В классической механике , голономные ограничения являются отношениями между переменными позиции (и , возможно , время , [1] ) , которые могут быть выражены в следующем виде:
где - n обобщенных координат , описывающих систему. Например, движение частицы, вынужденной лежать на поверхности сферы , подчиняется голономной связи, но если частица может упасть со сферы под действием силы тяжести, связь становится неголономной. В первом случае голономная связь может быть задана уравнением:
где расстояние от центра сферы радиуса , тогда как второй неголономный случай может быть задан следующим образом:
Ограничения, зависящие от скорости, такие как:
обычно не являются голономными. [ необходима цитата ]
Голономная система (физика)
В классической механике систему можно определить как голономную, если все связи системы голономны. Чтобы ограничение было голономным, оно должно быть выражено как функция :
т.е. голономная связь зависит только от координат и, может быть, время . [1] Это не зависит от скоростей или любой производной высшего порядка по t . Ограничение, которое не может быть выражено в форме, показанной выше, является неголономным ограничением .
Вступление
Как описано выше, голономная система - это (проще говоря) система, в которой можно вывести состояние системы, зная только информацию об изменении положений компонентов системы во времени, но не имея необходимости знать скорость или в каком порядке компоненты перемещались друг относительно друга. Напротив, неголономная система часто является системой, в которой скорости компонентов во времени должны быть известны, чтобы иметь возможность определять изменение состояния системы, или системой, в которой движущаяся часть не может быть привязана к ограничению. поверхность, реальная или воображаемая. Примерами голономных систем являются портальные краны, маятники и роботизированные манипуляторы. Примерами неголономных систем являются сегвеи , одноколесные велосипеды и автомобили.
Терминология
Конфигурационное пространство перечисляет смещение компонентов системы, по одному для каждой степени свободы . Система, которую можно описать с помощью конфигурационного пространства, называется склерономической .
Пространство событий идентично пространству конфигурации, за исключением добавления переменнойдля представления изменений в системе с течением времени (при необходимости для описания системы). Система, которая должна быть описана с использованием пространства событий, а не только пространства конфигурации, называется реономической . Многие системы можно описать склерономически или реономически. Например, полное допустимое движение маятника может быть описано с помощью склерономической связи, но движение маятника во времени должно быть описано с помощью реономической связи.
Пространство состояний - конфигурационное пространство плюс члены, описывающие скорость каждого члена в конфигурационном пространстве.
Пространство состояния-времени добавляет время.
Примеры
Козловой кран
Как показано справа, козловой кран - это мостовой кран, который может перемещать свой крюк по 3 осям, как показано стрелками. Интуитивно мы можем сделать вывод, что кран должен быть голономной системой, поскольку для данного движения его компонентов не имеет значения, в каком порядке или скорости движутся компоненты: до тех пор, пока общее смещение каждого компонента из заданного начального состояния то же самое, все части и система в целом окажутся в одном и том же состоянии. Математически мы можем доказать это как таковое:
Мы можем определить конфигурационное пространство системы как:
Можно сказать, что отклонения каждого компонента крана от его «нулевого» положения составляют , , а также , для синего, зеленого и оранжевого компонентов соответственно. Ориентация и размещение системы координат не имеет значения в том, является ли система голономной, но в этом примере компоненты движутся параллельно ее осям. Если начало системы координат находится в левом нижнем углу крана, то мы можем записать уравнение ограничения положения в виде:
Где высота крана. При желании мы можем упростить до стандартной формы, где все константы помещаются после переменных:
Поскольку мы вывели уравнение связи в голономной форме (в частности, наше уравнение связи имеет вид где ), мы видим, что эта система должна быть голономной.
Маятник
Как показано справа, простой маятник - это система, состоящая из груза и веревки. Веревка прикреплена верхним концом к оси, а нижним концом - к грузу. Длина строки нерастяжима, поэтому она постоянна. Эта система является голономной, поскольку подчиняется голономной связи
где положение груза и - длина строки.
Жесткое тело
Частицы твердого тела подчиняются голономной связи
где , - соответственно положения частиц а также , а также расстояние между ними. Если данная система является голономной, жесткое присоединение дополнительных частей к компонентам рассматриваемой системы не может сделать ее неголономной, если предположить, что степени свободы не уменьшены (другими словами, если конфигурационное пространство не изменилось).
Пфаффова форма
Рассмотрим следующую дифференциальную форму ограничения:
где коэффициенты при дифференциалах для i- го уравнения связи. Эта форма называется формой Пфаффа или дифференциальной формой .
Если дифференциальная форма интегрируема, т. Е. Существует функция удовлетворяющий равенству
тогда это ограничение является голономным ограничением; в противном случае он неголономный. Следовательно, все голономные и некоторые неголономные связи могут быть выражены с помощью дифференциальной формы. Примеры неголономных связей, которые нельзя выразить таким образом, - это те, которые зависят от обобщенных скоростей. [ требуется пояснение ] Для уравнения связи в форме Пфаффа, является ли связь голономной или неголономной, зависит от того, интегрируема ли форма Пфаффа. См. Универсальный тест для голономных ограничений ниже для описания теста для проверки интегрируемости (или отсутствия) ограничения формы Пфаффа.
Универсальный тест на голономные ограничения
Когда уравнение связи системы записывается в форме ограничений Пфаффа , существует математический тест, позволяющий определить, является ли система голономной.
Для уравнения связи или наборы уравнений ограничений (обратите внимание, что переменная (ы), представляющая время, может быть включена, как указано выше а также в следующем виде):
мы можем использовать тестовое уравнение:
где:
Другими словами, система из трех переменных должна быть протестирована один раз с одним тестовым уравнением с членами быть терминами в уравнении ограничений (в любом порядке), но для проверки системы из четырех переменных тест необходимо будет выполнить до четырех раз с четырьмя различными тестовыми уравнениями с членами быть терминами , , , а также в уравнении ограничения (каждое в любом порядке) в четырех различных тестах. Для системы из пяти переменных необходимо провести десять тестов на голономной системе, чтобы проверить этот факт, а для системы из шести переменных с тремя наборами уравнений ограничений - двадцать тестов (при условии упрощения, такого как замена переменной не может быть выполнено, чтобы уменьшить это число). По этой причине при использовании этого метода на системах с более чем тремя переменными рекомендуется руководствоваться здравым смыслом относительно того, является ли рассматриваемая система голономной, и проводить тестирование только в том случае, если система, вероятно, не является голономной. Кроме того, также лучше всего использовать математическую интуицию, чтобы попытаться предсказать, какой тест провалится первым, и начать с этого, пропуская сначала тесты, которые кажутся вероятными.
Если каждое тестовое уравнение верно для всего набора комбинаций для всех уравнений связи, система является голономной. Если это неверно хотя бы для одной тестовой комбинации, система неголономна.
Пример
Рассмотрим эту динамическую систему, описываемую уравнением связи в форме Пфаффа.
Конфигурационное пространство при осмотре . Поскольку в конфигурационном пространстве всего три члена, потребуется только одно тестовое уравнение. Мы можем организовать члены уравнения ограничения как таковые, готовясь к замене:
Подставляя термины, наше тестовое уравнение становится:
После вычисления всех частных производных получаем:
Упрощая, находим, что:
Мы видим, что наше тестовое уравнение верно, а значит, система должна быть голономной.
Мы закончили наш тест, но теперь, зная, что система голономная, мы можем захотеть найти уравнение голономной связи. Мы можем попытаться найти его, интегрировав каждый член формы Пфаффа и попытавшись объединить их в одно уравнение как таковое:
Легко видеть, что мы можем объединить результаты наших интеграций, чтобы найти уравнение голономной связи:
где C - постоянная интегрирования.
Ограничения постоянных коэффициентов
Для данного ограничения Пфаффа, где каждый коэффициент каждого дифференциала является константой, другими словами, ограничение в форме:
ограничение должно быть голономным.
Мы можем доказать это следующим образом: рассмотрим систему ограничений в форме Пфаффа, в которой каждый коэффициент каждого дифференциала является константой, как описано выше. Чтобы проверить, является ли эта система ограничений голономной, мы используем универсальный тест . Мы видим, что в тестовом уравнении есть три члена, сумма которых должна равняться нулю. Следовательно, если каждый из этих трех членов во всех возможных тестовых уравнениях равен нулю, тогда все тестовые уравнения верны, и это система голономная. Каждый член каждого тестового уравнения имеет вид:
где:
- , , а также какие-то комбинации (с / общие комбинации) а также для данного ограничения .
- , , а также соответствующие комбинации а также .
Дополнительно есть наборы тестовых уравнений.
Мы видим, что по определению все являются константами. В математике хорошо известно, что любая производная (полная или частичная) любой константы равна. Следовательно, мы можем уменьшить каждую частную производную до:
и, следовательно, каждый член равен нулю, левая часть каждого тестового уравнения равна нулю, каждое тестовое уравнение истинно, и система является голономной.
Конфигурационные пространства двух или одной переменной
Любая система, которая может быть описана ограничением Пфаффа и имеет конфигурационное пространство или пространство состояний только из двух переменных или одной переменной, является голономной.
Мы можем доказать это как таковое: рассмотрим динамическую систему с конфигурационным пространством или пространством состояний, описанным как:
если система описывается пространством состояний, мы просто говорим, что равно нашей временной переменной . Эта система будет описана в форме Пфаффа:
с участием наборы ограничений. Система будет протестирована с помощью универсального теста. Однако универсальный тест требует трех переменных в конфигурации или пространстве состояний. Чтобы учесть это, мы просто добавляем фиктивную переменную в конфигурацию или пространство состояний, чтобы сформировать:
Поскольку фиктивная переменная по определению не является мерой чего-либо в системе, его коэффициент в пфаффовой форме должен быть . Таким образом, мы пересматриваем нашу форму Пфаффа:
Теперь мы можем использовать тест как таковой для данного ограничения. если есть набор ограничений:
Осознав, что: потому что фиктивная переменная не может присутствовать в коэффициентах, используемых для описания системы, мы видим, что тестовое уравнение должно быть истинным для всех наборов уравнений связи, и, следовательно, система должна быть голономной. Аналогичное доказательство может быть проведено с одной реальной переменной в конфигурации или пространстве состояний и двумя фиктивными переменными, чтобы подтвердить, что системы с одной степенью свободы, описываемые в форме Пфаффа, также всегда голономны.
В заключение мы понимаем, что, хотя неголономные системы можно моделировать в форме Пфаффа, любая система, моделируемая в форме Пфаффа, с двумя или меньшим количеством степеней свободы (количество степеней свободы равно количеству членов в конфигурационном пространстве ) должен быть голономным.
Важное примечание: поймите, что тестовое уравнение не удалось из-за того, что фиктивная переменная и, следовательно, фиктивный дифференциал, включенный в тест, будет дифференцировать все, что является функцией фактической конфигурации или переменных пространства состояний, на. Наличие системы с конфигурацией или пространством состояний:
и набор ограничений, в котором одно или несколько ограничений имеют форму Пфаффа:
вовсе не гарантирует систему голономен, а даже если один дифференциал имеет коэффициент, есть еще три степени свободы, описанные в конфигурации или пространстве состояний.
Преобразование в независимые обобщенные координаты
Уравнения голономной связи могут помочь нам легко удалить некоторые зависимые переменные в нашей системе. Например, если мы хотим удалить, который является параметром в уравнении связи , мы можем переписать уравнение в следующую форму, если предположить, что это можно сделать,
и заменить в каждом уравнении системы, используя указанную выше функцию. Это всегда можно сделать для общих физических систем при условии, что является , то по теореме о неявной функции решениегарантируется в некотором открытом множестве. Таким образом, можно удалить все вхождения зависимой переменной..
Предположим, что физическая система имеет степени свободы. Сейчас,на систему накладываются голономные связи. Тогда количество степеней свободы сокращается до. Мы можем использоватьнезависимые обобщенные координаты (), чтобы полностью описать движение системы. Уравнение преобразования можно выразить следующим образом:
Классификация физических систем
Чтобы изучать классическую физику строго и методично, нам необходимо классифицировать системы. Основываясь на предыдущем обсуждении, мы можем классифицировать физические системы на голономные системы и неголономные системы . Одним из условий применимости многих теорем и уравнений является то, что система должна быть голономной системой. Например, если физическая система - это голономная система и моногенная система , то принцип Гамильтона является необходимым и достаточным условием правильности уравнения Лагранжа . [2]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ а б Гольдштейн, Герберт (2002). «1.3 Ограничения». Классическая механика (Третье изд.). Пирсон Индия: Аддисон-Уэсли. стр. 12 -13. ISBN 9788131758915. OCLC 960166650 .
- ^ Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (3-е изд.). Соединенные Штаты Америки: Эддисон Уэсли. п. 45 . ISBN 0-201-65702-3. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )