Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В геометрии параллелоэдр является многогранник , который может быть переведен без вращений в 3-мерном евклидовом пространстве , чтобы заполнить пространство с сотами , в которых все копии лицом к лицу полиэдр с концами. Существует пять типов параллелоэдра, впервые выделенных Евграфом Федоровым в 1885 году при изучении кристаллографических систем: куб , гексагональная призма , ромбический додекаэдр , удлиненный додекаэдр и усеченный октаэдр . [1]

Классификация [ править ]

Каждый параллелоэдр - это зоноэдр , построенный как сумма Минковского от трех до шести отрезков прямых. Каждый из этих отрезков прямой может иметь любое положительное действительное число в качестве длины, и каждое ребро параллелоэдра параллельно одному из этих порождающих отрезков той же длины. Если длина сегмента параллелоэдра, образованного из четырех или более сегментов, уменьшается до нуля, в результате многогранник вырождается в более простую форму - параллелоэдр, образованный на один сегмент меньше. [2] Как зоноэдр, эти формы автоматически имеют центральную инверсионную симметрию 2 C i , [1]но возможны дополнительные симметрии при соответствующем выборе образующих сегментов. [3]

Пять типов параллелоэдра: [1]

  • Параллелепипеда , генерируется из трех отрезков, которые не параллельны одной плоскости. Его наиболее симметричная форма - куб , образованный тремя перпендикулярными отрезками линии единичной длины.
  • Гексагональная призма , генерируется из четырех линейных сегментов, три из них , параллельно общей плоскости , а не четвертая. Его наиболее симметричная форма - правая призма над правильным шестиугольником.
  • Ромбический додекаэдр , генерируется из четырех отрезков, никаких два из которых расположен параллельно общей плоскости. Его наиболее симметричная форма создается четырьмя длинными диагоналями куба.
  • Удлиненный Додекаэдр , генерируется из пяти линейных сегментов, один из которых параллелен общей плоскости с двумя непересекающимися парами остальных четыре. Его можно сгенерировать, используя ребро куба и его четыре длинные диагонали в качестве образующих.
  • Усеченный октаэдр , генерируется из шести сегментов линии с четырьмя наборами трех сегментов копланарных. Он может быть вложен в четырехмерное пространство как 4- пермутаэдр , все вершины которого являются перестановками счетных чисел (1,2,3,4). В трехмерном пространстве его наиболее симметричная форма создается из шести отрезков, параллельных диагоналям граней куба.

Любой зоноэдр, грани которого имеют ту же комбинаторную структуру, что и одна из этих пяти форм, является параллелоэдром, независимо от его конкретных углов или длин ребер. Например, любое аффинное преобразование параллелоэдра приведет к другому параллелоэдру того же типа. [1]

ИмяКуб
(параллелепипед)		Шестиугольная призма
Вытянутый куб		Ромбический додекаэдрУдлиненный додекаэдрУсеченный октаэдр
Изображения (цвета указывают параллельные края)Ребра параллелоэдра cube.pngГрани параллелоэдра шестиугольная призма.pngРебра параллелоэдра rhombic dodecahedron.pngРебра параллелоэдра продолговатый ромбический додекаэдр.pngParallelohedron edge truncated octahedron.png
Количество генераторов34456
Вершины812141824
Края12182428 год36
Лица68121214
ЧерепицаPartial Cubic honeycomb.png
Имя тайлинга и диаграмма Кокстера – ДынкинаКубический
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png		Шестиугольная призматическая
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png		Ромбический додекаэдр
CDel узел f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png		Удлиненный додекаэдрУсеченный кубический
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png

Симметрии [ править ]

При дальнейшем подразделении в соответствии с их группами симметрии получается 22 формы параллелоэдров. Для каждой формы центры ее копий в сотах образуют точки одной из 14 решеток Браве . Поскольку решеток Браве меньше, чем симметричных форм параллелоэдров, определенные пары параллелоэдров отображаются в одну и ту же решетку Браве. [3]

Поместив одну конечную точку каждого сегмента образующей параллелоэдра в начало трехмерного пространства, образующие могут быть представлены как трехмерные векторы , положения их противоположных конечных точек. При таком размещении сегментов одна вершина параллелоэдра сама будет в начале координат, а остальные будут в позициях, заданных суммами определенных подмножеств этих векторов. Таким образом, параллелоэдр с векторами можно параметризовать следующим образом:координаты, по три для каждого вектора, но действительны только некоторые из этих комбинаций (из-за требования, чтобы определенные тройки сегментов лежали в параллельных плоскостях, или, что то же самое, что определенные тройки векторов копланарны), и различные комбинации могут привести к параллелоэдрам, которые отличаются только поворотом, масштабным преобразованием или, в более общем смысле, аффинным преобразованием . При вычленении аффинных преобразований количество свободных параметров, описывающих форму параллелоэдра, равно нулю для параллелепипеда (все параллелепипеды эквивалентны друг другу при аффинных преобразованиях), два для гексагональной призмы, три для ромбического додекаэдра, четыре для удлиненного додекаэдра и пять для усеченного октаэдра. [4]

История [ править ]

Классификация параллелоэдров на пять типов была впервые сделана русским кристаллографом Евграфом Федоровым в 13 главе русскоязычной книги, впервые опубликованной в 1885 году, название которой было переведено на английский как Введение в теорию фигур . [5] Некоторые математические выкладки в этой книге ошибочны; например, он включает неправильное доказательство леммы, утверждающей, что каждое моноэдральное мозаичное покрытие плоскости в конечном итоге является периодическим, что остается нерешенным как проблема Эйнштейна . [6]В случае параллелоэдров Федоров без доказательства предположил, что каждый параллелоэдр центрально симметричен, и использовал это предположение для доказательства своей классификации. Классификация параллелоэдров была позже поставлена ​​на более прочную основу Германом Минковским , который использовал свою теорему единственности для многогранников с заданными нормалями граней и площадями, чтобы доказать, что параллелоэдры центрально симметричны. [1]

Связанные фигуры [ править ]

В двух измерениях фигура, аналогичная параллелоэдру, представляет собой параллелогон , многоугольник, который может перекрывать плоскость от края до края путем перемещения. Это параллелограммы и шестиугольники с параллельными противоположными сторонами одинаковой длины. [7]

В более высоких измерениях параллелоэдр называется параллелоэдром . Существует 52 различных четырехмерных параллелоэдра, впервые перечисленных Борисом Делоне (с одним пропущенным параллелоэдром, позднее обнаруженным Михаилом Штогриным), [8] и 103769 типов в пяти измерениях. [9] [10] В отличие от трех измерений, не все они являются зонотопами . 17 из четырехмерных параллелоэдров являются зонотопами, один - регулярными 24-ячейками , а остальные 34 из этих форм являются суммами Минковского зонотопов с 24-ячейками. [11] A -мерный параллелоэдр может иметь не более граней, причемпермутоэдр, достигающий этого максимума. [2]

Plesiohedron является более широким классом трехмерных пространства заполнения многогранников, образованный из диаграмм Вороных периодических множеств точек. [7] Как Борис Делоне доказал в 1929 году [12], каждый параллелоэдр можно превратить в плезиоэдр аффинным преобразованием [1], но это остается открытым в более высоких измерениях [2], а в трех измерениях также существуют другие плезиоэдры, которые не являются параллелоэдрами. Замощение пространства плезиоэдрами имеет симметрии, переводящие любую ячейку в любую другую ячейку, но в отличие от параллелоэдров, эти симметрии могут включать вращения, а не только сдвиги. [7]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d e f Александров А.Д. (2005). «8.1 Параллелоэдры». Выпуклые многогранники . Springer. С. 349–359.
  2. ^ a b c Динст, Тило. «Пять параллелоэдров Федорова в R 3 » . Дортмундский университет. Архивировано из оригинала на 2016-03-04.
  3. ^ а б Туттон, AEH (1922). Кристаллография и практическое измерение кристаллов, Vol. I: Форма и структура . Макмиллан. п. 567.
  4. ^ Долбилин, Николай П .; Ито, Джин-ичи; Нара, Чи (2012). «Аффинные классы трехмерных параллелоэдров - их параметризация». В Акияме, Джин ; Кано, Микио; Сакаи, Тошинори (ред.). Вычислительная геометрия и графики - Совместная конференция Таиланда и Японии, TJJCCGG 2012, Бангкок, Таиланд, 6-8 декабря 2012 г., пересмотренные избранные статьи . Конспект лекций по информатике. 8296 . Springer. С. 64–72. DOI : 10.1007 / 978-3-642-45281-9_6 .
  5. ^ Федоров, ES (1885). Начала учения о фигурах [ Введение в теорию фигур ].
  6. ^ Сенешаль, Марджори ; Галиулин, Р.В. (1984). «Введение в теорию фигур: геометрия Е.С. Федорова». Структурная топология (на английском и французском языках) (10): 5–22. ЛВП : 2099/1195 . Руководство по ремонту 0768703 . 
  7. ^ a b c Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1980). «Плитки из одинаковых плиток» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 3 (3): 951–973. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1980-14827-2 . Руководство по ремонту 0585178 . 
  8. ^ Энгель, П. (1988). Hargittai, I .; Вайнштейн Б.К. (ред.). «Математические проблемы современной кристаллографии». Кристаллические симметрии: записки Шубникова к столетию. Компьютеры и математика с приложениями . 16 (5–8): 425–436. DOI : 10.1016 / 0898-1221 (88) 90232-5 . Руководство по ремонту 0991578 . См., В частности, стр. 435 .
  9. ^ Энгель, Питер (2000). «Типы сжатия параллелоэдров в ». Acta Crystallographica . 56 (5): 491–496. DOI : 10.1107 / S0108767300007145 . Руководство по ремонту 1784709 . 
  10. ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A071880 (Количество комбинаторных типов n-мерных параллелоэдров)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
  11. ^ Деза, Мишель ; Грищухин, Вячеслав П. (2008). «Еще о 52 четырехмерных параллелоэдрах». Тайваньский математический журнал . 12 (4): 901–916. arXiv : math / 0307171 . DOI : 10.11650 / twjm / 1500404985 . Руководство по ремонту 2426535 . 
  12. ^ Остин, Дэвид (ноябрь 2013 г.). «Пять параллелоэдров Федорова» . Колонка характеристик AMS . Американское математическое общество.

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. "Первичный параллелоэдр" . MathWorld .