В релятивистской теории в физике , А скалярная Лоренца представляет собой выражение, формируется с позиций теории, которая вычисляется в скаляр , инвариантный при любых преобразованиях Лоренца . Скаляр Лоренца может быть сгенерирован, например, из скалярного произведения векторов или из сжимающих тензоров теории. В то время как компоненты векторов и тензоров, как правило, изменяются при преобразованиях Лоренца, скаляры Лоренца остаются неизменными.
Скаляр Лоренца не всегда сразу рассматривается как инвариантный скаляр в математическом смысле , но результирующее скалярное значение инвариантно при любом базисном преобразовании, применяемом к векторному пространству, на котором основана рассматриваемая теория. Простой скаляр Лоренца в пространстве-времени Минковского - это пространственно-временное расстояние («длина» их разности) двух фиксированных событий в пространстве-времени. В то время как "позиции" -4-векторы событий меняются между различными инерциальными системами отсчета, их пространственно-временное расстояние остается неизменным при соответствующем преобразовании Лоренца. Другими примерами скаляров Лоренца являются «длина» 4-скоростей (см. Ниже) или кривизна Риччи в точке пространства-времени из общей теории относительности., который там является сжатием тензора кривизны Римана .
Простые скаляры в специальной теории относительности [ править ]
Длина вектора позиции [ править ]
В специальной теории относительности положение частицы в 4-мерном пространстве - времени дается формулой
где - положение частицы в трехмерном пространстве, - скорость в трехмерном пространстве и - скорость света .
«Длина» вектора является скаляром Лоренца и определяется выражением
где - собственное время, измеренное часами в системе покоя частицы, а метрика Минковского определяется выражением
- .
Это показатель времени.
Часто используется альтернативная сигнатура метрики Минковского, в которой знаки единиц меняются местами.
- .
Это метрика, подобная пространству.
В метрике Минковского пространственноподобный интервал определяется как
- .
В оставшейся части статьи мы будем использовать пространственно-подобную метрику Минковского.
Длина вектора скорости [ править ]
Скорость в пространстве-времени определяется как
где
- .
Величина 4-скорости является скаляром Лоренца,
- .
Следовательно, c - скаляр Лоренца.
Внутренний продукт ускорения и скорости [ править ]
4-ускорение определяется выражением
- .
4-х скоростное ускорение всегда перпендикулярно 4-х скоростному.
- .
Следовательно, мы можем рассматривать ускорение в пространстве-времени как просто вращение 4-скорости. Внутреннее произведение ускорения и скорости является скаляром Лоренца и равно нулю. Это вращение - просто выражение сохранения энергии:
где - энергия частицы, а - 3-сила, действующая на частицу.
Энергия, масса покоя, 3-импульс и 3-скорость от 4-го импульса [ править ]
4-импульс частицы равен
где - масса покоя частицы, - импульс в трехмерном пространстве, и
это энергия частицы.
Измерение энергии частицы [ править ]
Рассмотрим вторую частицу с 4-скоростями и 3-скоростями . В системе покоя второй частицы внутренний продукт с пропорционален энергии первой частицы
где нижний индекс 1 указывает на первую частицу.
Поскольку отношение истинно в системе отсчета второй частицы, оно верно в любой системе отсчета. , энергия первой частицы в системе отсчета второй частицы является скаляром Лоренца. Следовательно,
в любой инерциальной системе отсчета, где по-прежнему остается энергия первой частицы в системе отсчета второй частицы.
Измерение массы покоя частицы [ править ]
В системе покоя частицы внутреннее произведение импульса равно
- .
Следовательно, масса покоя (m) является скаляром Лоренца. Отношение остается истинным независимо от кадра, в котором вычисляется внутренний продукт. Во многих случаях масса покоя записывается так, чтобы избежать путаницы с релятивистской массой, которая равна
Измерение 3-импульса частицы [ править ]
Обратите внимание, что
- .
Квадрат величины 3-импульса частицы, измеренный в системе отсчета второй частицы, является скаляром Лоренца.
Измерение 3-х скоростей частицы [ править ]
Трехскоростная в рамках второй частицы может быть построена из двух скаляров Лоренца.
- .
Более сложные скаляры [ править ]
Скаляры также могут быть построены из тензоров и векторов, из сжатия тензоров (например, ) или комбинаций сжатий тензоров и векторов (например, ).
Ссылки [ править ]
- Миснер, Чарльз; Торн, Кип С. и Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
- Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. (1975). Классическая теория полей (четвертое пересмотренное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN 0-08-018176-7.