Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В топологии , топологии Александров является топологией , в которой пересечение любого семейства открытых множеств открыто. Аксиома топологии состоит в том, что пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто; в топологиях Александрова конечное ограничение снимается.

Множество вместе с топологией Александрова известно как Александров-дискретное пространство или конечно порожденное пространство .

Топологии Александрова однозначно определяются предзаказами их специализации . Действительно, для любого предпорядка ≤ на множестве X существует единственная топология Александрова на X, для которой предпорядок специализации равен ≤. Открытые множества - это просто верхние множества относительно ≤. Таким образом, Александрова топология на X находится в взаимно-однозначное соответствии с предпорядками на X .

Александров-дискретные пространства также называют конечно порожденными пространствами, поскольку их топология однозначно определяется семейством всех конечных подпространств. Таким образом, дискретные пространства Александрова можно рассматривать как обобщение конечных топологических пространств .

В связи с тем, что прообразы коммутируют с произвольными объединениями и пересечениями, свойство быть Александров-дискретным пространством сохраняется при частных .

Александровско-дискретные пространства названы в честь русского тополога Павла Александрова . Их не следует путать с более геометрическими пространствами Александрова, введенными русским математиком Александром Даниловичем Александровым .

Характеристики топологий Александрова [ править ]

Топологии Александрова имеют множество характеристик. Пусть X = < X , T > - топологическое пространство. Тогда следующие эквиваленты:

  • Характеристики открытого и закрытого множества:
    • Открытый набор. Произвольное пересечение открытых множеств в X открыто.
    • Закрытый набор. Произвольное объединение замкнутых множеств в X замкнуто.
  • Характеристики микрорайона:
    • Самый маленький район. Каждая точка X имеет наименьшую окрестность .
    • Фильтр соседства. Фильтр окрестностей каждой точки в X замкнут относительно произвольных пересечений.
  • Внутренние и закрывающие алгебраические характеристики:
    • Внутренний оператор. Интерьера оператор из X распределяет над произвольными пересечениями множеств.
    • Оператор закрытия. Оператор замыкания из X распределяет над произвольными объединениями подмножеств.
  • Предварительный заказ характеристик:
    • Предварительный заказ специализации. T является лучшей топологией в соответствии с специализацией предзаказом в X есть лучшие топологии давая предзаказ ≤ удовлетворяющий х ≤ у тогда и только тогда , когда х находится в замыкании { у } в X .
    • Открытый набор. Существует предпорядок ≤ такой, что открытые множества X - это в точности те, которые закрыты вверх, т.е. если x находится в наборе, а x ≤ y, то y находится в наборе. (Этот предварительный заказ будет в точности предварительным заказом на специализацию.)
    • Закрытый набор. Существует предпорядок ≤ такой, что замкнутые множества X - это в точности те, которые замкнуты вниз, т. Е. Если x находится в наборе, а y ≤ x, то y находится в множестве. (Этот предварительный заказ будет в точности предварительным заказом на специализацию.)
    • Вверх интерьер. Точка x лежит внутри подмножества S множества X тогда и только тогда, когда существует точка y в S такая, что y ≤ x, где ≤ - предпорядок специализации, т.е. y лежит в замыкании { x }.
    • Закрытие вниз. Точка x лежит в замыкании подмножества S множества X тогда и только тогда, когда существует точка y в S такая, что x ≤ y, где ≤ - предпорядок специализации, т.е. x лежит в замыкании { y }.
  • Конечная генерация и теоретико-категориальные характеристики:
    • Конечное замыкание. В точке х лежит внутри закрытия подмножества S из X , если и только если существует конечное подмножество Р из S , такие , что х лежит в замыкании F . (Это конечное подмножество всегда можно выбрать как одноэлементный.)
    • Конечное подпространство. Т является когерентным с конечными подпространств X .
    • Карта конечного включения. Отображения включения f i  : X i → X конечных подпространств X образуют конечный сток .
    • Конечное поколение. X конечно порождено, т. Е. Находится в последней оболочке конечных пространств. (Это означает, что существует конечный сток f i  : X i → X, где каждое X i является конечным топологическим пространством.)

Топологические пространства, удовлетворяющие приведенным выше эквивалентным характеристикам, называются конечно порожденными пространствами или Александров-дискретными пространствами, а их топология T называется топологией Александрова .

Эквивалентность предварительно упорядоченным наборам [ править ]

Топология Александрова на заранее упорядоченном множестве [ править ]

Для предварительно упорядоченного множества мы можем определить топологию Александрова на X , выбрав открытые множества в качестве верхних множеств :

Таким образом, мы получаем топологическое пространство .

Соответствующие замкнутые множества - это нижние множества :

Предварительный заказ специализации в топологическом пространстве [ править ]

Для топологического пространства X = < X , T > предпорядок специализации на X определяется следующим образом:

x ≤ y тогда и только тогда, когда x находится в замыкании { y }.

Таким образом, мы получаем предупорядоченное множество W ( X ) = < X , ≤>.

Эквивалентность предпорядков и топологий Александрова [ править ]

Для каждого предупорядоченного множества X = < X , ≤> мы всегда имеем W ( T ( X )) = X , т.е. предпорядок X восстанавливается из топологического пространства T ( X ) как предпорядок специализации. Кроме того , для каждого Александров-дискретного пространства X , мы имеем Т ( Ш ( Х )) = X , то есть Александров топология X восстанавливается в топологии , индуцированной специализации предпорядке.

Однако для топологического пространства в целом мы не имеем T ( W ( X )) = X . Скорее T ( W ( X )) будет множеством X с более тонкой топологией, чем у X (т.е. у него будет больше открытых множеств).

Эквивалентность монотонности и непрерывности [ править ]

Учитывая монотонную функцию

е  :  X → Y

между двумя предварительно упорядоченными наборами (т. е. функция

е  :  X → Y

между базовыми множествами, такими, что x  ≤  y в X влечет f ( x ) ≤  f ( y ) в Y ), пусть

Т ( е ):  Т ( Х ) → Т ( Y )

- то же самое отображение, что и f, рассматриваемое как отображение между соответствующими пространствами Александрова. Тогда T ( f ) - непрерывное отображение .

Наоборот, дано непрерывное отображение

г :  X → Y

между двумя топологическими пространствами, пусть

W ( г ):  W ( X ) → W ( Y )

- то же самое отображение, что и f, рассматриваемое как отображение между соответствующими предварительно упорядоченными наборами. Тогда W ( g ) - монотонная функция.

Таким образом, отображение между двумя заранее упорядоченными множествами является монотонным тогда и только тогда, когда оно является непрерывным отображением между соответствующими Александровскими дискретными пространствами. Наоборот, отображение между двумя Александров-дискретными пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда оно является монотонной функцией между соответствующими предварительно упорядоченными множествами.

Обратите внимание, однако, что в случае топологий, отличных от топологии Александрова, мы можем иметь отображение между двумя топологическими пространствами, которое не является непрерывным, но, тем не менее, все еще является монотонной функцией между соответствующими предварительно упорядоченными наборами. (Чтобы убедиться в этом, рассмотрим недискретное пространство X и тождественное отображение i  :  X → T ( W ( X )).)

Теоретико-категориальное описание эквивалентности [ править ]

Пусть Set обозначает категорию множеств и отображений . Пусть Top обозначит категорию топологических пространств и непрерывных отображения ; и пусть Pro обозначает категорию предварительно упорядоченных множеств и монотонных функций . потом

T  :  Pro → Сверху и
W  :  сверху → Pro

являются конкретными функторами над Set, которые являются левым и правым сопряженными соответственно.

Пусть Alx обозначать полную подкатегорию из Top , состоящая из Александрова-дискретных пространств. Тогда ограничения

T  :  Pro → Alx и
W  :  Alx → Pro

являются обратными конкретными изоморфизмами над Set .

Alx является фактически BICO-отражательной подкатегориями из Top с BICO-рефлектор Т ◦ W  :  Вверх → Alx . Это означает, что для данного топологического пространства X тождественное отображение

я  :  Т ( W ( X )) → X

непрерывно и для всякого непрерывного отображения

е  :  Y → X

где Y - Александров-дискретное пространство, композиция

i  −1 ◦ f  :  Y → T ( W ( X ))

непрерывно.

Связь с построением модальных алгебр из модальных фреймов [ править ]

Учитывая предупорядоченное множество Х , то внутренний оператор и оператор замыкания из T ( X ) задаются следующим образом:

Int ( S ) = { x  ∈ X: для всех y  ∈ X из x  ≤  y следует y  ∈ S}, и
Cl ( S ) = { x  ∈ X: существует y  ∈ S такой, что x  ≤  y }

для всех S  ⊆  X.

С учетом внутреннего оператором и оператором замыкания быть модальными операторами на множестве мощности булевой алгебры в X , эта конструкция представляет собой частный случай построения модальной алгебры из модального кадра , т.е. из набора с одним бинарным отношением . (Последняя конструкция сама по себе является частным случаем более общей конструкции комплексной алгебры из реляционной структуры, т. Е. Множества с определенными на нем отношениями.) Класс модальных алгебр, который мы получаем в случае предварительно упорядоченного множества, - это класс из внутренних алгебр -The алгебраических абстракций топологических пространств.

История [ править ]

Пространства Александрова были впервые введены в 1937 г. П.С. Александровым под названием дискретные пространства , где он дал характеризацию в терминах множеств и окрестностей. [1] Название « дискретные пространства» позже стало использоваться для топологических пространств, в которых каждое подмножество открыто, а исходная концепция была забыта в топологической литературе. С другой стороны, пространства Александрова сыграли важную роль в пионерских исследованиях Ойстейна Ора замкнутых систем и их взаимосвязи с теорией решетки и топологией. [2]

С развитием категориальной топологии в 1980-х годах пространства Александрова были заново открыты, когда концепция конечного поколения была применена к общей топологии и для них было принято название конечно порожденные пространства . Примерно в то же время пространства Александрова были заново открыты в контексте топологий, возникших на основе денотационной семантики и теории предметной области в информатике .

В 1966 году Майкл МакКорд и А.К. Штайнер независимо друг от друга наблюдали эквивалентность между частично упорядоченными множествами и пространствами, которые были в точности версиями T 0 пространств, введенных Александровым. [3] [4] П.Т. Джонстон называл такие топологии топологиями Александрова . [5] Ф.Г. Аренас независимо предложил это название для общей версии этих топологий. [6] МакКорд также показали , что эти пространства слабой гомотопической эквивалентны в порядке комплекса соответствующего частично упорядоченного множества. Штейнер показал, что эквивалентность контравариантна. решеточный изоморфизм, сохраняющий произвольные встречи и соединения, а также дополнение.

Также хорошо известен результат в области модальной логики, что существует эквивалентность между конечными топологическими пространствами и предпорядками на конечных множествах (конечные модальные шкалы для модальной логики S4 ). А. Гжегорчик заметил, что это распространяется на эквивалентность между тем, что он называл полностью дистрибутивными пространствами и предпорядками. К. Натурман заметил, что эти пространства были Александров-дискретными пространствами, и распространил результат на теоретико-категориальную эквивалентность между категорией Александров-дискретных пространств и (открытых) непрерывных отображений и категорией предпорядков и (ограниченных) монотонных отображений, предоставление предварительных характеристик, а также алгебраических внутренних и замыкающиххарактеристики. [7]

Систематическое исследование этих пространств с точки зрения общей топологии, которой пренебрегли с тех пор, как оригинальная статья Александрова была занята Ф.Г. Аренасом. [6]

См. Также [ править ]

  • P -пространство , пространство, удовлетворяющее более слабому условию, что счетные пересечения открытых множеств открыты.

Ссылки [ править ]

  1. Перейти ↑ Alexandroff, P. (1937). «Дискрете Ряуме» . Мат. Сб . Новая серия (на немецком языке). 2 : 501–518.
  2. ^ O. Ore, Некоторые исследования отношений замыкания , Duke Math. J. 10 (1943), 761–785. См. Marcel Erné , Closure , в Frédéric Mynard, Elliott Pearl (Editors), Beyond Topology , ContemporaryMathematicsvol. 486, Американское математическое общество, 2009 г., стр.170ff.
  3. Перейти ↑ McCord, MC (1966). «Особые гомологии и гомотопические группы конечных топологических пространств». Математический журнал герцога . 33 (3): 465–474. DOI : 10.1215 / S0012-7094-66-03352-7 .
  4. Перейти ↑ Steiner, AK (1966). «Решетка топологий: структура и дополнение» . Труды Американского математического общества . 122 (2): 379–398. DOI : 10.2307 / 1994555 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1994555 .  
  5. ^ Джонстон, PT (1986). Каменные пространства (1-е изд. В мягкой обложке). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-33779-3.
  6. ^ а б Аренас, Ф.Г. (1999). "Пространства Александрова" (PDF) . Acta Math. Univ. Comenianae . 68 (1): 17–25.
  7. ^ Naturman, CA (1991). Внутренние алгебры и топология . Кандидат наук. защитил диссертацию на математическом факультете Кейптаунского университета.