Чрезмерная полнота - это концепция из линейной алгебры, которая широко используется в математике, информатике, инженерии и статистике (обычно в форме избыточных фреймов ). Он был введен Р. Дж. Даффином и А. С. Шеффером в 1952 г. [1]
Формально подмножество векторов из банахового пространства , иногда называемая "системой", является полной, если каждый элемент в можно сколь угодно хорошо аппроксимировать по норме конечными линейными комбинациями элементов из . [2] Такая полная система считается неполной, если удаление из системы приводит к системе (т. е. ), который все еще готов.
В таких областях исследований, как обработка сигналов и аппроксимация функций, избыточная полнота может помочь исследователям достичь более стабильной, надежной или более компактной декомпозиции, чем использование базиса. [3]
Связь между неполнотой и фреймами
Переполнение обычно обсуждается как свойство переполненных кадров. Теория фрейма берет начало в работе Даффина и Шеффера о негармонических рядах Фурье. [1] Фрейм определяется как набор ненулевых векторов такой, что для произвольного ,
где обозначает внутренний продукт, а также положительные константы, называемые границами фрейма. Когда а также можно выбрать так, чтобы , рамка называется плотной. [4]
Видно, что . Пример кадра можно привести следующим образом. Пусть каждый из а также быть ортонормированной базой , тогда
это рамка с ограничениями .
Позволять быть оператором фрейма,
Фрейм, который не является базисом Рисса , и в этом случае он состоит из набора функций больше, чем базис, называется переполненным. В этом случае, учитывая, он может иметь различную декомпозицию в зависимости от кадра. Кадр, приведенный в приведенном выше примере, является переполненным.
Когда кадры используются для оценки функции, может потребоваться сравнить производительность разных кадров. Экономия аппроксимирующих функций разными кадрами может рассматриваться как один из способов сравнения их характеристик. [5]
Учитывая терпимость и рама в , для любой функции , определим множество всех аппроксимирующих функций, удовлетворяющих
Тогда пусть
указывает на экономичность использования рамы приблизить . Разные могут быть разные в зависимости от твердости, которая должна быть аппроксимирована элементами в раме. Наихудший случай оценки функции в определяется как
Для другого кадра , если , затем кадр лучше, чем рама на уровне . И если существует что для каждого , у нас есть , тогда Это лучше чем в целом.
Полнокомплектные кадры обычно строятся тремя способами.
- Объедините набор базисов, таких как базис вейвлетов и базис Фурье, чтобы получить переполненный кадр.
- Увеличьте диапазон параметров в каком-либо кадре, например, в кадре Габора и кадре вейвлета , чтобы получить переполненный кадр.
- Добавьте некоторые другие функции к существующей полной основе, чтобы получить переполненный фрейм.
Пример переполненного кадра показан ниже. Собранные данные находятся в двухмерном пространстве, и в этом случае основа с двумя элементами должна быть в состоянии объяснить все данные. Однако, когда в данные включается шум, базис может быть не в состоянии выразить свойства данных. Если для выражения данных используется переполненный кадр с четырьмя элементами, соответствующими четырем осям на рисунке, каждая точка может иметь хорошее выражение в виде переполненного кадра.
Гибкость переполненного кадра - одно из его ключевых преимуществ при использовании для выражения сигнала или аппроксимации функции. Однако из-за этой избыточности функция может иметь несколько выражений в переполненном кадре. [6] Когда фрейм конечен, разложение может быть выражено как
где функция, которую нужно аппроксимировать, - матрица, содержащая все элементы в кадре, а - коэффициенты при под представлением . Без каких-либо других ограничений рамка выберет с минимальной нормой в . Исходя из этого, при решении уравнения можно также учитывать некоторые другие свойства, такие как разреженность. Поэтому разные исследователи работали над решением этого уравнения, добавляя другие ограничения в целевую функцию. Например, ограничение, минимизирующеенорма в может использоваться при решении этого уравнения. Это должно быть эквивалентно регрессии Лассо в статистическом сообществе. Байесовский подход также используется для устранения избыточности в переполненном кадре. Левицки и Сейновски предложили алгоритм для получения переполненного кадра, рассматривая его как вероятностную модель наблюдаемых данных. [6] Недавно переполненный фрейм Габора был объединен с байесовским методом выбора переменной для достижения обоих малых коэффициентов расширения нормы ви разреженность элементов. [7]
Примеры переполненных кадров
В современном анализе в области обработки сигналов и других областях техники предлагаются и используются различные переполненные кадры. Здесь представлены и обсуждаются два часто используемых кадра, кадры Габора и кадры вейвлетов.
Рамки Gabor
При обычном преобразовании Фурье функция во временной области преобразуется в частотную область. Однако преобразование показывает только частотное свойство этой функции и теряет информацию во временной области. Если оконная функция, который имеет ненулевое значение только в небольшом интервале, умножается на исходную функцию перед выполнением преобразования Фурье, и информация во временной и частотной областях может оставаться в выбранном интервале. Когда последовательность перевода используется в преобразовании, информация о функции во временной области сохраняется после преобразования.
Пусть операторы
Габор кадр (названный в честь Денниса Габора , а также называется Вейль - Гейзенберг рамка) в определяется как форма , где а также фиксированная функция. [8] Однако не для всех а также образует рамку на . Например, когда, это не рамка для . Когда, может быть каркасом, и в этом случае это базис Рисса. Итак, возможная ситуация для быть переполненным фреймом - это . Семья Габор также является фреймом и имеет те же границы фрейма, что и
Различные виды оконных функций может использоваться в раме Gabor. Здесь показаны примеры трех оконных функций, а условие для соответствующей системы Габора, являющейся фреймом, показано следующим образом.
(1) , это рамка, когда
(2) , это рамка, когда
(3) , где - индикаторная функция. Ситуация для Быть каркасом стоит следующим образом.
1) или же а не фрейм
2) а также а не фрейм
3) , это рамка
4) и является иррациональным, и , это рамка
5) , а также относительно простые числа, а не фрейм
6) а также , где и быть натуральным числом, а не рамкой
7) , , , где это наибольшее целое число, не превышающее , это рамка.
Приведенное выше обсуждение является кратким изложением главы 8 в [8].
Кадры вейвлета
Набор вейвлетов обычно относится к набору функций, основанных на
Это составляет ортонормированную основу для . Однако когда может принимать значения в , набор представляет собой переполненный кадр и называется недецимацией вейвлет-основы. В общем случае фрейм вейвлета определяется как фрейм для формы
где , , а также . Верхнюю и нижнюю границы этого кадра можно вычислить следующим образом. Позволять - преобразование Фурье для
Когда фиксированы, определить
потом
Кроме того, когда
- , для всех нечетных целых чисел
сгенерированный фрейм это плотный каркас.
Обсуждение в этом разделе основано на главе 11 в [8].
Приложения
Сверхполные кадры Габора и кадры вейвлета использовались в различных областях исследований, включая обнаружение сигналов, представление изображений, распознавание объектов, уменьшение шума , теорию выборки, теорию операторов , гармонический анализ , нелинейное разреженное приближение, псевдодифференциальные операторы , беспроводную связь, геофизику, квантовые вычисления, и банки фильтров . [3] [8]
Рекомендации
- ^ a b Р. Дж. Даффин, А. С. Шеффер, Класс негармонических рядов Фурье, Труды Американского математического общества, т. 72, нет. 2, стр. 341–366, 1952 г. [Online]. Доступно: https://www.jstor.org/stable/1990760
- ↑ C. Heil, A Basis Theory Primer: Expanded Edition. Бостон, Массачусетс: Birkhauser, 2010.
- ^ a b Р. Балан, П. Казацца, К. Хайль, З. Ландау, Плотность, неполнота и локализация фреймов. I. Теория, Журнал анализа и приложений Фурье, вып. 12, вып. 2, 2006.
- ^ К. Грочениг, Основы частотно-временного анализа . Бостон, Массачусетс: Birkhauser, 2000.
- ^ [1] , STA218, Примечание класса интеллектуального анализа данных в Университете Дьюка
- ^ a b М. С. Левицки и Т. Дж. Сейновски, Изучение сверхполных представлений, Нейронные вычисления, т. 12, вып. 2, стр. 337 {365, 2000.
- ^ П. Вулф, С. Годсилл и В. Нг, Выбор байесовских переменных и регуляризация для частотно-временной оценки поверхности, JR Statist. Soc. В, т. 66, нет. 3, 2004.
- ^ a b c d О. Кристенсен, Введение в фреймы и базисы Рисса. Бостон, Массачусетс: Birkhauser, 2003.