Пространство параметров

Пространство параметров - это пространство возможных значений параметров, которые определяют конкретную математическую модель , часто подмножество конечномерного евклидова пространства . Часто параметры являются входными данными функции , и в этом случае технический термин для пространства параметров - это область определения функции . Диапазоны значений параметров могут формировать оси графика , и конкретные результаты модели могут быть нанесены на график против этих осей, чтобы проиллюстрировать, как разные области пространства параметров создают разные типы поведения в модели.

В статистике , параметры пространство , особенно полезно для описания параметрических семейств из вероятностных распределений . Они также составляют основу для оценки параметров . В случае оценок экстремума для параметрических моделей определенная целевая функция максимизируется или минимизируется по пространству параметров. ^[1] Теоремы существования и согласованности таких оценок требуют некоторых предположений о топологии пространства параметров. Например, компактность пространства параметров вместе с непрерывностьюцелевой функции достаточно для существования экстремальной оценки. ^[1]

Примеры [ править ]

• Простая модель ухудшения здоровья после развития рака легких может включать два параметра - пол ^[2] и курильщик / некурящий, и в этом случае пространство параметров представляет собой следующий набор из четырех возможных вариантов: {(Мужчина, Курильщик), (Мужчина, Для некурящих), (Женщина, Курильщик), (Женщина, Некурящий)} .

• Логистическое отображение имеет один параметр, г , который может принимать любое положительное значение. Таким образом, пространство параметров представляет собой положительные действительные числа .${\ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n})}$

Для некоторых значений r эта функция заканчивается циклическим обходом нескольких значений или фиксируется на одном значении. Эти долгосрочные значения могут быть нанесены в зависимости от r на бифуркационной диаграмме, чтобы показать различное поведение функции для разных значений r .

• В модели синусоидальной волны параметрами являются амплитуда A > 0, угловая частота ω> 0 и фаза φ ∈ S ¹ . Таким образом, пространство параметров${\ Displaystyle у (т) = А \ CDOT \ грех (\ омега т + \ фи),}$ ${\ displaystyle R ^ {+} \ times R ^ {+} \ times S ^ {1}.}$

• В сложной динамике пространство параметров - это комплексная плоскость C = { z = x + y i: x, y ∈ R }, где i ² = −1.

Знаменитый набор Мандельброта - это подмножество этого пространства параметров, состоящее из точек на комплексной плоскости, которые дают ограниченный набор чисел, когда конкретная итерационная функция многократно применяется из этой начальной точки. Остальные точки, которых нет в наборе, дают неограниченный набор чисел (они стремятся к бесконечности), когда эта функция многократно применяется с этой начальной точки.

• В машинном обучении , искусственная нейронная сеть является модель , которая состоит из ориентированного графа с весами (вещественные числами) на ребрах графа. Пространство параметров известно как пространство весов , а «обучение» состоит из обновления параметров, чаще всего с помощью градиентного спуска или какого-либо варианта.

История [ править ]

Пространство параметров способствовало освобождению геометрии от ограничений трехмерного пространства . Например, пространство параметров сфер в трех измерениях имеет четыре измерения - три для центра сферы и еще одно для радиуса. По словам Дирка Струика , это была книга Neue Geometrie де Raumes (1849) по Плюккеру , который показал

... геометрия не обязательно должна основываться исключительно на точках как базовых элементах. Линии, плоскости, круги, сферы - все это может использоваться в качестве элементов ( Raumelemente ), на которых может быть основана геометрия. Эта плодотворная концепция пролила новый свет на синтетическую и алгебраическую геометрию и создала новые формы двойственности. Количество измерений конкретной формы геометрии теперь может быть любым положительным числом, в зависимости от количества параметров, необходимых для определения «элемента». ^{[3] : 165}

Требование больших размеров иллюстрируется линейной геометрией Плюккера . Струик пишет

[Плюккеровская] геометрия линий в трехмерном пространстве может рассматриваться как четырехмерная геометрия или, как подчеркивал Кляйн , как геометрия четырехмерной квадрики в пятимерном пространстве. ^{[3] : 168}

Таким образом, квадрика Клейна описывает параметры линий в пространстве.

См. Также [ править ]

• Образец пространства
• Пространство конфигурации
• Анализ данных
• Снижение размерности
• Гиперпараметр (машинное обучение)
• Выбор модели
• Параметрическое уравнение
• Параметрическая поверхность
• Фазовое пространство

Ссылки [ править ]