Исходная тета-функция Якоби θ 1 с u = i π z и с nome q = e i π τ = 0,1 e 0,1 i π . Условные обозначения (Mathematica):
Наиболее распространенная форма тета-функции встречается в теории эллиптических функций . Что касается одной из комплексных переменных (обычно называемой z ), тета-функция имеет свойство, выражающее ее поведение по отношению к добавлению периода связанных эллиптических функций, что делает ее квазипериодической функцией . В абстрактной теории это происходит из условия спуска линейного пучка .
Тета-функция Якоби
Якоби тета 1
Якоби тета 2
Якоби тета 3
Якоби тета 4
Есть несколько тесно связанных функций, называемых тета-функциями Якоби, и множество разных и несовместимых систем обозначений для них. Одна тета-функция Якоби (названная в честь Карла Густава Якоба Якоби ) - это функция, определенная для двух комплексных переменных z и τ , где z может быть любым комплексным числом, а τ - отношение полупериодов , ограниченное верхней полуплоскостью , что означает он имеет положительную мнимую часть. Он задается формулой
где Q = ехр (π iτ ) является нома и η = ехр (2π из- ) . Это форма Якоби . При фиксированном τ это ряд Фурье для 1-периодической целой функции от z . Соответственно, тета-функция 1-периодична по z :
Он также оказывается τ -квазипериодическим по z , причем
Таким образом, в целом
для любых целых чисел a и b .
Тэта-функция θ 1 с разными номерами q = e i π τ . Черная точка на правом рисунке показывает, как q изменяется с τ .
Тэта-функция θ 1 с разными номерами q = e i π τ . Черная точка на правом рисунке показывает, как q изменяется с τ .
Вспомогательные функции
Тета-функция Якоби, определенная выше, иногда рассматривается вместе с тремя вспомогательными тета-функциями, и в этом случае она записывается с двойным нижним индексом 0:
Вспомогательные (или полупериодные) функции определяются как
Это обозначение следует Риману и Мамфорду ; Якоби первоначальная формулировка «ы была в терминах нома ц = е я л т , а не т . В обозначениях Якоби θ- функции записываются:
Если мы установим z = 0 в приведенных выше тета-функциях, мы получим только четыре функции от τ , определенные на верхней полуплоскости (иногда называемые тета-константами). Их можно использовать для определения множества модульных форм и параметризации некоторых кривые; в частности, тождество Якоби есть
Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются под модулярной группой , которая порождается τ ↦ τ + 1 и τ ↦ -1/τ. Уравнения для первого преобразования легко найти, поскольку добавление единицы к τ в экспоненте имеет тот же эффект, что и добавление 1/2к z ( n ≡ n 2 mod 2 ). Во-вторых, пусть
потом
Тета-функции в терминах нома
Вместо того , чтобы выразить функции Theta через г и т , мы можем выразить их в терминах аргументов ш и нома д , где ш = е π из- и д = е π iτ . В таком виде функции становятся
Мы видим, что тета-функции также могут быть определены в терминах w и q без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Таким образом, эти формулы можно использовать для определения тета-функций в других полях, где экспоненциальная функция может быть определена не везде, например в полях p -адических чисел .
Эта форма действительна в целом, но, очевидно, представляет особый интерес, когда z является действительным. Аналогичные формулы произведения для вспомогательных тета-функций:
Интегральные представления
Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:
которое может быть показано, что инвариантно при замене s на 1 - s . Соответствующий интеграл для z ≠ 0 приведен в статье о дзета-функции Гурвица .
Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса
Тэта-функция использовалась Якоби для построения (в форме, адаптированной для легкого вычисления) его эллиптических функций как частных вышеупомянутых четырех тэта-функций, и он мог также использоваться им для построения эллиптических функций Вейерштрасса , поскольку
где вторая производная определяется по z, а константа c определена так, что разложение Лорана of ( z ) при z = 0 имеет нулевой постоянный член.
Связь с q- гамма-функцией
Четвертая тета-функция - и, следовательно, другие - тесно связаны с q- гамма-функцией Джексона через соотношение [5]
Связь с функцией эта Дедекинда
Пусть η ( τ ) будет в дедекиндово функции ETA , и аргумент функции тета как нома д = е π iτ . Потом,
а также,
См. Также модульные функции Weber .
Эллиптический модуль
Эллиптический модуль является
а дополнительный эллиптический модуль равен
Решение уравнения теплопроводности
Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственно-периодическими граничными условиями. [6] Считая z = x действительным и τ = it с t вещественным и положительным, мы можем написать
который решает уравнение теплопроводности
Это решение тета-функции является 1-периодическим по x , и при t → 0 оно приближается к периодической дельта-функции или гребенке Дирака в смысле распределений
.
Общие решения пространственно-периодической задачи начального значения для уравнения теплопроводности могут быть получены путем свертки начальных данных при t = 0 с тета-функцией.
Отношение к группе Гейзенберга
Тета-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга . Эта инвариантность представлена в статье о тета-представлении группы Гейзенберга.
Обобщения
Если Р является квадратичной формой в п переменных, то функция тета , связанная с F является
с суммой, простирающейся по решетке целых чиселЭта тета-функция представляет собой модульную форму весап/2(на подходящей подгруппе) модульной группы . В разложении Фурье
числа R F ( k ) называются числами представления формы.
Тета-серия персонажа Дирихле
Для примитивный характер Дирихле по модулю а также тогда
это вес модульная форма уровня и характер , что значит
в любое время
[7]
Тета-функция Рамануджана
Тета-функция Римана
Позволять
набор симметричных квадратных матриц , мнимая часть которых положительно определена .называется верхним полупространством Зигеля и является многомерным аналогом верхней полуплоскости . П - мерный аналог модулярной группы является симплектической группой для n = 1 ,П - мерный аналог конгруэнцподгрупп играет
Тогда, учитывая тета - функция Римана определяется как
Здесь, является n- мерным комплексным вектором, а верхний индекс T обозначает транспонирование . Тогда тета-функция Якоби является частным случаем с n = 1 и где - верхняя полуплоскость . Одним из основных приложений тета-функции Римана является то, что она позволяет дать явные формулы для мероморфных функций на компактных римановых поверхностях, а также других вспомогательных объектов, которые занимают видное место в их теории функций, взявбыть матрицей периодов относительно канонического базиса своей первой группы гомологий .
Тэта Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах
Функциональное уравнение имеет вид
которое справедливо для всех векторов и для всех а также
Серия Пуанкаре
Ряд Пуанкаре обобщает ряд тета для автоморфных форм относительно произвольных фуксовых групп .
Заметки
↑ Тюрин, Андрей Н. (30 октября 2002 г.). «Квантование, классическая и квантовая теория поля и тета-функции». arXiv : math / 0210466v1 .
^Йи, Джинхи (2004). «Тета-функции и явные формулы для тета-функции и их приложения» . Журнал математического анализа и приложений . 292 (2): 381–400. DOI : 10.1016 / j.jmaa.2003.12.009 .
^ Надлежащая заслуга в этих результатах принадлежит Рамануджану. См . Потерянную записную книжку Рамануджана и соответствующую ссылку на функцию Эйлера . Результаты Рамануджана, указанные в функции Эйлера, плюс несколько элементарных операций дают результаты, приведенные ниже, поэтому приведенные ниже результаты либо находятся в утерянной записной книжке Рамануджана, либо непосредственно следуют из нее.
^Мезо, Иштван (2013), "Тиражирование формулы , включающие функции Якоби тета и Госпером в Q -trigonometric функций", Труды Американского математического общества , 141 (7): 2401-2410, DOI : 10,1090 / s0002-9939-2013-11576- 5
^Мезо, Иштван (2012). « Формула q- Раабе и интеграл четвертой тета-функции Якоби» . Журнал теории чисел . 133 (2): 692–704. DOI : 10.1016 / j.jnt.2012.08.025 .
^Охьяма, Юске (1995). «Дифференциальные отношения тета-функций» . Осакский математический журнал . 32 (2): 431–450. ISSN 0030-6126 .
^ Шимура, О модульных формах полуцелого веса
Рекомендации
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям . Нью-Йорк: Dover Publications. сек. 16.27ff. ISBN 978-0-486-61272-0.
Ахиезер, Наум Ильич (1990) [1970]. Элементы теории эллиптических функций . Переводы математических монографий AMS. 79 . Провиденс, Род-Айленд: AMS. ISBN 978-0-8218-4532-5.
Farkas, Hershel M .; Кра, Ирвин (1980). Римановы поверхности . Нью-Йорк: Springer-Verlag. гл. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.. (для лечения теты Римана)
Харди, GH ; Райт, EM (1959). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press.
Мамфорд, Дэвид (1983). Тат Лекция по Тете I . Бостон: Биркхаузер. ISBN 978-3-7643-3109-2.
Пьерпон, Джеймс (1959). Функции комплексной переменной . Нью-Йорк: Dover Publications.
Раух, Гарри Э .; Фаркас, Хершель М. (1974). Тета-функции в приложениях к римановым поверхностям . Балтимор: Уильямс и Уилкинс. ISBN 978-0-683-07196-2.
Рейнхардт, Уильям П .; Уокер, Питер Л. (2010), «Тета-функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Whittaker, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. гл. 21. (история θ- функций Якоби )
дальнейшее чтение
Фаркас, Хершель М. (2008). «Тета-функции в комплексном анализе и теории чисел». В Аллади, Кришнасвами (ред.). Обзоры по теории чисел . Развитие математики. 17 . Springer-Verlag . С. 57–87. ISBN 978-0-387-78509-7. Zbl 1206.11055 .
Шенеберг, Бруно (1974). «IX. Тета-серия». Эллиптические модульные функции . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 203 . Springer-Verlag . С. 203–226. ISBN 978-3-540-06382-7.
Ackerman, M. Math. Аня. (1979) 244: 75. «О производящих функциях некоторых рядов Эйзенштейна » Springer-Verlag
Гарри Раух с Хершелем М. Фаркасом: Тета-функции с приложениями к римановым поверхностям, Уильямс и Уилкинс, Балтимор, Мэриленд, 1974, ISBN 0-683-07196-3 .
Внешние ссылки
Моисеев Игорь. «Эллиптические функции для Matlab и Octave» .
Эта статья включает в себя материалы из интегральных представлений тета-функций Якоби на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .