Релятивистская лагранжева механика

Часть серии по
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Пространственно-временное многообразие Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца Пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности Уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четыре вектора Выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени
v т е

В теоретической физике , релятивистские механики Лагранжа является механикой Лагранжа , применяемой в контексте специальной теории относительности и общей теории относительности .

Лагранжева формулировка в специальной теории относительности [ править ]

Лагранжева механика может быть сформулирована в специальной теории относительности следующим образом. Рассмотрим одну частицу ( N частиц будут рассмотрены позже).

Формулировка координат [ править ]

Если система описывается лагранжианом L , уравнения Эйлера – Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}}$

сохраняют свою форму в специальной теории относительности при условии, что лагранжиан генерирует уравнения движения, согласующиеся со специальной теорией относительности. Здесь r = ( x , y , z ) - вектор положения частицы, измеренный в некоторой лабораторной системе отсчета, где для простоты используются декартовы координаты , и

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)}$

- координатная скорость, производная положения r по координатному времени t . (В этой статье чрезмерные точки относятся к координированному времени, а не к собственному времени). Координаты положения можно преобразовать в обобщенные координаты точно так же, как в нерелятивистской механике, r = r ( q , t ). Принимая полный дифференциал из г получает преобразование скорости V для обобщенных координат, обобщенные скорости и координаты времени

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,,\quad {\dot {q}}_{j}={\frac {dq_{j}}{dt}}}$

остается такой же. Однако энергия движущейся частицы отличается от нерелятивистской механики. Поучительно посмотреть на полную релятивистскую энергию свободной пробной частицы. Наблюдатель в лабораторной системе отсчета определяет события по координатам r и координатному времени t и измеряет, чтобы частица имела координатную скорость v = d r / dt . В отличие от этого , наблюдатель , движущийся с частицей будет записывать разное время, это подходящее время , τ . Первый член в степенном ряду представляет собой энергию покоя частицы.плюс его нерелятивистская кинетическая энергия , за которой следуют релятивистские поправки более высокого порядка;

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}=m_{0}c^{2}+{1 \over 2}m_{0}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)+{3 \over 8}m_{0}{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{4}(t)}{c^{2}}}+\cdots \,.}$

где c - скорость света в вакууме. В дифференциалы в т и т связаны фактор Лоренца Г , ^{[NB 1]}

${\displaystyle dt=\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})d\tau \,,\quad \gamma ({\dot {\mathbf {r} }})={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\,,\quad {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad {\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)={\dot {\mathbf {r} }}(t)\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)\,.}$

где · - скалярное произведение . Релятивистская кинетическая энергия для незаряженной частицы с массой покоя m ₀ равна

${\displaystyle T=(\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})-1)m_{0}c^{2}}$

и мы можем наивно предположить, что релятивистский лагранжиан для частицы - это релятивистская кинетическая энергия за вычетом потенциальной энергии. Однако даже для свободной частицы, для которой V = 0, это неверно. Следуя нерелятивистскому подходу, мы ожидаем, что производная этого кажущегося правильным лагранжиана по скорости будет релятивистским импульсом, но это не так.

Определение обобщенного импульса может быть сохранено, и выгодная связь между циклическими координатами и сохраняющимися величинами будет по-прежнему применяться. Импульсы можно использовать для «обратного проектирования» лагранжиана. Для случая свободной массивной частицы в декартовых координатах x- компонента релятивистского импульса равна

${\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})m_{0}{\dot {x}}\,,\quad }$

и аналогично для компонентов y и z . Интегрирование этого уравнения относительно dx / dt дает

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}+X({\dot {y}},{\dot {z}})\,,}$

где X - произвольная функция dy / dt и dz / dt из интегрирования. Интегрируя p _y и p _z, получаем аналогично

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}+Y({\dot {x}},{\dot {z}})\,,\quad L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}+Z({\dot {x}},{\dot {y}})\,,}$

где Y и Z - произвольные функции своих указанных переменных. Поскольку функции X , Y , Z произвольны, без ограничения общности мы можем заключить, что общее решение этих интегралов, возможный лагранжиан, который будет правильно генерировать все компоненты релятивистского импульса, равен

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}\,,}$

где X = Y = Z = 0.

В качестве альтернативы, поскольку мы хотим построить лагранжиан из релятивистски инвариантных величин, возьмем действие пропорционально интегралу лоренц-инвариантного элемента линии в пространстве-времени , длине мировой линии частицы между собственными временами τ ₁ и τ ₂ , ^{[nb 1]}

${\displaystyle S=\varepsilon \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d\tau =\varepsilon \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dt}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}\,,\quad L={\frac {\varepsilon }{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}=\varepsilon {\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}}}\,,}$

где ε - константа, которую необходимо найти, и после преобразования собственного времени частицы в координатное время, измеренное в лабораторной системе отсчета, подынтегральное выражение по определению является лагранжианом. Импульс должен быть релятивистским импульсом,

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=\left({\frac {-\varepsilon }{c^{2}}}\right)\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }}=m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }}\,,}$

что требует ε = - m ₀ c ² , что согласуется с ранее полученным лагранжианом.

В любом случае вектор положения r отсутствует в лагранжиане и, следовательно, цикличен, поэтому уравнения Эйлера – Лагранжа согласуются с постоянством релятивистского импульса,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}(m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }})=0\,,}$

что должно быть в случае свободной частицы. Кроме того, расширяя релятивистский лагранжиан свободных частиц в ряд по степеням до первого порядка по ( v / c ) ² ,

${\displaystyle L=-m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}\right)+\cdots \right]\approx -m_{0}c^{2}+{\frac {m_{0}}{2}}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}\,,}$

в нерелятивистском пределе, когда v мало, члены высшего порядка, которые не показаны, пренебрежимо малы, а лагранжиан - это нерелятивистская кинетическая энергия, какой она должна быть. Остающийся член - это отрицательный член энергии покоя частицы, постоянный член, которым можно пренебречь в лагранжиане.

В случае взаимодействующей частицы с потенциалом V , который может быть неконсервативным, в ряде интересных случаев можно просто вычесть этот потенциал из лагранжиана свободной частицы:

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}-V(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)\,.}$

а уравнения Эйлера – Лагранжа приводят к релятивистской версии второго закона Ньютона , производная по координате от релятивистского импульса по времени - это сила, действующая на частицу;

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} }}={\frac {d}{dt}}(m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }})\,.}$

предполагая , что потенциал V может генерировать соответствующие силы F таким образом. Если потенциал не может получить силу, как показано, тогда потребуется модификация лагранжиана, чтобы получить правильные уравнения движения.

Верно также и то, что если лагранжиан явно не зависит от времени, а потенциал V ( r ) - от скоростей, то полная релятивистская энергия

${\displaystyle E={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-L=\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})m_{0}c^{2}+V(\mathbf {r} )}$

сохраняется, хотя идентификация менее очевидна, поскольку первый член - это релятивистская энергия частицы, которая включает массу покоя частицы, а не просто релятивистскую кинетическую энергию. Кроме того, аргументы в пользу однородных функций не применимы к релятивистским лагранжианам.

Распространение на N частиц несложно, релятивистский лагранжиан - это просто сумма членов «свободных частиц» за вычетом потенциальной энергии их взаимодействия;

${\displaystyle L=-c^{2}\sum _{k=1}^{N}{\frac {m_{0k}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}_{k})}}-V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)\,,}$

где все положения и скорости измеряются в одной лабораторной системе, включая время.

Преимущество такой формулировки координат состоит в том, что ее можно применять к множеству систем, включая системы с множеством частиц. Недостатком является то, что некоторые лабораторные рамки были выделены как предпочтительные, и ни одно из уравнений не является явно ковариантным (другими словами, они не принимают одинаковую форму во всех системах отсчета). Для наблюдателя, движущегося относительно лабораторной рамы, все должно быть пересчитано; положение r , импульс p , полная энергия E , потенциальная энергия и т. д. В частности, если этот другой наблюдатель движется с постоянной относительной скоростью, то должны использоваться преобразования Лоренца . Однако действие останется прежним, поскольку оно лоренц-инвариантно по построению.

На первый взгляд другая, но полностью эквивалентная форма лагранжиана для свободной массивной частицы, которую легко распространить на общую теорию относительности, как показано ниже, может быть получена путем вставки ^{[nb 1]}

${\displaystyle d\tau ={\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}dt\,,}$

в действие инварианта Лоренца так, чтобы

${\displaystyle S=\varepsilon \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}dt\quad \Rightarrow \quad L={\frac {\varepsilon }{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}}$

где ε = - m ₀ c ² сохранено для простоты. Хотя линейный элемент и действие лоренц-инвариантны, лагранжиан нет , потому что он явно зависит от времени лабораторной координаты. Тем не менее, уравнения движения следуют из принципа Гамильтона

${\displaystyle \delta S=0\,.}$

Поскольку действие пропорционально длине мировой линии частицы (другими словами, ее траектории в пространстве-времени), этот маршрут показывает, что поиск стационарного действия сродни поиску траектории самой короткой или самой большой длины в пространстве-времени. Соответственно, уравнения движения частицы сродни уравнениям, описывающим траектории наименьшей или наибольшей длины в пространстве-времени, геодезические .

В случае взаимодействующей частицы в потенциале V лагранжиан по-прежнему имеет вид

${\displaystyle L={\frac {\varepsilon }{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}-V}$

который также может распространяться на множество частиц, как показано выше, каждая частица имеет свой собственный набор координат положения для определения своего положения.

Ковариантная формулировка [ править ]

В ковариантной формулировке время ставится наравне с пространством, поэтому координатное время, измеренное в некотором кадре, является частью конфигурационного пространства наряду с пространственными координатами (и другими обобщенными координатами). ^[1] Для частицы, безмассовой или массивной, лоренц-инвариантное действие имеет вид (злоупотребление обозначениями) ^[2]

${\displaystyle S=\int _{\sigma _{1}}^{\sigma _{2}}\Lambda (x^{\nu }(\sigma ),u^{\nu }(\sigma ),\sigma )d\sigma }$

где нижний и верхний индексы используются в соответствии с ковариантностью и контравариантностью векторов , σ - аффинный параметр , а u ^μ = dx ^μ / dσ - четырехскоростная скорость частицы.

Для массивных частиц σ может быть длиной дуги s или собственным временем τ вдоль мировой линии частицы,

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }\,.}$

Для безмассовых частиц это невозможно, потому что собственное время безмассовой частицы всегда равно нулю;

${\displaystyle g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }=0\,.}$

Для свободной частицы лагранжиан имеет вид ^{[3] [4]}

${\displaystyle \Lambda =g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\sigma }}}$

где нерелевантный множитель 1/2 может быть уменьшен масштабирующим свойством лагранжианов. Включение массы не требуется, поскольку это также относится к безмассовым частицам. Уравнения Эйлера – Лагранжа в пространственно-временных координатах имеют вид

${\displaystyle {\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial \Lambda }{\partial u^{\alpha }}}-{\frac {\partial \Lambda }{\partial x^{\alpha }}}={\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\sigma ^{2}}}+\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\sigma }}=0\,,}$

которое является уравнением геодезических для геодезических с аффинными параметрами в пространстве-времени. Другими словами, свободная частица следует геодезическим. Геодезические для безмассовых частиц называются «нулевыми геодезическими», поскольку они лежат в « световом конусе » или «нулевом конусе» пространства-времени (нулевое значение возникает, потому что их внутренний продукт через метрику равен 0), массивные частицы следуют «подобно времени. геодезические », а гипотетические частицы, которые движутся быстрее света, известные как тахионы, следуют« пространственно-подобным геодезическим ».

Эта явно ковариантная формулировка не распространяется на систему N частиц, поскольку тогда аффинный параметр любой одной частицы не может быть определен как общий параметр для всех других частиц.

Примеры в специальной теории относительности [ править ]

Специальный релятивистский 1-й гармонический осциллятор [ править ]

Для 1d релятивистского простого гармонического осциллятора лагранжиан равен ^{[5] [6]}

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}(t)}{c^{2}}}}}-{\frac {k}{2}}x^{2}\,.}$

где k - жесткость пружины.

Специальная релятивистская постоянная сила [ править ]

Для частицы, находящейся под действием постоянной силы, лагранжиан равен ^[7]

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}(t)}{c^{2}}}}}-max\,.}$

где а - сила на единицу массы.

Специальная релятивистская пробная частица в электромагнитном поле [ править ]

В специальной теории относительности лагранжиан массивной заряженной пробной частицы в электромагнитном поле изменяется на ^[8]

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-q\phi +q{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} \,.}$

Уравнения Лагранжа относительно r приводят к закону силы Лоренца в терминах релятивистского импульса

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \,.}$

На языке четырех векторов и обозначений тензорных индексов лагранжиан принимает вид

${\displaystyle L(\tau )={\frac {1}{2}}mu^{\mu }(\tau )u_{\mu }(\tau )+qu^{\mu }(\tau )A_{\mu }(x)}$

где u ^μ = dx ^μ / dτ - четырехскоростная пробная частица, а A ^μ - четырехкомпонентный электромагнитный потенциал .

Уравнения Эйлера – Лагранжа (обратите внимание на полную производную по собственному времени, а не по координатному времени )

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial u^{\nu }}}=0}$

получает

${\displaystyle qu^{\mu }{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}={\frac {d}{d\tau }}(mu_{\nu }+qA_{\nu })\,.}$

Под полной производной по собственному времени первый член - это релятивистский импульс, второй член -

${\displaystyle {\frac {dA_{\nu }}{d\tau }}={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}u^{\mu }\,,}$

затем перестановка и использование определения антисимметричного электромагнитного тензора дает ковариантную форму закона силы Лоренца в более знакомой форме:

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(mu_{\nu })=qu^{\mu }F_{\nu \mu }\,,\quad F_{\nu \mu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\,.}$

Лагранжева формулировка в общей теории относительности [ править ]

Лагранжиан - это лагранжиан отдельной частицы плюс член взаимодействия L _I

${\displaystyle L=-mc^{2}{\frac {d\tau }{dt}}+L_{I}\,.}$

Варьируя это относительно положения частицы r ^α как функции времени t, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta L&=m{\frac {dt}{2d\tau }}\delta \left(g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}\right)+\delta L_{I}\\&=m{\frac {dt}{2d\tau }}\left(g_{\mu \nu ,\alpha }\delta x^{\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}+2g_{\alpha \nu }{\frac {d\delta x^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}\right)+{\frac {\partial L_{I}}{\partial x^{\alpha }}}\delta x^{\alpha }+{\frac {\partial L_{I}}{\partial {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}}}{\frac {d\delta x^{\alpha }}{dt}}\\&={\frac {1}{2}}mg_{\mu \nu ,\alpha }\delta x^{\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}-{\frac {d}{dt}}\left(mg_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\delta x^{\alpha }+{\frac {\partial L_{I}}{\partial x^{\alpha }}}\delta x^{\alpha }-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L_{I}}{\partial {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}}}\right)\delta x^{\alpha }+{\frac {d(\cdots )}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

Это дает уравнение движения

${\displaystyle 0={\frac {1}{2}}mg_{\mu \nu ,\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}-{\frac {d}{dt}}\left(mg_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)+f_{\alpha }}$

куда

${\displaystyle f_{\alpha }={\frac {\partial L_{I}}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L_{I}}{\partial {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}}}\right)}$

- негравитационная сила, действующая на частицу. (Чтобы m не зависело от времени, мы должны иметь .)${\displaystyle f_{\alpha }{\tfrac {dx^{\alpha }}{dt}}=0}$

Перестановка дает уравнение силы

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(m{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)=-m\Gamma _{\mu \sigma }^{\nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}+g^{\nu \alpha }f_{\alpha }}$

где Γ - символ Кристоффеля, который представляет собой поле силы тяжести.

Если мы позволим

${\displaystyle p^{\nu }=m{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}$

- (кинетический) импульс для частицы с массой, то

${\displaystyle {\frac {dp^{\nu }}{dt}}=-\Gamma _{\mu \sigma }^{\nu }p^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}+g^{\nu \alpha }f_{\alpha }}$

и

${\displaystyle {\frac {dx^{\nu }}{dt}}={\frac {p^{\nu }}{p^{0}}}}$

справедливо даже для безмассовой частицы.

Примеры в общей теории относительности [ править ]

Общая релятивистская пробная частица в электромагнитном поле [ править ]

В общей теории относительности первый член обобщает (включает) как классическую кинетическую энергию, так и взаимодействие с гравитационным полем. Для заряженной частицы в электромагнитном поле это

${\displaystyle L(t)=-mc^{2}{\sqrt {-c^{-2}g_{\mu \nu }(x(t)){\frac {dx^{\mu }(t)}{dt}}{\frac {dx^{\nu }(t)}{dt}}}}+q{\frac {dx^{\mu }(t)}{dt}}A_{\mu }(x(t))\,.}$

Если четыре координаты пространства-времени x ^µ заданы в произвольных единицах (т.е. без единиц измерения), то g _µν в m ² является симметричным метрическим тензором ² -го ранга, который также является гравитационным потенциалом. Кроме того, A _µ в В · с - это четырехвекторный электромагнитный потенциал.

См. Также [ править ]

• Релятивистская механика
• Основная лемма вариационного исчисления
• Канонические координаты
• Функциональная производная
• Обобщенные координаты
• Гамильтонова механика
• Гамильтонова оптика
• Лагранжев анализ (приложения лагранжевой механики)
• Точка лагранжиана
• Лагранжева система
• Неавтономная механика
• Ограниченная задача трех тел
• Проблема плато

Сноски [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Пенроуз, Роджер (2007). Дорога в реальность . Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Ландау, ЛД ; Лифшиц Е.М. (15 января 1976 г.). Механика (3-е изд.). Баттерворт Хайнеманн. п. 134 . ISBN 9780750628969.
• Ландау, Лев ; Лифшиц, Евгений (1975). Классическая теория поля . ISBN Elsevier Ltd. 978-0-7506-2768-9.
• Рука, LN; Финч, JD (13 ноября 1998 г.). Аналитическая механика (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . п. 23 . ISBN 9780521575720.
• Луи Н. Хэнд; Джанет Д. Финч (1998). Аналитическая механика . Издательство Кембриджского университета. С. 140–141. ISBN 0-521-57572-9.
• Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. стр.  352 -353. ISBN 0201029189.
• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П., младший; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Эддисон Уэсли. С. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.
• Ланцош, Корнелиус (1986). «II § 5 Вспомогательные условия: лагранжев λ-метод» . Вариационные принципы механики (Перепечатка Университета Торонто, 1970, 4-е изд.). Курьер Дувр. п. 43. ISBN 0-486-65067-7.
• Фейнман, Р.П . ; Лейтон, РБ ; Сэндс, М. (1977) [1964]. Лекции Фейнмана по физике . 2 . Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-02117-X.CS1 maint: ref=harv (link)
• Фостер, Дж; Соловей, JD (1995). Краткий курс общей теории относительности (2-е изд.). Springer. ISBN 0-03-063366-4.
• М. П. Хобсон; GP Efstathiou; А. Н. Ласенби (2006). Общая теория относительности: введение для физиков . Издательство Кембриджского университета. С. 79–80. ISBN 9780521829519.