы многообразия, | ху | или обозначает расстояние между точками х и у в X . Наклонный слово обозначает само-ссылку на этот глоссарий.
Предостережение : многие термины в римановой и метрической геометрии, такие как выпуклая функция , выпуклое множество и другие, не имеют в точности того же значения, что и в общем математическом использовании.
A [ править ]
Пространство Александрова - обобщение римановых многообразий с верхними, нижними или целыми границами кривизны (последнее работает только в размерности 2)
Почти плоский коллектор
Изометрия по дуге такая же, как изометрия по траектории .
Автопараллельность - то же, что и полностью геодезическая.
B [ править ]
Барицентр , см. Центр масс .
билипшицево карта. Отображение называется билипшицевым, если существуют положительные константы c и C такие, что для любых x и y из X
Функция Буземана задана лучом γ: [0, ∞) → X , функция Буземана определяется формулой
C [ править ]
Теорема Картана – Адамара - это утверждение, что связное односвязное полное риманово многообразие с неположительной секционной кривизной диффеоморфно R n через экспоненциальное отображение; для метрических пространств утверждение, что связное односвязное полное геодезическое метрическое пространство с неположительной кривизной в смысле Александрова является (глобально ) пространством CAT (0) .
Картана продлил Эйнштейна общей теории относительности к теории Эйнштейна-Картана , используя риманова-Картана геометрии вместо римановой геометрии. Это расширение обеспечивает аффинное кручение , которое позволяет использовать несимметричные тензоры кривизны и включать спин-орбитальное взаимодействие .
Центр масс . Точка q ∈ M называется центром масс точек, если она является точкой глобального минимума функции
Такая точка уникальна, если все расстояния меньше радиуса выпуклости .
Символ Кристоффеля
Свертывающийся коллектор
Полное пространство
Завершение
Конформная карта - это карта, которая сохраняет углы.
Конформно плоский a M является конформно плоским, если он локально конформно эквивалентен евклидову пространству, например, стандартная сфера конформно плоская.
Сопряженные точки две точки p и q на геодезическойназываются сопряженными, если существует поле Якоби, накотором есть нуль вточках p и q .
Выпуклая функция . Функция F на римановом многообразии является выпуклойесли для любой геодезическойфункцияявляется выпуклой . Функция f называется-выпуклой, если для любой геодезическойс естественным параметромфункцияявляется выпуклой .
Выпуклое Подмножество K риманова многообразия M называется выпуклым, если для любых двух точек в K существует кратчайший путь, соединяющий их, который целиком лежит в K , см. Также вполне выпуклое .
Котангенсный пучок
Ковариантная производная
Вырезать локус
D [ править ]
Диаметр метрического пространства - это верхняя грань расстояний между парами точек.
Разворачивающаяся поверхность - это поверхность, изометричная плоскости.
Растяжение из карты между метрическими пространствами инфимуму чисел L такой , что данная карта является L - Липшица .
E [ править ]
Экспоненциальное отображение : экспоненциальное отображение (теория Ли) , экспоненциальное отображение (риманова геометрия)
F [ править ]
Метрика Финслера
Первая фундаментальная форма для вложения или погружения является откатом от метрического тензора .
G [ править ]
Геодезия - это кривая, которая локально минимизирует расстояние .
Геодезический поток - это поток на касательном расслоении TM многообразия M , порожденный векторным полем , траектории которогоимеют видгде- геодезическая .
Сходимость Громова-Хаусдорфа
Геодезическое метрическое пространство - это метрическое пространство, в котором любые две точки являются конечными точками минимизирующей геодезической .
H [ править ]
Пространство Адамара - это полное односвязное пространство с неположительной кривизной.
Оросфера - это набор уровней функции Буземана .
Я [ править ]
Радиус инъективности Радиус инъективности в точке p риманова многообразия - это наибольший радиус, для которого экспоненциальное отображение в p является диффеоморфизмом . Радиус приемистости риманова многообразия является нижней гранью приемистости радиусов во всех точках. См. Также вырезанный локус .
Для полных многообразий, если радиус инъективности в p является конечным числом r , то либо существует геодезическая длиной 2 r, которая начинается и заканчивается в p, либо существует точка q, сопряженная с p (см. Сопряженную точку выше) и на расстояние r от p . Для замкнутого риманова многообразия радиус инъективности равен половине минимальной длины замкнутой геодезической или минимальному расстоянию между сопряженными точками геодезической.
Infranilmanifold Учитывая односвязную нильпотентную группу Ли N , действующая на себе левое умножение и конечной группой автоморфизмов F из N можно определить действие на полупрямом продукте на N . Пространство орбит N , дискретная подгруппа которого действует на N свободно , называется инфранилмногообразием . Инфранилмногообразие конечно покрывается нильмногообразием .
Изометрия - это карта, сохраняющая расстояния.
Внутренняя метрика
J [ править ]
Поле Якоби Поле Якоби - это векторное поле на геодезической γ, которое может быть получено следующим образом: возьмем гладкое однопараметрическое семейство геодезическихс, тогда поле Якоби описывается формулой
Кривая Иордании
K [ править ]
Векторное поле убийства
L [ править ]
Метрика длины такая же, как внутренняя метрика .
Связность Леви-Чивита - естественный способ дифференцировать векторные поля на римановых многообразиях.
Липшицева сходимость - сходимость, определяемая липшицевой метрикой.
Липшицево расстояние между метрическими пространствами - это нижняя грань чисел r, такая, что между этими пространствами существует биективное билипшицево отображение с константами exp (- r ), exp ( r ).
Карта Липшица
Логарифмическое отображение - это правая инверсия экспоненциального отображения.
M [ править ]
Средняя кривизна
Метрический шар
Метрический тензор
Минимальная поверхность - это подмногообразие с нулевой средней кривизной (вектором).
N [ править ]
Естественная параметризация - это параметризация по длине.
Нетто . Подмножество S метрического пространства X называется -сетью, если для любой точки в X существует точка в S на расстоянии . Это отличается от топологических сетей, которые обобщают пределы.
Нильмногообразие : элемент минимального множества многообразий, который включает точку и обладает следующим свойством: любое ориентированное-расслоение над нильмногообразием является нильмногообразием. Его также можно определить как фактор связной нильпотентной группы Ли по решетке .
Нормальное расслоение : связанное с вложением многообразия M в объемлющее евклидово пространство, нормальное расслоение - это векторное расслоение, слой которого в каждой точке p является ортогональным дополнением (in) касательного пространства.
Нерасширяющаяся карта такая же, как короткая карта
P [ править ]
Параллельный транспорт
Полиэдральное пространство - симплициальный комплекс с метрикой, такой, что каждый симплекс с индуцированной метрикой изометричен симплексу в евклидовом пространстве .
Основная кривизна - это максимальная и минимальная нормальные кривизны в точке на поверхности.
Главное направление - это направление главных искривлений.
Изометрия пути
Правильное метрическое пространство является метрическим пространством , в котором каждый замкнутый шар является компактным . Эквивалентно, если каждое замкнутое ограниченное подмножество компактно. Каждое собственное метрическое пространство полно .
Q [ править ]
Квазигеодезический имеет два значения; здесь мы приводим самые распространенные. Отображение (где - подотрезок) называется квазигеодезическим, если существуют константы и такие, что для каждого
Обратите внимание, что квазигеодезическая не обязательно является непрерывной кривой.
Квазиизометрия . Отображениеназывается квазиизометрией, если существуют константыитакие, что
и каждая точка в Y находится на расстоянии не более C от некоторой точки f ( X ). Обратите внимание, что квазиизометрия не считается непрерывной. Например, любое отображение компактных метрических пространств является квазиизометрией. Если существует квазиизометрия от X до Y, то X и Y называются квазиизометричными .
R [ править ]
Радиус метрического пространства - это нижняя грань радиусов метрических шаров, полностью содержащих пространство.
Радиус выпуклости в точке p риманова многообразия - это наибольший радиус шара, который является выпуклым подмножеством.
Луч - это односторонняя бесконечная геодезическая, которая минимизируется на каждом интервале.
Тензор кривизны Римана
Риманово многообразие
Риманова субмерсия - это отображение между римановыми многообразиями, которое одновременно является субмерсией и субметрией .
S [ править ]
Вторая фундаментальная форма - это квадратичная форма на касательном пространстве гиперповерхности, обычно обозначаемая II, эквивалентный способ описания оператора формы гиперповерхности,
Его также можно обобщить на произвольную коразмерность, и в этом случае это квадратичная форма со значениями в нормальном пространстве.
Форма оператора для гиперповерхности М является линейным оператором на касательных пространствах, S р : Т р М → Т р М . Если n - единичное нормальное поле к M, а v - касательный вектор, то
(нет стандартного соглашения, использовать ли + или - в определении).
Короткая карта - это карта без увеличения расстояния.
Гладкий коллектор
Многообразие Соля представляет собой фактор связной разрешимой группы Ли по решетке .
Подметрия короткое отображение f между метрическими пространствами называется подметрией, если существует R> 0 такое, что для любой точки x и радиуса r <R мы имеем, что образ метрического r- шара является r- шаром, т. Е.
Субриманово многообразие
Систола . К -systole из М ,является минимальным объемом K - цикла негомологичен к нулю.
Т [ править ]
Касательная связка
Совершенно выпуклый. Подмножество K риманова многообразия M называется вполне выпуклым, если для любых двух точек из K любая соединяющая их геодезическая целиком лежит в K , см. Также выпуклое .
Полностью геодезическое подмногообразие - это такое подмногообразие , что все геодезические в подмногообразии также являются геодезическими на окружающем многообразии.
U [ править ]
Однозначно геодезическое метрическое пространство - это метрическое пространство, в котором любые две точки являются концами уникальной минимизирующей геодезической .
W [ править ]
Метрика слова на группе - это метрика графа Кэли, построенная с помощью набора генераторов.