Тета-функция
В математике тета-функции представляют собой специальные функции нескольких комплексных переменных . Они важны во многих областях, включая теории абелевых многообразий и пространств модулей , а также квадратичных форм . Они также были применены к теории солитонов . При обобщении на алгебру Грассмана они появляются и в квантовой теории поля . [1]
Наиболее распространенная форма тета-функции встречается в теории эллиптических функций . По отношению к одной из комплексных переменных (условно называемой z ) тета-функция имеет свойство, выражающее ее поведение по отношению к добавлению периода ассоциированных эллиптических функций, что делает ее квазипериодической функцией . В абстрактной теории эта квазипериодичность исходит из класса когомологий линейного расслоения на комплексном торе , условия спуска .
Всю эту статью следует трактовать как (в целях решения вопросов выбора ветки ). [примечание 1]
Существует несколько тесно связанных функций, называемых тета-функциями Якоби, и множество различных и несовместимых систем обозначений для них. Одна тета-функция Якоби (названная в честь Карла Густава Якоби Якоби ) — это функция, определенная для двух комплексных переменных z и τ , где z может быть любым комплексным числом, а τ — отношение полупериода , ограниченное верхней полуплоскостью , что означает имеет положительную мнимую часть. Он определяется по формуле
где q = exp( πiτ ) — ном и η = exp(2 πiz ) . Это форма Якоби . При фиксированном τ это ряд Фурье для 1-периодической целой функции от z . Соответственно, тета-функция 1-периодична по z :
Тета-функция Якоби, определенная выше, иногда рассматривается вместе с тремя вспомогательными тета-функциями, и в этом случае она записывается с двойным индексом 0:
