Форма Якоби

В математике , А форма Якоби является автоморфной формой на группу Jacobi , которая является полупрямым произведением из симплектической группы Sp (п, R) и групп Гейзенберга . Эта теория была впервые систематически изучена Эйхлером и Загиром (1985) .${\ Displaystyle H_ {R} ^ {(п, ч)}}$

Определение [ править ]

Форма Якоби уровня 1, веса k и индекса m является функцией двух комплексных переменных (с τ в верхней полуплоскости) такими, что${\ Displaystyle \ фи (\ тау, г)}$

• ${\ displaystyle \ phi \ left ({\ frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}}, {\ frac {z} {c \ tau + d}} \ right) = (c \ tau + г) ^ {k} e ^ {\ frac {2 \ pi imcz ^ {2}} {c \ tau + d}} \ phi (\ tau, z) {\ text {for}} {a \ b \ choose c \ d} \ in SL_ {2} (Z)}$
• ${\ Displaystyle \ фи (\ тау, z + \ лямбда \ тау + \ му) = е ^ {- 2 \ пи им (\ лямбда ^ {2} \ тау +2 \ лямбда г)} \ фи (\ тау, г )}$ для всех целых λ μ.
• ${\ displaystyle \ phi}$ имеет разложение Фурье

${\displaystyle \phi (\tau ,z)=\sum _{n\geq 0}\sum _{r^{2}\leq 4mn}c(n,r)e^{2\pi i(n\tau +rz)}.}$

Примеры [ править ]

Примеры двух переменных включают в себя функции Якоби тета , в Вейерштрасса ℘ функции и коэффициенты Фурье-Якоби модулярных форм Зигеля рода 2. Примеры с более чем двух переменных включают в себя символы некоторых неприводимых старшего веса представлений аффинных алгебр Каца-Муди . Мероморфные формы Якоби появляются в теории модулярных форм Мока .

Ссылки [ править ]

• Эйхлер, Мартин; Загир, Дон (1985), Теория форм Якоби , Progress in Mathematics, 55 , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, DOI : 10.1007 / 978-1-4684-9162-3 , ISBN 978-0-8176-3180-2, Руководство по ремонту  0781735