В геометрии , Александрово пространство с кривизной ≥ K образует обобщение риманова многообразия с секционной кривизной ≥ K , где K некоторое действительное число. По определению, эти пространства являются локально компактными пространствами полной длины, где нижняя граница кривизны определяется путем сравнения геодезических треугольников в пространстве с геодезическими треугольниками на стандартных римановых поверхностях постоянной кривизны. [1] [2]
Можно показать, что размерность Хаусдорфа пространства Александрова с кривизной ≥ k является либо целым неотрицательным числом, либо бесконечностью. [1] В этих пространствах можно определить понятия «угол» и «касательный конус».
Александров пространства с кривизной ≥ K имеют важное значение , поскольку они образуют границы (в Громова-метрике Хаусдорфа ) последовательностей риманова многообразия с секционной кривизны ≥ K , [3] , как описано в компактности теоремы Громова .
Пространства Александрова с кривизной ≥ k были введены русским математиком Александром Даниловичем Александровым в 1948 году [3] и не следует путать с дискретными пространствами Александрова, названными в честь русского тополога Павла Александрова . Они были подробно изучены Бураго , Громовым и Перельманом в 1992 г. [4] и позже использовались Перельманом в доказательстве гипотезы Пуанкаре .
Рекомендации
- ^ a b Катусиро Шиохама (13–17 июля 1992 г.). Введение в геометрию пространств Александрова (PDF) . Мастерская Daewoo по дифференциальной геометрии. Университет Кван Вон, Чунчон, Корея.
- ^ Александров, АД; Берестовский, ВН; Николаев, ИГ (1986-01-01). «Обобщенные римановы пространства». Российские математические обзоры . 41 (3): 1–54. DOI : 10,1070 / rm1986v041n03abeh003311 . ISSN 0036-0279 .
- ^ а б Бергер, Марсель (2003). Панорамный вид римановой геометрии . Springer. п. 704.
- ^ Бураго, Юрий; Громов Михаил Леонидович; Перельман, Григорий (1992). «Пространства А.Д. Александрова ограниченной снизу кривизны». Русская математика. Обзоры . 47 (2): 1–58. DOI : 10.1070 / RM1992v047n02ABEH000877 .