Когерентная топология

В топологии , когерентная топология является топология , которая однозначно определяется семейством подпространств . Грубо говоря, топологическое пространство когерентно с семейством подпространств, если оно является топологическим объединением этих подпространств. Его также иногда называют слабой топологией, порожденной семейством подпространств, понятие, которое сильно отличается от понятия слабой топологии, порожденной набором отображений. ^[1]

Определение [ править ]

Пусть X - топологическое пространство и C = { C _α : α ∈ A } - семейство подмножеств X с топологией подпространств. ( Как правило , C будет крышка из X ) . Тогда Х называется когерентным с C (или определяется C ) ^[2] , если топология X восстанавливается в качестве одного , поступающего из заключительной топологии коиндуцированных по картам включения

{\ displaystyle i _ {\ alpha}: C _ {\ alpha} \ к X \ qquad \ alpha \ in A.}

По определению, это лучшая топология на (базовом множестве) X, для которой отображения включения непрерывны . Если C - покрытие X , то X когерентно с C, если выполняется одно из следующих двух эквивалентных условий:

Подмножество U является открытым в X тогда и только тогда , когда U ∩ C _α открыто в C _{& alpha} ; для каждого а Е А .
Подмножество U является закрытым в X тогда и только тогда , когда U ∩ C _α замкнуто в C _{& alpha} ; для каждого а Е А .

Выше, не верно , если C не покрывает X .

Учитывая топологическое пространство X и любое семейство подпространств C есть уникальная топология на (базовый набор) X , который является когерентным с C . Эта топология будет, в общем, быть тоньше , чем заданная топология на X .

Примеры [ править ]

Топологическое пространство X является когерентным с каждой открытой крышкой из X .
Топологическое пространство X является когерентным с каждым локально конечным замкнутым покровом X .
Дискретное пространство когерентно с каждым семейством подпространств ( в том числе пустого семейства ).
Топологическое пространство X является когерентным с перегородкой из X , если и только X является гомеоморфно в несвязное объединение элементов разбиения.
Конечно порожденные пространства - это те, которые определяются семейством всех конечных подпространств .
Компактно порожденные пространства - это те, которые определяются семейством всех компактных подпространств .
CW комплекс X является когерентным с семейством ˝n˝ -skeletons X _п .

Топологическое объединение [ править ]

Пусть - семейство (не обязательно непересекающихся ) топологических пространств такое, что индуцированные топологии согласованы на каждом пересечении X _α ∩ X _β . Предположим далее, что X _α ∩ X _β замкнуто в X _α для каждого α, β. Тогда топологическое объединение X является теоретико-множественным объединением ${\ displaystyle \ {X _ {\ alpha}, \ alpha \ in A \}}$

{\ displaystyle X ^ {set} = \ bigcup _ {\ alpha \ in A} X _ {\ alpha}}

наделенный финальной топологией, порожденной отображениями включения . Тогда отображения включения будут топологическими вложениями, и X будет когерентным с подпространствами { X _α }. ${\ displaystyle i _ {\ alpha}: X _ {\ alpha} \ to X ^ {set}}$

И наоборот, если Х является когерентным с семейством подпространств { С _{& alpha} ; } , что крышка X , то Х является гомеоморфно топологическим объединением семейства { C _{& alpha} ; }.

Можно сформировать топологическое объединение произвольного семейства топологических пространств, как указано выше, но если топологии не согласовывают пересечения, то включения не обязательно будут вложениями.

Можно также описать топологическое объединение с помощью дизъюнктного объединения . В частности, если X является топологическим объединением семейства { X _α }, то X гомеоморфно фактору дизъюнктного объединения семейства { X _α } по отношению эквивалентности

{\ Displaystyle (х, \ альфа) \ сим (у, \ бета) \ Leftrightarrow х = у}

для всех а, р в А . То есть,

{\ Displaystyle X \ cong \ coprod _ {\ alpha \ in A} X _ {\ alpha} / \ sim.}

Если все пространства { X _α } не пересекаются, то топологическое объединение - это просто несвязное объединение.

Предположим теперь, что множество A направлено способом, совместимым с включением: всякий раз . Тогда существует единственное отображение из в X , которое на самом деле является гомеоморфизмом. Здесь есть прямая (индуктивный) предел ( копредел ) из { X _{& alpha} ; } в категории Top . ${\ displaystyle \ alpha \ leq \ beta}$ ${\ displaystyle X _ {\ alpha} \ subset X _ {\ beta}}$ ${\ displaystyle \ varinjlim X _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ varinjlim X _ {\ alpha}}$

Свойства [ править ]

Пусть X когерентно с семейством подпространств { C _α }. Отображение F : X → Y является непрерывным , если и только если ограничения

{\ displaystyle f | _ {C _ {\ alpha}}: от C _ {\ alpha} \ до Y \,}

непрерывны для каждого а ∈ A . Это универсальное свойство характеризует когерентные топологии в том смысле , что пространство X является когерентным с C тогда и только тогда , когда это свойство имеет место для всех пространств Y и всех функций F : X → Y .

Пусть X определяется покрытием C = { C _α }. потом

Если С является уточнение из крышки D , то Х определяется D .
Если D является уточнением C и каждый C _α определяется семейством всех D _{& beta} содержится в С _{& alpha} ; тогда Х определяется D .

Пусть Х определяется { C _{& alpha} ; } , и пусть Y открытое или замкнутое подпространство в X . Тогда Y определяется как { Y ∩ C _α }.

Пусть X определяется { C _α }, и пусть f : X → Y - фактор-отображение . Тогда Y определяется {f ( C _α )}.

Пусть f : X → Y - сюръективное отображение и пусть Y определяется { D _α : α ∈ A }. Для каждого α ∈ A пусть

{\ displaystyle f _ {\ alpha}: f ^ {- 1} (D _ {\ alpha}) \ to D _ {\ alpha} \,}

- ограничение f на f ⁻¹ ( D _α ). потом

Если f непрерывен и каждое f _α является фактор-отображением, то f является фактор-отображением.
f является замкнутым отображением (соответственно открытым ) тогда и только тогда, когда каждое f _α замкнуто (соответственно открыто).

См. Также [ править ]

Конечная топология - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными

Заметки [ править ]

^ Уиллард, стр. 69
^ X также сказалчтобы иметь слабую топологию , порожденную С . Это имя может сбивать с толку, поскольку прилагательные « слабый» и « сильный » разными авторами используются в противоположных значениях. В современном использовании термин « слабая топология» является синонимом начальной топологии, а « сильная топология» - синонимом окончательной топологии . Здесь обсуждается окончательная топология.

Ссылки [ править ]

Танака, Йошио (2004). «Факторные пространства и разложения». В КП Харт; Дж. Нагата; JE Vaughan (ред.). Энциклопедия общей топологии . Амстердам: Elsevier Science. С. 43–46. ISBN 0-444-50355-2.
Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-486-43479-6 (Дуврское издание).

[1] Уиллард, стр. 69

[2] X также сказалчтобы иметь слабую топологию , порожденную С . Это имя может сбивать с толку, поскольку прилагательные « слабый» и « сильный » разными авторами используются в противоположных значениях. В современном использовании термин « слабая топология» является синонимом начальной топологии, а « сильная топология» - синонимом окончательной топологии . Здесь обсуждается окончательная топология.

[1]