Превращение Лежандра

В математике и физике , то преобразование Лежандра , названный в честь Лежандр , является инволютивно преобразование на реальных значных выпуклых функций одной вещественной переменной. В физических задачах он используется для преобразования функций одной величины (например, положения, давления или температуры) в функции сопряженной величины (импульса, объема и энтропии соответственно). Таким образом, он обычно используется в классической механике для вывода гамильтонова формализма из лагранжевого формализма и в термодинамике.для вывода термодинамических потенциалов , а также при решении дифференциальных уравнений многих переменных.

Для достаточно гладких функций на вещественной прямой преобразование Лежандра функции может быть задано с точностью до аддитивной константы условием, что первые производные функций являются обратными функциями друг друга. Это может быть выражено в обозначении производной Эйлера как${\ displaystyle f ^ {*}}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle Df (\ cdot) = \ left (Df ^ {*} \ right) ^ {- 1} (\ cdot) ~,}$где означает функцию такую, что${\ Displaystyle (\ phi) ^ {- 1} (\ cdot)}$${\ Displaystyle (\ phi) ^ {- 1} (\ phi (x)) = х ~,}$

или, что то же самое, как и в обозначениях Лагранжа .${\ displaystyle f '(f ^ {* \ prime} (x ^ {*})) = x ^ {*}}$${\ Displaystyle е ^ {* \ простое} (е '(х)) = х}$

Обобщение преобразования Лежандра на аффинные пространства и невыпуклые функции известно как выпуклое сопряжение (также называемое преобразованием Лежандра – Фенхеля), которое можно использовать для построения выпуклой оболочки функции .

Определение [ править ]

Пусть быть интервал , и выпуклая функция ; то его преобразование Лежандра - это функция, определяемая формулой${\ Displaystyle I \ подмножество \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f ^ {*}: I ^ {*} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = \ sup _ {x \ in I} (x ^ {*} xf (x)), \ quad x ^ {*} \ in I ^ {* }}$

где обозначает верхнюю грань , а область определения${\ displaystyle \ sup}$ ${\ Displaystyle I ^ {*}}$

${\displaystyle I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x))<\infty \right\}~.}$

Преобразование всегда хорошо определено, когда оно выпукло .${\displaystyle f(x)}$

Обобщение на выпуклые функции на выпуклом множестве просто: имеет область определения${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}$

и определяется

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}$

где обозначает скалярное произведение из и .${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle }$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x}$

Функция называется выпуклой сопряженной функцией . По историческим причинам (уходящим корнями в аналитическую механику) сопряженная переменная часто обозначается вместо . Если выпуклая функция определена на всей прямой и всюду дифференцируема , то${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x\in I}(px-f(x))=\left(px-f(x)\right)|_{x=(f')^{-1}(p)}}$

может быть интерпретирован как негатив в -intercept от касательной линии к графику в том , что имеет наклон . y {\displaystyle y} ${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$

Преобразование Лежандра - это применение отношения двойственности между точками и линиями. Функциональная связь, заданная параметром, может быть представлена ​​в равной степени как набор точек или как набор касательных линий, заданных их значениями наклона и пересечения.${\displaystyle f}$${\displaystyle (x,y)}$

Понимание преобразования с точки зрения производных [ править ]

Для дифференцируемой выпуклой функции на вещественной прямой с обратимой первой производной преобразование Лежандра может быть задано с точностью до аддитивной константы при условии, что первые производные функций являются обратными функциями друг друга. Явно, для дифференцируемой выпуклой функции на вещественной прямой с первой производной с обратной , преобразование Лежандра (с производной с обратной ) может быть задано с точностью до аддитивной константы условием, что и являются обратными функциями друг друга, т. , и .${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle (f')^{-1}}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle (f^{*})'}$${\displaystyle ((f^{*})^{\prime })^{-1}}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle (f^{*})^{\prime }}$${\displaystyle f'=((f^{*})^{\prime })^{-1}}$${\displaystyle (f^{*})^{\prime }=(f')^{-1}}$

Чтобы убедиться в этом, сначала заметьте, что если дифференцируема и является критической точкой функции от , то супремум достигается в (по выпуклости). Поэтому .${\displaystyle f}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle x\mapsto p\cdot x-f(x)}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot {\overline {x}}-f({\overline {x}})}$

Предположим, что это обратимо, и обозначим его обратное. Тогда для каждого точка является единственной критической точкой . Действительно, так вот . Следовательно, у нас есть для каждого . Дифференцируя по, находим ${\displaystyle f'}$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$${\displaystyle h(p)}$${\displaystyle x\mapsto px-f(x)}$${\displaystyle f'(h(p))=p}$${\displaystyle p-f'(h(p))=0}$${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot h(p)-f(h(p))}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle (f^{*})'(p)=h(p)+p\cdot h'(p)-f'(h(p))\cdot h'(p).}$

Поскольку это упрощает до . Другими словами, и являются обратными.${\displaystyle f'(h(p))=p}$${\displaystyle (f^{*})'(p)=h(p)}$${\displaystyle (f^{*})'}$${\displaystyle f'}$

В общем, если является обратной величиной , то интегрирование дает константу, так что .${\displaystyle g'}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle g'=(f^{*})'}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f^{*}=g+c}$

На практике, учитывая , что параметрический график зависимости представляет собой график зависимости от .${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle xf'(x)-f(x)}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle g(p)}$${\displaystyle p}$

В некоторых случаях (например, термодинамические потенциалы, ниже) используется нестандартное требование, равное альтернативному определению f * со знаком минус ,

${\displaystyle f(x)-f^{*}(p)=xp.}$

Свойства [ править ]

• Преобразование Лежандра выпуклой функции выпукло.

Покажем это для случая дважды дифференцируемой с ненулевой (а значит, положительной из-за выпуклости) двойной производной.${\displaystyle f}$

Для фиксированного позвольте максимизировать . Затем , отметив, что это зависит от . Таким образом,${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle px-f(x)}$${\displaystyle f^{*}(p)=px-f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p~}$

${\displaystyle f^{\prime }(x)=p~.}$

Производная от сама дифференцируема с положительной производной и, следовательно, строго монотонна и обратима.${\displaystyle f}$

Таким образом, где , означает, что определяется так, что .${\displaystyle x=g(p)}$${\displaystyle g\equiv (f^{\prime })^{-1}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f'(g(p))=p}$

Обратите внимание, что это также дифференцируемо со следующей производной,${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}~.}$

Таким образом, композиция дифференцируемых функций, следовательно, дифференцируема.${\displaystyle f^{*}(p)=pg(p)-f(g(p))}$

Применяя правило продукта и цепное правило урожайности

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(f^{*})}{dp}}&=g(p)+\left(p-f'(g(p))\right)\cdot {\frac {dg(p)}{dp}}\\[4pt]&=g(p),\end{aligned}}}$

давая

${\displaystyle {\frac {d^{2}(f^{*})}{dp^{2}}}={\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}>0,}$

так выпуклый.${\displaystyle f^{*}}$

• Отсюда следует, что преобразование Лежандра является инволюцией , т. Е .:${\displaystyle f^{**}=f~}$

Используя указанные выше равенства для , и его производную,${\displaystyle g(p)}$${\displaystyle f^{*}(p)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(x)&{}=\left(x\cdot p_{s}-f^{*}(p_{s})\right)_{|{\frac {d}{dp}}f^{*}(p=p_{s})=x}\\[5pt]&{}=g(p_{s})\cdot p_{s}-f^{*}(p_{s})\\[5pt]&{}=f(g(p_{s}))\\[5pt]&{}=f(x)~.\end{aligned}}}$

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

Экспоненциальная функция имеет , как преобразование Лежандра, так как их соответствующие первые производные е ^х и пер р являются обратными функциями друг друга.${\displaystyle f(x)=e^{x}}$${\displaystyle f^{*}(p)=p(\ln p-1)}$

Этот пример показывает, что соответствующие области функции и ее преобразования Лежандра не обязательно должны согласовываться.

Пример 2 [ править ]

Пусть f ( x ) = cx ² определено на ℝ, где c > 0 - фиксированная константа.

При фиксированном x * функция x , x * x - f ( x ) = x * x - cx ^2, имеет первую производную x * - 2 cx и вторую производную −2 c ; есть одна стационарная точка при x = x * / 2 c , которая всегда является максимумом.

Таким образом, I * = ℝ и

${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.}$

Первые производные от f , 2 cx , и от f * , x * / (2 c ) , являются функциями, обратными друг другу. Ясно, кроме того,

${\displaystyle f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,}$

а именно f ** = f .

Пример 3 [ править ]

Пусть f ( x ) = x ² для x ∈ I = [2, 3] .

Для й * фиксировано, х * х - е ( х ) непрерывно на I компактна , поэтому она всегда принимает конечный максимум на нем; следует, что I * = ℝ .

Стационарная точка в x = x * / 2 находится в области [2, 3] тогда и только тогда, когда 4 ≤ x * ≤ 6 , в противном случае берется максимум либо при x = 2 , либо x = 3 . Следует, что

${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leqslant x^{*}\leqslant 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6.\end{cases}}}$

Пример 4 [ править ]

Функция f ( x ) = cx является выпуклой для любого x (строгая выпуклость не требуется для корректного определения преобразования Лежандра). Ясно, что x * x - f ( x ) = ( x * - c ) x никогда не ограничивается сверху как функция от x , если только x * - c = 0 . Следовательно, f * определено на I * = { c } и f * ( c ) = 0 .

Можно проверить инволютивность: конечно, x * x - f * ( x *) всегда ограничен как функция от x * ∈ { c }, поэтому I ** = ℝ . Тогда для всех x имеем

${\displaystyle \sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,}$

и, следовательно, f ** ( x ) = cx = f ( x ) .

Пример 5: несколько переменных [ править ]

Позволять

${\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c}$

быть определенным на X = ℝ ⁿ , где A - вещественная положительно определенная матрица.

Тогда f выпукла и

${\displaystyle \langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,}$

имеет градиент p - 2 Ax и гессиан −2 A , что отрицательно; следовательно, стационарная точка x = A ⁻¹ p / 2 является максимумом.

Имеем X * = ℝ ⁿ и

${\displaystyle f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.}$

Поведение дифференциалов при преобразованиях Лежандра [ править ]

Преобразование Лежандра связано с интегрированием по частям ,   pdx = d ( px ) - xdp .

Пусть f - функция двух независимых переменных x и y с дифференциалом

${\displaystyle df={\partial f \over \partial x}\,dx+{\partial f \over \partial y}\,dy=p\,dx+v\,dy.}$

Предположим, что он выпуклый по x для всех y , так что можно выполнить преобразование Лежандра по x , где p - переменная, сопряженная с x . Поскольку новой независимой переменной является p , дифференциалы dx и dy переходят в dp и dy , т. Е. Мы строим другую функцию, дифференциал которой выражается через новый базис dp и dy .

Таким образом, мы рассматриваем функцию g ( p , y ) = f - px так, что

${\displaystyle dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp+v\,dy}$

${\displaystyle x=-{\frac {\partial g}{\partial p}}}$

${\displaystyle v={\frac {\partial g}{\partial y}}.}$

Функция -g ( p , y ) является преобразованием Лежандра функции f ( x , y ) , где только независимая переменная x заменена на p . Это широко используется в термодинамике, как показано ниже.

Приложения [ править ]

Аналитическая механика [ править ]

Преобразование Лежандра используется в классической механике для вывода гамильтоновой формулировки из лагранжевой формулировки и наоборот. Типичный лагранжиан имеет вид

${\displaystyle L(v,q)={\tfrac {1}{2}}\langle v,Mv\rangle -V(q),}$

где - координаты на R ⁿ × R ⁿ , M - положительная вещественная матрица, а${\displaystyle (v,q)}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{j}x_{j}y_{j}.}$

Для каждого фиксированного q является выпуклой функцией от , а играет роль константы.${\displaystyle L(v,q)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V(q)}$

Следовательно, преобразование Лежандра как функция от v является функцией Гамильтона,${\displaystyle L(v,q)}$

${\displaystyle H(p,q)={\tfrac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q)}$.

В более общем случае - это локальные координаты на касательном расслоении многообразия . Для каждого д , является выпуклой функцией касательного пространства V _ц . Преобразование Лежандра дает гамильтониан как функцию координат ( р , д ) в кокасательном расслоении ; внутренний продукт, используемый для определения преобразования Лежандра, унаследован от соответствующей канонической симплектической структуры . В этом абстрактном контексте преобразование Лежандра соответствует тавтологической единичной форме .${\displaystyle (v,q)}$ ${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle L(v,q)}$${\displaystyle H(p,q)}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {M}}}$

Термодинамика [ править ]

Стратегия использования преобразований Лежандра в термодинамике заключается в переходе от функции, которая зависит от переменной, к новой (сопряженной) функции, которая зависит от новой переменной, сопряженной с исходной. Новая переменная - это частная производная исходной функции по исходной переменной. Новая функция - это разница между исходной функцией и произведением старой и новой переменных. Обычно это преобразование полезно, потому что оно сдвигает зависимость, например, энергии от экстенсивной переменной к сопряженной интенсивной переменной, которой обычно легче управлять в физическом эксперименте.

Например, внутренняя энергия является явной функцией энтропии , объема и химического состава обширных переменных.

${\displaystyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right),}$

который имеет полный дифференциал

${\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV+\sum \mu _{i}\,dN_{i}.}$

Предусматривая некоторое общее эталонное состояние, используя (нестандартное) преобразование Лежандра внутренней энергии U относительно объема V , энтальпия может быть определена следующим образом:

${\displaystyle H=U+PV=H(S,P,\{N_{i}\}),}$

которое теперь явно зависит от давления P , так как

${\displaystyle dH(S,P,\{N_{i}\})=T\,dS+V\,dP+\sum \mu _{i}\,dN_{i}.}$

Энтальпия подходит для описания процессов, в которых давление регулируется из окружающей среды.

Точно так же можно сместить зависимость энергии от экстенсивной переменной энтропии S к (часто более удобной) интенсивной переменной T , что приведет к свободным энергиям Гельмгольца и Гиббса . Свободная энергия Гельмгольца A и энергия Гиббса G получены путем выполнения преобразований Лежандра внутренней энергии и энтальпии, соответственно,

${\displaystyle A=U-TS~,}$

${\displaystyle G=H-TS=U+PV-TS~.}$

Свободная энергия Гельмгольца часто является наиболее полезным термодинамическим потенциалом, когда температура и объем регулируются из окружающей среды, в то время как энергия Гиббса часто является наиболее полезной, когда температура и давление регулируются из окружающей среды.

Пример - переменный конденсатор [ править ]

В качестве другого примера из физики рассмотрим конденсатор с параллельными пластинами , в котором пластины могут перемещаться относительно друг друга. Такой конденсатор позволит передавать электрическую энергию, которая хранится в конденсаторе, во внешнюю механическую работу, совершаемую силой, действующей на пластины. Можно думать об электрическом заряде как о «заряде» газа в цилиндре , в результате которого на поршень действует механическая сила .

Вычислите силу, действующую на пластины, как функцию x - расстояния, которое их разделяет. Чтобы найти силу, вычислите потенциальную энергию, а затем примените определение силы как градиент функции потенциальной энергии.

Энергия, запасенная в конденсаторе емкости C ( x ) и заряда Q, равна

${\displaystyle U(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C(\mathbf {x} )}},~}$

где зависимость от площади пластин, диэлектрическая проницаемость материала между пластинами и расстояние x отнесены к емкости C ( x ) . (Для конденсатора с параллельными пластинами это пропорционально площади пластин и обратно пропорционально расстоянию между ними.)

Тогда сила F между пластинами из-за электрического поля равна

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU}{d\mathbf {x} }}~.}$

Если конденсатор не подключен к любой цепи, то заряды на пластинах остаются неизменными , как они перемещаются, и сила отрицательного градиент от электростатической энергии

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {dC}{d\mathbf {x} }}{\frac {Q^{2}}{C^{2}}}.}$

Однако предположим, что вместо этого напряжение между пластинами V поддерживается постоянным за счет подключения к батарее , которая является резервуаром для заряда при постоянной разности потенциалов; теперь переменный заряд, а не напряжение, его сопряжение по Лежандру. Чтобы найти силу, сначала вычислите нестандартное преобразование Лежандра,

${\displaystyle U^{*}=U-\left({\frac {\partial U}{\partial Q}}\right){\bigg |}_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-{\frac {1}{2C(\mathbf {x} )}}\left({\frac {\partial Q^{2}}{\partial Q}}\right){\bigg |}_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-QV={\frac {1}{2}}QV-QV=-{\frac {1}{2}}QV=-{\tfrac {1}{2}}V^{2}C(\mathbf {x} ).}$

Теперь сила становится отрицательным градиентом этого преобразования Лежандра, по-прежнему указывающим в том же направлении,

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU^{*}}{d\mathbf {x} }}~.}$

Две сопряженные энергии оказываются противоположными друг другу только из-за линейности емкости - за исключением того, что теперь Q больше не является константой. Они отражают два разных пути накопления энергии в конденсаторе, что приводит, например, к одному и тому же «притяжению» между пластинами конденсатора.

Теория вероятностей [ править ]

В теории больших отклонений , то функция скорости определяются как преобразование Лежандра логарифма функции генерирующего момента случайной величины. Важным применением функции скорости является вычисление хвостовых вероятностей сумм случайных величин iid.

Микроэкономика [ править ]

Преобразование Лежандра естественным образом возникает в микроэкономике в процессе определения предложения S ( P ) некоторого продукта при фиксированной цене P на рынке, зная функцию затрат C ( Q ) , то есть затраты производителя на производство / добычу / и т. Д. Q единиц данного продукта.

Простая теория объясняет форму кривой предложения, основываясь исключительно на функции затрат. Давайте предположим , что рыночная цена на одну единицу нашего продукта P . Для компании, продающей этот товар, лучшая стратегия - скорректировать производство Q таким образом, чтобы ее прибыль была максимальной. Мы можем максимизировать прибыль

${\displaystyle {\text{profit}}={\text{revenue}}-{\text{costs}}=PQ-C(Q)}$

дифференцируя по Q и решая

${\displaystyle P-C'(Q_{opt})=0.}$

Q _opt представляет собой оптимальное количество Q товаров, которое производитель готов поставить, то есть саму поставку:

${\displaystyle S(P)=Q_{opt}(P)=(C^{'})^{-1}(P)}$.

Если мы рассмотрим максимальную прибыль как функцию цены, мы увидим, что это преобразование Лежандра функции стоимости .${\displaystyle {\text{profit}}_{\text{max}}(P)}$${\displaystyle C(Q)}$

Геометрическая интерпретация [ править ]

Для строго выпуклой функции преобразование Лежандра можно интерпретировать как отображение между графиком функции и семейством касательных графика. (Для функции одной переменной касательные хорошо определены во всех точках, но не более чем в счетном числе , поскольку выпуклая функция дифференцируема во всех точках, за исключением не более чем счетного числа точек.)

Уравнение прямой с наклоном и точкой пересечения задается следующим образом: Для того, чтобы эта прямая касалась графика функции в точке, требуется${\displaystyle p}$ y {\displaystyle y} ${\displaystyle b}$${\displaystyle y=px+b.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)}$

${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=px_{0}+b}$

и

${\displaystyle p=f^{\prime }\left(x_{0}\right).}$

Будучи производной строго выпуклой функции, функция строго монотонна и, следовательно, инъективна . Второе уравнение может быть решено так, чтобы исключить из первого и определить точку пересечения касательной как функцию ее наклона.${\displaystyle f^{\prime }}$${\displaystyle x_{0}=f^{\prime -1}(p),}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p,}$

${\displaystyle b=f\left(x_{0}\right)-px_{0}=f\left(f^{\prime -1}(p)\right)-p\cdot f^{\prime -1}(p)=-f^{\star }(p)}$

где обозначает преобразование Лежандра${\displaystyle f^{\star }}$${\displaystyle f.}$

Таким образом, семейство касательных к графику, параметризованному наклоном, имеет вид${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle y=px-f^{\star }(p),}$

или, неявно записанные, решениями уравнения

${\displaystyle F(x,y,p)=y+f^{\star }(p)-px=0~.}$

График исходной функции может быть восстановлен из этого семейства линий как огибающей этого семейства, требуя

${\displaystyle {\partial F(x,y,p) \over \partial p}=f^{\star \prime }(p)-x=0.}$

Исключение из этих двух уравнений дает${\displaystyle p}$

${\displaystyle y=x\cdot f^{\star \prime -1}(x)-f^{\star }\left(f^{\star \prime -1}(x)\right).}$

Идентификация с и признание на правую сторону предыдущего уравнения в качестве преобразования Лежандра урожайности${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f^{\star },}$

${\displaystyle f(x)=f^{\star \star }(x)~.}$

Преобразование Лежандра в нескольких измерениях [ править ]

Для дифференцируемой вещественнозначной функции на открытом подмножестве U в R ⁿ сопряженным по Лежандру пары ( U , f ) называется пара ( V , g ) , где V - образ U при градиентном отображении Df , g - функция на V, заданная формулой

${\displaystyle g(y)=\left\langle y,x\right\rangle -f(x),\qquad x=\left(Df\right)^{-1}(y)}$

куда

${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}u_{k}\cdot v_{k}}$

- скалярное произведение на R ⁿ . Многомерное преобразование можно интерпретировать как кодирование выпуклой оболочки надграфика функции в терминах его поддерживающих гиперплоскостей . ^[1]

В качестве альтернативы, если X - векторное пространство, а Y - его двойственное векторное пространство , то для каждой точки x из X и y из Y существует естественная идентификация кокасательных пространств T * X _x с Y и T * Y _y с X . Если е реальная дифференцируемая функция над X , то ее внешняя производная , ф.р. , является раздел котангенсу расслоения T * Xи как таковой, мы можем построить отображение из X в Y . Аналогичным образом , если г является реальной дифференцируемой функцией над Y , то Д.Г. задает отображение из Y в X . Если обе карты оказываются обратными друг другу, мы говорим, что у нас есть преобразование Лежандра. В этом контексте обычно используется понятие тавтологической одной формы .

Когда функция не дифференцируема, преобразование Лежандра все еще может быть расширено и известно как преобразование Лежандра-Фенхеля . В этой более общей настройке теряются некоторые свойства: например, преобразование Лежандра больше не является своим собственным обратным (если нет дополнительных предположений, таких как выпуклость ).

Преобразование Лежандра на многообразиях [ править ]

Пусть - гладкое многообразие , пусть - векторное расслоение , и пусть - гладкая функция. Мы думаем , как лагранжиан по аналогии с классическим случаем , когда , и для некоторого положительного числа и функции . Как обычно, обозначим через двойным из , по слою за кадром , а также ограничение на . Преобразование Лежандра из является гладким морфизмом${\textstyle M}$${\textstyle \pi :E\to M}$${\textstyle L:E\to \mathbb {R} }$${\textstyle L}$${\textstyle M=\mathbb {R} }$${\textstyle E=TM=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\textstyle L(x,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(x)}$${\textstyle m\in \mathbb {R} }$${\textstyle V:M\to \mathbb {R} }$${\textstyle E^{*}}$${\textstyle E}$${\textstyle E_{x}}$${\textstyle \pi }$${\textstyle x\in M}$${\textstyle L|_{E_{x}}:E_{x}\to \mathbb {R} }$${\textstyle L}$${\textstyle E_{x}}$${\textstyle L}$

определяется , где . Другими словами, это ковектор, который направляет производную по направлению .${\textstyle \mathbf {F} L(v)=d(L|_{E_{x}})(v)\in E_{x}^{*}}$${\textstyle x=\pi (v)}$${\textstyle \mathbf {F} L(v)\in E_{x}^{*}}$${\textstyle w\in E_{x}}$${\textstyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}L(v+tw)\in \mathbb {R} }$

Чтобы описать преобразование Лежандра локально, позвольте быть координатной картой, над которой тривиально. Выбирая тривиализацию над , мы получаем диаграммы и . В терминах этих диаграмм мы имеем , где${\textstyle U\subseteq M}$${\textstyle E}$${\textstyle E}$${\textstyle U}$${\textstyle E_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}$${\textstyle E_{U}^{*}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}$${\textstyle \mathbf {F} L(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})=(x;p_{1},\dotsc ,p_{r})}$

для всех .${\textstyle i=1,\dots ,r}$

Если, как в классическом случае, ограничение на каждый слой строго выпукло и ограничено снизу положительно определенной квадратичной формой минус константа, то преобразование Лежандра является диффеоморфизмом. ^[2] Предположим, что это диффеоморфизм, и пусть « гамильтонова » функция определена формулой${\textstyle L:E\to \mathbb {R} }$${\textstyle E_{x}}$${\textstyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}}$${\textstyle \mathbf {F} L}$${\textstyle H:E^{*}\to \mathbb {R} }$

где . Используя естественный изоморфизм , мы можем рассматривать преобразование Лежандра как отображение . Тогда имеем ^[2]${\textstyle v=(\mathbf {F} L)^{-1}(p)}$${\textstyle E\cong E^{**}}$${\textstyle H}$${\textstyle \mathbf {F} H:E^{*}\to E}$

Другие свойства [ править ]

Свойства масштабирования [ править ]

Преобразование Лежандра имеет следующие свойства масштабирования: Для > 0 ,

${\displaystyle f(x)=a\cdot g(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)}$

${\displaystyle f(x)=g(a\cdot x)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right).}$

Отсюда следует, что если функция однородна степени r, то ее образ при преобразовании Лежандра является однородной функцией степени s , где 1 / r + 1 / s = 1 . (Поскольку f ( x ) = x ^r / r , при r > 1 , следует f * ( p ) = p ^s / s .) Таким образом, единственный моном, степень которого инвариантна относительно преобразования Лежандра, является квадратичным.

Поведение при переводе [ править ]

${\displaystyle f(x)=g(x)+b\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b}$

${\displaystyle f(x)=g(x+y)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y}$

Поведение при инверсии [ править ]

${\displaystyle f(x)=g^{-1}(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)}$

Поведение при линейных преобразованиях [ править ]

Пусть A  : R ⁿ → R ^m - линейное преобразование . Для любой выпуклой функции f на R ⁿ выполняется

${\displaystyle (Af)^{\star }=f^{\star }A^{\star }}$

где A * - сопряженный оператор к A, определенный формулой

${\displaystyle \left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle ,}$

и М представляет собой толчок вперед от F вдоль A

${\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}.}$

Замкнутая функция выпуклой F является симметричной относительно заданного множества G из ортогональных линейных преобразований ,

${\displaystyle f(Ax)=f(x),\;\forall x,\;\forall A\in G}$

тогда и только тогда , когда е * симметрична относительно G .

Инфимальная свертка [ править ]

Инфимальные свертки двух функций F и г определяются как

${\displaystyle \left(f\star _{\inf }g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbf {R} ^{n}\right\}.}$

Пусть f ₁ , ..., f _m - собственные выпуклые функции на R ⁿ . потом

${\displaystyle \left(f_{1}\star _{\inf }\cdots \star _{\inf }f_{m}\right)^{\star }=f_{1}^{\star }+\cdots +f_{m}^{\star }.}$

Неравенство Фенхеля [ править ]

Для любой функции f и ее выпуклого сопряженного f * неравенство Фенхеля (также известное как неравенство Фенхеля – Юнга ) выполняется для любых x ∈ X и p ∈ X * , т. Е. Независимых пар x , p ,

${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{\star }(p).}$

См. Также [ править ]

• Двойная кривая
• Проективная двойственность
• Неравенство Юнга для продуктов
• Выпуклый конъюгат
• Теорема Моро
• Интеграция по частям
• Теорема двойственности Фенхеля

Ссылки [ править ]

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (2008). Методы математической физики . 2 . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0471504399.
• Арнольд, Владимир Игоревич (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-96890-3.
• Фенчел, В. (1949). «О сопряженных выпуклых функциях», Can. J. Math 1 : 73-77.
• Рокафеллар, Р. Тиррелл (1996) [1970]. Выпуклый анализ . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-01586-4.
• Зия, РКП; Красноватый, EF; Маккей, SR (2009). «Осмысление преобразования Лежандра». Американский журнал физики . 77 (7): 614. arXiv : 0806.1147 . Bibcode : 2009AmJPh..77..614Z . DOI : 10.1119 / 1.3119512 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Нильсен, Франк (01.09.2010). «Преобразование Лежандра и информационная геометрия» (PDF) . Проверено 24 января 2016 .
• Тушетт, Хьюго (2005-07-27). «В двух словах о преобразованиях Лежандра-Фенхеля» (PDF) . Проверено 24 января 2016 .
• Тушетт, Хьюго (21 ноября 2006 г.). «Элементы выпуклого анализа» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 01.02.2016 . Проверено 24 января 2016 .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме трансформации Лежандра .

• Преобразование Лежандра с фигурами на maze5.net
• Преобразования Лежандра и Лежандра-Фенхеля в пошаговом объяснении на onmyphd.com