Квазирегулярный многогранник

Квазирегулярные фигуры Области прямоугольного треугольника (pq 2), = г {р, q} г {4,3} г {5,3} г {6,3} г {7,3} ... г {∞, 3} (3,4) 2 (3,5) 2 (3,6) 2 (3,7) 2 (3.∞) 2 Домены равнобедренного треугольника (стр. 3), знак равно = h {6, p} ч {6,4} ч {6,5} ч {6,6} ч {6,7} ... h {6, ∞} знак равно знак равно знак равно знак равно знак равно (4,3) 4 (5,3) 5 (6,3) 6 (7,3) 7 (∞.3) ∞ Домены равнобедренного треугольника (стр. 4), знак равно = h {8, p} ч {8,3} ч {8,5} ч {8,6} ч {8,7} ... h {8, ∞} знак равно знак равно знак равно знак равно знак равно (4,3) 3 (4,5) 5 (4,6) 6 (4,7) 7 (4.∞) ∞ Область скален-треугольника (5 4 3), (3,5) 4 (4,5) 3 (3,4) 5 Квазирегулярная многогранник или плиточный имеет ровно два вида регулярное лица, которые чередуются вокруг каждой вершины. Фигуры их вершин представляют собой изогональные многоугольники .

Регулярные и квазирегулярные фигуры Области прямоугольного треугольника (pp 2), знак равно = Г {р, р} = {р, 4} 1 / 2 {3,4} 1 / 2 г {3,3} {4,4} 1 / 2 г {4,4} {} 5,4 1 / 2 г {5,5} {} 6,4 1 / 2 г {6,6} ... {∞, 4} 1 / 2 г {∞, ∞} знак равно знак равно знак равно знак равно знак равно (3,3) 2 (4,4) 2 (5.5) 2 (6,6) 2 (∞.∞) 2 Домены равнобедренного треугольника (стр. 3), знак равно = {Р, 6} 1 / 2 {3,6} 1 / 2 {4,6} 1 / 2 {5,6} 1 / 2 {6,6} +1 / +2 ... {∞, 6} 1 / 2 знак равно знак равно знак равно знак равно знак равно (3,3) 3 (4,4) 3 (5.5) 3 (6,6) 3 (∞.∞) 3 Домены равнобедренного треугольника (стр. 4), знак равно = {Р, 8} 1 / 2 {3,8} 1 / 2 {4,8} 1 / 2 {5,8} 1 / 2 {6,8} 1 / 2 ... {∞, 8} 1 / 2 знак равно знак равно знак равно знак равно знак равно (3,3) 4 (4,4) 4 (5,5) 4 (6,6) 4 (∞.∞) 4 Правильный многогранник или плиточный можно считать квазирегулярным , если он имеет четное число граней вокруг каждой вершины (и , таким образом , может иметь попеременно цветные лицо).

В геометрии , A квазирегулярная полиэдр является однородным полиэдр , что имеет ровно два вида регулярных граней , которые чередуются вокруг каждой вершины . Они являются вершинно-транзитивными и реберно-транзитивными , следовательно, на шаг ближе к правильным многогранникам, чем к полуправильным , которые просто вершинно-транзитивны.

Их двойные цифры являются лицом транзитивны и ребрами транзитивны; у них есть ровно два типа правильных вершинных фигур , которые чередуются вокруг каждой грани . Иногда их также считают квазирегулярными.

Есть только две выпуклые квазирегулярная многогранники: кубооктаэдр и икосододекаэдр . Их имена, данные Кеплером , основаны на признании того, что их грани - это все грани (повернутые по-разному) двойного парного куба и октаэдра в первом случае и двойных парных икосаэдра и додекаэдра во втором.

Этим формам, представляющим пару правильной фигуры и ее двойника, можно дать вертикальный символ Шлефли или r {p, q} , чтобы обозначить, что все их грани являются гранями (повернутыми по-разному) как правильного {p, q}, так и двойственное регулярное {q, p} . Квазирегулярный многогранник с этим символом будет иметь конфигурацию вершин p.qpq (или (pq) ² ).${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$

В более общем смысле, квазирегулярная фигура может иметь конфигурацию вершин (pq) ^r , представляющую r (2 или более) последовательностей граней вокруг вершины.

Замощения на плоскости также могут быть квазирегулярными, в частности трехгексагональные , с конфигурацией вершин (3.6) ² . На гиперболической плоскости существуют и другие квазирегулярные мозаики , например тригептагональные мозаики , (3.7) ² . Или, в более общем смысле: (pq) ² , где 1 / p + 1 / q <1/2 .

Правильные многогранники и мозаики с четным числом граней в каждой вершине также можно считать квазирегулярными, если различать грани одного порядка, представлять их по-разному, например раскрашивать их поочередно (без определения ориентации поверхности). Правильная фигура с символом Шлефли {p, q} может считаться квазирегулярной с конфигурацией вершин (pp) ^{q / 2} , если q четно.

Примеры:

Правильный октаэдр с символом Шлефли {3,4} и четным числом 4 можно считать квазирегулярным как тетраэдр (2 набора по 4 треугольника тетраэдра ) с конфигурацией вершин (3.3) ^4/2 = (3 _a .3 _б ) ² , чередуя два цвета треугольных граней.

Квадратная плитку , с конфигурацией вершины 4 ⁴ и 4 будучи даже, можно считать квазирегулярной, с вершиной конфигурации (4.4) ^4/2 = (4 0,4 _б ) ² , цветные в качестве шахматной доски .

Треугольная плитку , с конфигурацией вершины 3 ⁶ и 6 будучи даже, можно считать квазирегулярной, с вершиной конфигурации (3.3) ^6/2 = (3 0,3 _б ) ³ , чередуя два цвета треугольных граней.

Строительство Wythoff [ править ]

Кокстер определяет квазирегулярный многогранник как многогранник, имеющий символ Уайтхоффа в форме p | qr , и регулярно, если q = 2 или q = r. ^[1]

Схема Кокстера-Дынкина еще одно символическое представление , которое показывает квазирегулярный соотношение между двумя двумя регулярными формами:

Символ Шлефли		Диаграмма Кокстера	Символ Wythoff
${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	{p, q}		q | 2 шт.
${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}$	{q, p}		p | 2 кв.
${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	г {р, д}	или же	2 | pq

Выпуклые квазирегулярные многогранники [ править ]

Есть два равномерных выпуклых квазирегулярных многогранника:

1. Кубооктаэдр , конфигурация вершин (3.4) ² , Кокстер-Дынкина${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 4 \ end {Bmatrix}}}$
2. Икосододекаэдр , конфигурация вершин (3.5) ² , Кокстер-Дынкина${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 5 \ end {Bmatrix}}}$

Кроме того, октаэдр , который также является правильным , конфигурация вершин (3.3) ² может считаться квазирегулярным, если чередующиеся грани имеют разные цвета. В этой форме его иногда называют тетратетраэдром . Остальные выпуклые правильные многогранники имеют нечетное количество граней в каждой вершине, поэтому их нельзя раскрасить таким образом, чтобы сохранить транзитивность ребер. Имеет диаграмму Кокстера-Дынкина${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$

Каждый из них образует общую сердцевину дуальной пары правильных многогранников . Имена двух из них дают ключ к разгадке связанной дуальной пары: соответственно кубический октаэдр и икосаэдр додекаэдр . Октаэдр является общим ядром двойственной пары тетраэдров (соединение , известное как STELLA octangula ); полученный таким образом октаэдр иногда называют тетраэдром , как тетраэдр тетраэдром .${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$

Обычный	Двойной обычный	Квазирегулярное общее ядро	Фигура вершины
Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3	Тетратетраэдр r {3,3} 2 | 3 3	3.3.3.3
Куб {4,3} 3 | 2 4	Октаэдр {3,4} 4 | 2 3	Кубооктаэдр r {3,4} 2 | 3 4	3.4.3.4
Додекаэдр {5,3} 3 | 2 5	Икосаэдр {3,5} 5 | 2 3	Икосододекаэдр r {3,5} 2 | 3 5	3.5.3.5

Каждый из этих квазирегулярных многогранников может быть построен с помощью операции исправления на любом регулярном родительском элементе, полностью усекая вершины, пока каждое исходное ребро не будет уменьшено до его средней точки.

Квазирегулярные мозаики [ править ]

Эта последовательность продолжается как тригексагональный тайлинг , вершинная фигура (3.6) ² - квазирегулярный тайлинг, основанный на треугольном замощении и шестиугольном замощении .

Обычный	Двойной обычный	Квазирегулярное сочетание	Фигура вершины
Шестиугольная черепица {6,3} 6 | 2 3	Треугольная черепица {3,6} 3 | 2 6	Трехгранная черепица r {6,3} 2 | 3 6	(3,6) 2

Шахматный шаблон является квазирегулярной окраской квадратной плитки , вершины фигуры (4.4) ² :

Обычный	Двойной обычный	Квазирегулярное сочетание	Фигура вершины
{4,4} 4 | 2 4	{4,4} 4 | 2 4	г {4,4} 2 | 4 4	(4,4) 2

Треугольные плитки также можно считать квазирегулярными, с тремя наборами чередующихся треугольников в каждой вершине, (3.3) ³ :

h {6,3} 3 | 3 3 знак равно

В гиперболической плоскости эта последовательность продолжается и дальше, например, тригептагональная мозаика , вершинная фигура (3.7) ² - квазирегулярная мозаика, основанная на треугольной мозаике порядка 7 и семиугольной мозаике .

Обычный	Двойной обычный	Квазирегулярное сочетание	Фигура вершины
Плитка семиугольной формы {7,3} 7 | 2 3	Треугольная черепица {3,7} 3 | 2 7	Тригептагональная черепица r {3,7} 2 | 3 7	(3,7) 2

Невыпуклые примеры [ править ]

Coxeter, HSM et al. (1954) также классифицируют некоторые звездные многогранники , имеющие те же характеристики, как квазирегулярные.

Два основаны на двойственных парах регулярных тел Кеплера – Пуансо так же, как и в выпуклых примерах:

большой икосододекаэдр и dodecadodecahedron :${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3\\5/2\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}5\\5/2\end{Bmatrix}}}$

Обычный	Двойной обычный	Квазирегулярное общее ядро	Фигура вершины
Большой звездообразный додекаэдра { 5 / 2 , 3} 3 | 2 5/2	Большой икосаэдр {3, 5 / 2 } 5/2 | 2 3	Большой икосододекаэдр г {3, 5 / 2 } 2 | 3 5/2	3. 5 / 2 .3. 5 / 2
Малый звездообразный додекаэдра { 5 / 2 , 5} 5 | 2 5/2	Большой додекаэдр {5, 5 / 2 } 5/2 | 2 5	Dodecadodecahedron г {5, 5 / 2 } 2 | 5 5/2	5. 5 / 2 0,5. 5 / 2

Еще девять - это гемиполиэдры , которые представляют собой фасеточные формы вышеупомянутых квазирегулярных многогранников, полученных в результате выпрямления правильных многогранников. К ним относятся экваториальные грани, проходящие через центр многогранников:

Наконец, есть три дитригональные формы, все грани правильного додекаэдра, чьи вершинные фигуры содержат три чередования двух типов граней:

Изображение	Граненая форма Символ Уайтхоффа Диаграмма Кокстера	Фигура вершины
	Дитригональный додекадодекаэдр 3 | 5/3 5 или	(5,5 / 3) 3
	Малый дитригональный икосододекаэдр 3 | 5/2 3 или	(3,5 / 2) 3
	Большой дитригональный икосододекаэдр 3/2 | 3 5 или	((3,5) 3 ) / 2

На евклидовой плоскости последовательность гемиполиэдров продолжается следующими четырьмя звездными мозаиками, где апейрогоны появляются как вышеупомянутые экваториальные многоугольники:

Квазирегулярные двойники [ править ]

Некоторые авторитетные источники утверждают, что, поскольку двойники квазирегулярных тел обладают одинаковой симметрией, эти двойники также следует называть квазирегулярными. Но не все используют эту терминологию. Эти двойники транзитивны по своим ребрам и граням (но не по вершинам); они представляют собой каталонские твердые тела с переходным ребром . Выпуклые, в соответствующем порядке, как указано выше:

1. Ромбический додекаэдр , с двумя типами чередующихся вершин, 8 с тремя ромбическими гранями и 6 с четырьмя ромбическими гранями.
2. Ромбический триаконтаэдр , с двумя типами чередующихся вершин, 20 с тремя ромбическими гранями и 12 с пятью ромбическими гранями.

Кроме того, из-за двойственности с октаэдром куб , который обычно является правильным , можно сделать квазирегулярным, если альтернативным вершинам присвоить разные цвета.

Конфигурация их граней имеет вид V3.n.3.n, а диаграмма Кокстера-Дынкина

Куб V (3,3) 2	Ромбический додекаэдр V (3.4) 2	Ромбический триаконтаэдр V (3.5) 2	Ромбовидная плитка V (3,6) 2	В (3,7) 2	V (3.8) 2

Эти три квазирегулярных двойника также имеют ромбические грани.

Этот ромбовидный узор продолжается как V (3.6) ² , ромбическая мозаика .

Квазирегулярные многогранники и соты [ править ]

В более высоких измерениях Кокстер определил квазирегулярный многогранник или соты, которые имеют правильные грани и квазирегулярные фигуры вершин. Отсюда следует, что все фигуры вершин конгруэнтны и есть два вида фасетов, которые чередуются. ^[2]

В евклидовом 4-мерном пространстве регулярные 16-ячеечные клетки также можно рассматривать как квазирегулярные как альтернативный тессеракт , h {4,3,3}, диаграммы Кокстера : знак равно , состоящий из чередующихся ячеек тетраэдра и тетраэдра . Его вершинная фигура - квазирегулярный тетраэдр (октаэдр с тетраэдрической симметрией),.

Единственные квазирегулярные соты в евклидовом трехмерном пространстве - это чередующиеся кубические соты , h {4,3,4}, диаграммы Кокстера: знак равно , состоящий из чередующихся тетраэдрических и октаэдрических ячеек . Его вершина - квазирегулярный кубооктаэдр ,. ^[2]

В гиперболическом трехмерном пространстве одна квазирегулярная сотовая структура представляет собой чередующиеся кубические соты порядка 5 , h {4,3,5}, диаграммы Кокстера: знак равно , состоящий из чередующихся тетраэдрических и икосаэдрических ячеек . Его вершина - квазирегулярный икосододекаэдр ,. Связанная паракомпактная чередующаяся кубическая сотовая структура h {4,3,6} имеет чередующиеся тетраэдрические и гексагональные мозаичные ячейки, а фигура вершин представляет собой квазирегулярную трехгексагональную мозаику ,.

Квазирегулярные полихоры и соты: h {4, p, q}
Космос	Конечный	Аффинный	Компактный	Паракомпакт
Символ Шлефли	ч {4,3,3}	ч {4,3,4}	ч {4,3,5}	ч {4,3,6}	ч {4,4,3}	ч {4,4,4}
	${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{4 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{5 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{3,{6 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{4 \atop 3}\right\}}$	${\displaystyle \left\{4,{4 \atop 4}\right\}}$
Диаграмма Кокстера	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
Изображение
Фигура вершины r {p, 3}

Правильная полихора или соты формы {p, 3,4} или симметрию можно сократить вдвое, как в квазирегулярную форму , создавая поочередно окрашенные {p, 3} ячейки. Эти случаи включают евклидовы кубические соты {4,3,4} с кубическими ячейками, компактные гиперболические {5,3,4} с додекаэдрическими ячейками и паракомпактные {6,3,4} с бесконечными шестиугольными мозаичными ячейками. У них по четыре ячейки по краям, чередующиеся двух цветов. Их вершинные фигуры представляют собой квазирегулярные тетратраэдры, знак равно .

Общая вершина фигуры - квазирегулярный тетратраэдр, , так же, как правильный октаэдр

Обычные и квазирегулярные соты: {p, 3,4} и {p, 3 1,1 }
Космос	Евклидово 4-пространство	Евклидово 3-пространство	Гиперболическое 3-пространство
Имя	{3,3,4} {3,3 1,1 } =${\displaystyle \left\{3,{3 \atop 3}\right\}}$	{4,3,4} {4,3 1,1 } =${\displaystyle \left\{4,{3 \atop 3}\right\}}$	{5,3,4} {5,3 1,1 } =${\displaystyle \left\{5,{3 \atop 3}\right\}}$	{6,3,4} {6,3 1,1 } =${\displaystyle \left\{6,{3 \atop 3}\right\}}$
Диаграмма Кокстера	знак равно	знак равно	знак равно	знак равно
Изображение
Ячейки {p, 3}

Аналогично правильные гиперболические соты формы {p, 3,6} или симметрию можно сократить вдвое, как в квазирегулярную форму , создавая поочередно окрашенные {p, 3} ячейки. У них по шесть ячеек по краям, чередующихся двух цветов. Их вершинные фигуры представляют собой квазирегулярные треугольные мозаики ,.

Фигура общей вершины представляет собой квазирегулярный треугольный мозаичный пол , знак равно

Гиперболические однородные соты : {p, 3,6} и {p, 3 ^[3] }

• v
• т
• е

Форма	Паракомпакт				Некомпактный
Имя	{3,3,6} {3,3 [3] }	{4,3,6} {4,3 [3] }	{5,3,6} {5,3 [3] }	{6,3,6} {6,3 [3] }	{7,3,6} {7,3 [3] }	{8,3,6} {8,3 [3] }	... {∞, 3,6} {∞, 3 [3] }
Изображение
Клетки	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}

См. Также [ править ]

• Киральный многогранник
• Ректификация (геометрия)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кромвель, П. Многогранники , издательство Кембриджского университета (1977).
• Коксетер , Правильные многогранники , (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN  0-486-61480-8 , 2.3 Квазирегулярные многогранники. (стр.17), Квазирегулярные соты стр.69

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Квазирегулярный многогранник" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Равномерный многогранник» . MathWorld .Квазиправильные многогранники: (pq) ^r
• Джордж Харт, Квазирегулярные многогранники