Определенные коммутационные соотношения между операторами плотности тока в квантовых теориях поля определяют бесконечномерную алгебру Ли, называемую алгеброй тока . [1] Математически это алгебры Ли, состоящие из гладких отображений многообразия в конечномерную алгебру Ли. [2]
История [ править ]
Первоначальная алгебра токов, предложенная в 1964 году Мюрреем Гелл-Манном , описывала слабые и электромагнитные токи сильно взаимодействующих частиц, адронов , что привело к формуле Адлера-Вайсбергера и другим важным физическим результатам. В эпоху, непосредственно предшествовавшую квантовой хромодинамике , основная концепция заключалась в том, что даже без детального знания лагранжиана, определяющего динамику адронов, точная кинематическая информация - локальная симметрия - все еще может быть закодирована в алгебре токов. [3]
Коммутаторы, используемые в алгебре токов, представляют собой бесконечномерное расширение жорданова отображения , где квантовые поля представляют собой бесконечные массивы осцилляторов.
Современные алгебраические методы все еще являются частью общей основы физики элементарных частиц при анализе симметрий и незаменимы при обсуждении теоремы Голдстоуна .
Пример [ править ]
В неабелевой симметрии Янга – Миллса , где V и A - плотности ароматического и аксиального тока соответственно, парадигма алгебры токов следующая [4] [5]
- а также
![{\ displaystyle [V ^ {a} ({\ vec {x}}), V ^ {b} ({\ vec {y}})] = if_ {c} ^ {ab} \ delta ({\ vec { x}} - {\ vec {y}}) V ^ {c} ({\ vec {x}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f03e6fae233ed49df773cc5ee51a06e95199501)
![{\ displaystyle [V ^ {a} ({\ vec {x}}), A ^ {b} ({\ vec {y}})] = if_ {c} ^ {ab} \ delta ({\ vec { x}} - {\ vec {y}}) A ^ {c} ({\ vec {x}}), \ qquad [A ^ {a} ({\ vec {x}}), A ^ {b} ({\ vec {y}})] = if_ {c} ^ {ab} \ delta ({\ vec {x}} - {\ vec {y}}) V ^ {c} ({\ vec {x} }) ~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e7a49deec173bc201dd18cd9073131128b5b50)
где f - структурные константы алгебры Ли . Чтобы получить осмысленные выражения, они должны быть в обычном порядке .
Алгебра разрешается к прямой сумме двух алгебр, L и R , после определения
после чего
![{\ displaystyle [L ^ {a} ({\ vec {x}}), L ^ {b} ({\ vec {y}})] = if_ {c} ^ {ab} \ delta ({\ vec { x}} - {\ vec {y}}) L ^ {c} ({\ vec {x}}), \ quad [L ^ {a} ({\ vec {x}}), R ^ {b} ({\ vec {y}})] = 0, \ quad [R ^ {a} ({\ vec {x}}), R ^ {b} ({\ vec {y}})] = if_ {c } ^ {ab} \ delta ({\ vec {x}} - {\ vec {y}}) R ^ {c} ({\ vec {x}}) ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac35d97dde22f6c8cf6b1845e8a5c9c05335a1d)
Конформная теория поля [ править ]
Для случая , когда пространство является одномерным круг, токовые алгебры естественно возникают в качестве центрального расширения в алгебрах петель , известные как Кац-Муди или, более конкретно, аффинные алгебры Ли . В этом случае коммутатор и нормальный порядок могут получить очень точное математическое определение в терминах контуров интегрирования на комплексной плоскости, что позволяет избежать некоторых формальных трудностей расходимости, обычно встречающихся в квантовой теории поля.
Когда форма Киллинга алгебры Ли стягивается с текущим коммутатором, получаем тензор энергии-импульса в виде двумерной конформной теории поля . Когда этот тензор раскладывается в ряд Лорана , полученная алгебра называется алгеброй Вирасоро . [6] Этот расчет известен как конструкция Сугавары .
Общий случай формализуется как алгебра вершинных операторов .
См. Также [ править ]
- Аффинная алгебра Ли
- Хиральная модель
- Карта Иордании
- Алгебра Вирасоро
- Вершинная операторная алгебра
- Алгебра Каца – Муди
Заметки [ править ]
- ^ Голдин 2006
- ^ Кац, Виктор (1983). Бесконечномерные алгебры Ли . Springer. п. Икс. ISBN 978-1475713848.
- ↑ Гелл-Манн и Нееман, 1964 г.
- Перейти ↑ Gell-Mann, M. (1964). «Группа симметрии векторных и аксиально-векторных токов» . Физика . 1 (1): 63. doi : 10.1103 / PhysicsPhysiqueFizika.1.63 . PMID 17836376 .
- ^ Трейман, Джакив & Gross 1972
- ^ Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
Ссылки [ править ]
- Гелл-Манн, М. (1962). «Симметрии барионов и мезонов» . Физический обзор . 125 (3): 1067–84. Bibcode : 1962PhRv..125.1067G . DOI : 10.1103 / PhysRev.125.1067 .
- Гелл-Манн, М .; Нееман, Ю. , ред. (1964). Восьмеричный путь . WA Бенджамин . LCCN 65013009 .
- Гольдин, Г.А. (2006). Françoise, JP; Naber, GL; Цун, Т.С. (ред.). Энциклопедия математической физики . Современная алгебра. ISBN 978-0-12-512666-3- через ScienceDirect .
- Treiman, SB ; Джеки, Р .; Гросс, DJ (2015) [1972]. Лекции по алгебре течений и ее приложениям . Принстонская серия по физике. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . DOI : 10.1515 / 9781400871506 . ISBN 978-1-4008-7150-6- через Де Грюйтера . CS1 maint: discouraged parameter (link) Образец.
