Внутренняя метрика

---

При математическом изучении метрических пространств можно рассматривать длину дуги путей в пространстве. Если две точки находятся на заданном расстоянии друг от друга, естественно ожидать, что можно будет добраться из первой точки во вторую по пути, длина дуги которого равна (или очень близка) этому расстоянию. Расстояние между двумя точками метрического пространства относительно внутренней метрики определяется как инфимум длин всех путей из первой точки во вторую. Метрическое пространство является метрическим пространством длины , если внутренняя метрика согласуется с исходной метрикой пространства.

Если пространство обладает более сильным свойством, заключающимся в том, что всегда существует путь, который достигает инфимума длины ( геодезическая ), то его можно назвать геодезическим метрическим пространством или геодезическим пространством . Например, евклидова плоскость является геодезическим пространством с отрезками прямых в качестве геодезических. Евклидова плоскость с удаленным началом координат не является геодезической, но по-прежнему является метрическим пространством длины.

Пусть будет метрическое пространство , т . е . представляет собой набор точек (например, все точки на плоскости или все точки на окружности) и является функцией, которая дает нам расстояние между точками . Мы определяем новую метрику на , известную как индуцированная внутренняя метрика , следующим образом : инфимум длин всех путей из в .${\ Displaystyle (М, д)}$${\ Displaystyle М}$${\ Displaystyle д (х, у)}$${\ Displaystyle х, у \ в М}$${\ displaystyle d _ {\ text {I}}}$${\ Displaystyle М}$${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Здесь путь из в является непрерывным отображением${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

с и . Длина такого пути определяется, как объяснено для спрямляемых кривых . Положим, если нет пути конечной длины из в . Если${\displaystyle \gamma (0)=x}$${\displaystyle \gamma (1)=y}$${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

для всех точек и в , мы говорим , что это пространство длины или пространство метрики пути и метрика является внутренней .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle d}$

---