Вершинная операторная алгебра

Теория струн
Фундаментальные объекты
Нить Космическая струна Brane D-брана
Теория возмущений
Бозонный Суперструна ( тип I , тип II , гетеротический )
Непертурбативные результаты
S-дуальность Т-дуальность U-дуальность М-теория F-теория AdS / CFT корреспонденция
Феноменология
Феноменология Космология Пейзаж
Математика
Зеркальная симметрия Чудовищный самогон
Связанные понятия Теория всего Конформная теория поля Квантовая гравитация Суперсимметрия Супергравитация Твисторная теория струн N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса Теория Калуцы – Клейна Мультивселенная Голографический принцип
Теоретики Аганагич Аркани-Хамед Атья банки Беренштейн Буссо Тесак Curtright Dijkgraaf Дистлер Дуглас Дафф Феррара Фишлер Фридан Ворота Глиоцци Гопакумар Зеленый Грин Валовой Губсер Гуков Guth Hanson Харви Горжава Гиббонс Качру Каку Kallosh Калуца Капустин Клебанов Книжник Концевич Кляйн Linde Мальдасена Мандельштам Марольф Мартинек Минвалла Мур Motl Мухи Майерс Нанопулос Нэстасе Некрасов Невеу Nielsen van Nieuwenhuizen Новиков Оливковое Ooguri Оврут Полчинский Поляков Раджараман Рамон Randall Ранджбар-Дэми Рочек Ром Scherk Шварц Зайберг Сен Шенкер Сигель Сильверштейн Сын Staudacher Steinhardt Strominger Сундрам Сасскинд 'т Хофт Townsend Триведи Турок Вафа Венециано Верлинде Верлинде Wess Виттен Яу Йонея Замолодчиков Замолодчиков Заслоу Зумино Zwiebach
История Глоссарий
v т е

В математике, вершинный оператор алгебра ( VOA ) является алгебраической структурой , которая играет важную роль в двумерной конформной теории поля и теории струн . Помимо физических приложений, алгебры вершинных операторов оказались полезными в чисто математических контекстах, таких как чудовищный самогон и геометрическое соответствие Ленглендса .

Связанное с этим понятие вертексной алгебры было введено Ричардом Борчердсом в 1986 году, мотивированным конструкцией бесконечномерной алгебры Ли, созданной Игорем Френкелем . В ходе этого построения используется пространство Фока , допускающее действие вершинных операторов, прикрепленных к векторам решетки. Борчердс сформулировал понятие вертексной алгебры, аксиоматизируя отношения между операторами вершин решетки, создав алгебраическую структуру, которая позволяет строить новые алгебры Ли, следуя методу Френкеля.

Понятие вертексной операторной алгебры было введено как модификация понятия вертексной алгебры Френкелем, Джеймсом Леповски и Арне Меурманом в 1988 году в рамках их проекта по созданию модуля самогона . Они заметили, что многие вершинные алгебры, которые появляются в природе, имеют полезную дополнительную структуру (действие алгебры Вирасоро) и удовлетворяют свойству ограниченного снизу по отношению к оператору энергии. Мотивированные этим наблюдением, они добавили действие Вирасоро и свойство ограниченного снизу в качестве аксиом.

Теперь у нас есть апостериорная мотивация для этих понятий из физики, а также несколько интерпретаций аксиом, которые изначально не были известны. Физически вершинные операторы, возникающие в результате вставок голоморфных полей в точках (т. Е. Вершинах) в двумерной конформной теории поля, допускают разложения операторных произведений, когда вставки сталкиваются, и они точно удовлетворяют соотношениям, указанным в определении алгебры вертексных операторов. Действительно, аксиомы вертексной операторной алгебры являются формальной алгебраической интерпретацией того, что физики называют киральными алгебрами., или «алгебры киральных симметрий», где эти симметрии описывают тождества Уорда, которым удовлетворяет данная конформная теория поля, включая конформную инвариантность. Другие формулировки аксиом вертексной алгебры включают более поздние работы Борчердса по сингулярным коммутативным кольцам, алгебры над некоторыми операдами на кривых, введенные Хуангом, Крисом и другими, и D-модульные теоретические объекты, называемые киральными алгебрами, введенные Александром Бейлинсоном и Владимиром Дринфельдом . Хотя эти киральные алгебры связаны между собой, они не совсем то же самое, что объекты с тем же именем, которое используют физики.

Важные базовые примеры алгебр вершинных операторов включают решетчатые ВОА (моделирующие решеточные конформные теории поля), ВОА, заданные представлениями аффинных алгебр Каца – Муди (из модели WZW ), ВОП Вирасоро (т. Е. ВОА, соответствующие представлениям алгебры Вирасоро ) и самогонный модуль V ^♮ , отличающийся своей чудовищной симметрией. Более сложные примеры, такие как аффинные W-алгебры и киральный комплекс де Рама на комплексном многообразии, возникают в геометрической теории представлений и математической физике .

Формальное определение [ править ]

Вершинная алгебра [ править ]

Алгебра вершины представляет собой совокупность данных, удовлетворяющие определенные аксиомы.

Данные [ редактировать ]

• векторное пространство V , называется пространством состояний. В качестве основного поля обычно принимают комплексные числа, хотя первоначальная формулировка Борчердса допускала произвольное коммутативное кольцо.
• единичный элемент 1 ∈ V , иногда пишется или Ω для обозначения состояния вакуума.${\ displaystyle | 0 \ rangle}$
• эндоморфизм Т  : V → V , называется "перевод". (Первоначальная формулировка Борчердса включала систему разделенных степеней T , поскольку он не предполагал, что основное кольцо делимо.)
• линейное отображение умножения Y  : V ⊗ V → V (( г )) , где V (( г )) есть пространство всех формальных рядов Лорана с коэффициентами в V . Эта структура альтернативно представлена ​​как бесконечный набор билинейных произведений u _n v или как отображение левого умножения V → End ( V ) [[ z ^{± 1} ]] , называемое соответствием поля состояний. Для каждого u ∈ V операторнозначное формальное распределениеY ( u , z ) называется вершинным оператором или полем (вставленным в ноль), а коэффициент при z ^{- n −1} - оператором u _n . Стандартное обозначение умножения:

${\ displaystyle u \ otimes v \ mapsto Y (u, z) v = \ sum _ {n \ in \ mathbf {Z}} u_ {n} vz ^ {- n-1}}$.

Аксиомы [ править ]

Эти данные необходимы для выполнения следующих аксиом:

• Личность. Для любого U ∈ V , Y (1, г ) у = у = UZ ⁰ и У ( у , г ) 1 ∈ U + ZV [[ г ]] . ^{[ требуется определение ]}
• Перевод. Т (1) = 0 , и для любого U , V ∈ V ,

${\ Displaystyle [T, Y (u, z)] v = TY (u, z) vY (u, z) Tv = {\ frac {d} {dz}} Y (u, z) v}$

• Местность (идентичность Якоби или идентичность Борчердса). Для любых u , v ∈ V существует натуральное число N такое, что:

${\ Displaystyle (zx) ^ {N} Y (u, z) Y (v, x) = (zx) ^ {N} Y (v, x) Y (u, z).}$

Эквивалентные формулировки аксиомы локальности [ править ]

Аксиома локальности имеет несколько эквивалентных формулировок в литературе, например, Френкель-Леповски-Меурман ввел тождество Якоби:

${\ displaystyle \ forall u, v, w \ in V: \ qquad z ^ {- 1} \ delta \ left ({\ frac {yx} {z}} \ right) Y (u, x) Y (v, y) wz ^ {- 1} \ delta \ left ({\ frac {-y + x} {z}} \ right) Y (v, y) Y (u, x) w = y ^ {- 1} \ delta \ left ({\ frac {x + z} {y}} \ right) Y (Y (u, z) v, y) w,}$

где мы определяем формальный дельта-ряд следующим образом:

${\displaystyle \delta \left({\frac {y-x}{z}}\right):=\sum _{s\geq 0,r\in \mathbf {Z} }{\binom {r}{s}}(-1)^{s}y^{r-s}x^{s}z^{-r}.}$

Борчердс ^[1] изначально использовал следующие два тождества: для любых векторов u , v и w и целых чисел m и n мы имеем

${\displaystyle (u_{m}(v))_{n}(w)=\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}{\binom {m}{i}}\left(u_{m-i}(v_{n+i}(w))-(-1)^{m}v_{m+n-i}(u_{i}(w))\right)}$

и

${\displaystyle u_{m}v=\sum _{i\geq 0}(-1)^{m+i+1}{\frac {T^{i}}{i!}}v_{m+i}u}$.

Позже он дал более обширную версию, которая эквивалентна, но проще в использовании: для любых векторов u , v и w , а также целых чисел m , n и q мы имеем

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbf {Z} }{\binom {m}{i}}\left(u_{q+i}(v)\right)_{m+n-i}(w)=\sum _{i\in \mathbf {Z} }(-1)^{i}{\binom {q}{i}}\left(u_{m+q-i}\left(v_{n+i}(w)\right)-(-1)^{q}v_{n+q-i}\left(u_{m+i}(w)\right)\right)}$

Наконец, существует формальная функциональная версия локальности: для любых u , v , w ∈ V существует элемент

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]]\left[z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}\right]}$

такие, что Y ( u , z ) Y ( v , x ) w и Y ( v , x ) Y ( u , z ) w - соответствующие разложения в V (( z )) (( x )) и V (( х )) (( г )) .${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$

Алгебра вершинных операторов [ править ]

Алгебра вершинного оператора является вершина алгебры снабжен конформным элемент со , таким , что оператор вершины Y ( ω , г ) есть вес два Вирасоро поля Ь ( г ) :

${\displaystyle Y(\omega ,z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\omega _{n}{z^{-n-1}}=L(z)=\sum _{n\in \mathbf {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

и удовлетворяет следующим свойствам:

• [ L _m , L _n ] = ( m - n ) L _{m + n} + (δ _{m + n, 0/12} ) ( m ³ - m ) c Id _V , где c - постоянная, называемая центральным зарядом , или рангом из V . В частности, коэффициенты этого вершинного оператора наделяют V действием алгебры Вирасоро с центральным зарядом c .
• L ₀ действует на V полупросто с целыми собственными значениями, ограниченными снизу.
• При градуировке, обеспечиваемой собственными значениями L ₀ , умножение на V однородно в том смысле, что если u и v однородны, то u _n v однородно степени deg ( u ) + deg ( v ) - n - 1 .
• Тождество 1 имеет степень 0, а конформный элемент ω - степень 2.
• Л _-1 = Т .

Гомоморфизм вершинных алгебр - это карта лежащих в основе векторных пространств, которая уважает дополнительную структуру идентичности, трансляции и умножения. Гомоморфизмы вертексных операторных алгебр имеют «слабую» и «сильную» формы в зависимости от того, уважают ли они конформные векторы.

Коммутативные вершинные алгебры [ править ]

Вершинная алгебра V коммутативна, если все вершинные операторы коммутируют друг с другом. Это эквивалентно тому, что все произведения Y ( u , z ) v лежат в V [[ z ]]. Учитывая коммутативную вершинную алгебру, постоянные члены умножения наделяют векторное пространство коммутативной кольцевой структурой, а T является производным. Наоборот, любое коммутативное кольцо V с дифференцированием T имеет каноническую структуру вершинной алгебры, где мы полагаем Y ( u , z ) v = u _–1 v z ⁰ = uv . Если дифференцирование T обращается в нуль, мы можем положить ω = 0, чтобы получить вершинную операторную алгебру, сосредоточенную в нулевой степени.

Любая конечномерная вертексная алгебра коммутативна. В частности, даже самые маленькие примеры некоммутативных вершинных алгебр требуют значительного введения.

Основные свойства [ править ]

Оператор сдвига T в вершинной алгебре индуцирует бесконечно малые симметрии на структуре произведения и удовлетворяет следующим свойствам:

• Y ( u , z ) 1 = e ^zT u
• Тот = U _-2 1, так что Т определяются Y .
• Y ( Tu , z ) = d ( Y ( u , z )) / dz
• е ^xT Y ( u , z ) e ^−xT = Y ( e ^xT u , z ) = Y ( u , z + x )
• (кососимметрия) Y ( u , z ) v = e ^zT Y ( v , - z ) u

Для вершинной операторной алгебры другие операторы Вирасоро обладают аналогичными свойствами:

• x ^{L ₀} Y ( u , z ) x ^{−L ₀} = Y ( x ^{L ₀} u , xz ).
• e ^{xL ₁} Y ( u , z ) e ^{−xL ₁} = Y (e ^{x (1 – xz) L ₁} (1– xz ) ^{−2L ₀} u , z (1– xz ) ⁻¹ )
• (квазиконформность) для всех m ≥ – 1.${\displaystyle [L_{m},Y(u,z)]=\sum _{k=0}^{m+1}{\binom {m+1}{k}}z^{k}Y(L_{m-k}u,z)}$
• (Ассоциативность, или свойство Кузена): для любых u , v , w ∈ V элемент

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in V[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

данное в определении также расширяется до Y ( Y ( u , z - x ) v , x ) w в V (( x )) (( z - x )).

Свойство ассоциативности вершинной алгебры следует из того факта, что коммутатор Y ( u , z ) и Y ( v , x ) аннулируется конечной степенью z - x , т. Е. Его можно разложить в виде конечной линейной комбинации производных формальной дельта-функции по ( z - x ) с коэффициентами в End ( V ).

Реконструкция: Пусть V - вершинная алгебра, и пусть { J ^a } - набор векторов с соответствующими полями J ^a ( z ) ∈ End ( V ) [[ z ^{± 1} ]]. Если V натянуто на одночлены от положительных весовых коэффициентов полей (т. Е. Конечные произведения операторов J ^a _n, примененных к 1, где n отрицательно), то мы можем записать операторное произведение такого одночлена как нормально упорядоченное произведение разделенных степенных производных полей (здесь нормальный порядок означает, что полярные члены слева перемещаются вправо). Конкретно,

${\displaystyle Y(J_{n_{1}+1}^{a_{1}}J_{n_{2}+1}^{a_{2}}...J_{n_{k}+1}^{a_{k}}1,z)=:{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial z^{n_{1}}}}{\frac {J^{a_{1}}(z)}{n_{1}!}}{\frac {\partial ^{n_{2}}}{\partial z^{n_{2}}}}{\frac {J^{a_{2}}(z)}{n_{2}!}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{k}}}{\partial z^{n_{k}}}}{\frac {J^{a_{k}}(z)}{n_{k}!}}:}$

В более общем смысле, если одному дано векторное пространство V с эндоморфизмом T и вектором 1, а набору векторов J ^a назначен набор полей J ^a ( z ) ∈ End ( V ) [[ z ^{± 1} ]] которые являются взаимно локальными, положительные весовые коэффициенты которых порождают V и удовлетворяют условиям тождества и трансляции, то предыдущая формула описывает структуру вершинной алгебры.

Пример: свободный бозон ранга 1 [ править ]

Базовым примером некоммутативной вертексной алгебры является свободный бозон ранга 1, также называемый вертексной операторной алгеброй Гейзенберга. Он «порождается» одним вектором b в том смысле, что, применяя коэффициенты поля b ( z ) = Y ( b , z ) к вектору 1 , мы получаем остовное множество. Основное векторное пространство - это кольцо многочленов бесконечной переменной C [ x ₁ , x ₂ , ...], где для положительных n коэффициент b _–n у Y ( b , z) действует как умножение на x _n , а b _n действует как n, умноженная на частную производную по x _n . Действие b ₀ - это умножение на ноль, порождающее фоковское представление V ₀ с «нулевым импульсом» алгебры Ли Гейзенберга (порожденное b _n для целых чисел n , с коммутационными соотношениями [ b _n , b _m ] = n δ _{n, - m} ), т.е. индуцированный тривиальным представлением подалгебры, натянутой на b _n , n ≥ 0.

Пространство Фока V ₀ может быть преобразовано в вертексную алгебру следующей реконструкцией:

${\displaystyle Y(x_{n_{1}+1}x_{n_{2}+1}x_{n_{3}+1}...x_{n_{k}+1},z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}b(z)\partial ^{n_{2}}b(z)...\partial ^{n_{k}}b(z):}$

где: ..: обозначает нормальный порядок (т.е. перемещение всех производных по x вправо). Вершинные операторы также могут быть записаны как функционал от функции многих переменных f как:

${\displaystyle Y[f,z]\equiv :f\left({\frac {b(z)}{0!}},{\frac {b'(z)}{1!}},{\frac {b''(z)}{2!}},...\right):}$

если мы понимаем, что каждый член в разложении f нормально упорядочен.

Свободный бозон ранга n задается n- кратным тензорным произведением свободного бозона ранга 1. Для любого вектора b в n -мерном пространстве имеется поле b ( z ), коэффициенты которого являются элементами алгебры Гейзенберга ранга n , коммутационные соотношения которой имеют дополнительный член внутреннего произведения: [ b _n , c _m ] = n (b , в) δ _{n, –m} .

Пример: алгебры вершинных операторов Вирасоро [ править ]

Алгебры вершинных операторов Вирасоро важны по двум причинам: во-первых, конформный элемент в алгебре вертексных операторов канонически индуцирует гомоморфизм из алгебры вершинных операторов Вирасоро, поэтому они играют универсальную роль в теории. Во-вторых, они тесно связаны с теорией унитарных представлений алгебры Вирасоро и играют важную роль в конформной теории поля . В частности, унитарные минимальные модели Вирасоро являются простыми факторами этих вершинных алгебр, а их тензорные произведения обеспечивают способ комбинаторного построения более сложных алгебр вершинных операторов.

Алгебра вертексных операторов Вирасоро определяется как индуцированное представление алгебры Вирасоро : если мы выберем центральный заряд c , существует единственный одномерный модуль для подалгебры C [z] ∂ _z + K, для которого K действует как c Id , и C [z] ∂ _z действует тривиально, и соответствующий индуцированный модуль натянут на многочлены от L _–n = –z ^{−n – 1} ∂ _z, когда n пробегает целые числа больше 1. Тогда модуль имеет статистическую сумму

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {R} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 2}(1-q^{n})^{-1}}$.

Это пространство имеет структуру алгебры вертексных операторов, в которой вершинные операторы определяются:

${\displaystyle Y(L_{-n_{1}-2}L_{-n_{2}-2}...L_{-n_{k}-2}|0\rangle ,z)\equiv {\frac {1}{n_{1}!n_{2}!..n_{k}!}}:\partial ^{n_{1}}L(z)\partial ^{n_{2}}L(z)...\partial ^{n_{k}}L(z):}$

и . Тот факт, что поле Вирасоро L (z) является локальным по отношению к самому себе, можно вывести из формулы для его самокоммутатора:${\displaystyle \omega =L_{-2}|0\rangle }$

${\displaystyle [L(z),L(x)]=\left({\frac {\partial }{\partial x}}L(x)\right)w^{-1}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-2L(x)x^{-1}{\frac {\partial }{\partial z}}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)-{\frac {1}{12}}cx^{-1}\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{3}\delta \left({\frac {z}{x}}\right)}$

где c - центральный заряд .

Если дан гомоморфизм вершинной алгебры из вершинной алгебры Вирасоро с центральным зарядом c в любую другую вершинную алгебру, вершинный оператор, присоединенный к образу ω, автоматически удовлетворяет соотношениям Вирасоро, т. Е. Образ ω является конформным вектором. И наоборот, любой конформный вектор в вертексной алгебре индуцирует выделенный гомоморфизм вертексной алгебры из некоторой вершинной операторной алгебры Вирасоро.

Алгебры вершинных операторов Вирасоро просты, за исключением случая, когда c имеет вид 1–6 ( p - q ) ² / pq для взаимно простых целых чисел p , q строго больше 1 - это следует из формулы определителя Каца. В этих исключительных случаях имеется единственный максимальный идеал, и соответствующий фактор называется минимальной моделью. Когда p = q +1, вершинные алгебры являются унитарными представлениями Вирасоро, а их модули известны как представления дискретных серий. Они играют важную роль в конформной теории поля отчасти потому, что они необычно податливы, а при малых p, они соответствуют хорошо известным системам статистической механики при критичности, например, модели Изинга , трикритической модели Изинга, модели Поттса с тремя состояниями и т. д. Согласно работе Вэйканга Ванга ^[2], касающейся правил слияния , мы имеем полное описание тензорных категорий унитарных минимальных моделей. Например, когда c = 1/2 (Изинг), существуют три неприводимых модуля с наименьшим L ₀ -весом 0, 1/2 и 1/16, а его кольцо слияния равно Z [ x , y ] / ( x ² - 1, у ² - х–1, xy - y ).

Пример: вакуумные модули WZW [ править ]

Заменяя алгебры Гейзенберга Ли с раскрученной аффинной алгебры Каца-Муди Ли (то есть универсальное центральное расширение в алгебры петель на конечномерном простой алгебры Ли ), можно построить вакуумную представление во многом таким же образом , как и свободный бозонная вершинная алгебра. Здесь WZW относится к модели Весса – Зумино – Виттена , которая дает аномалию, которая интерпретируется как центральное расширение.

Конкретно, отводя центральную пристройку

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} \to {\hat {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]\to 0}$

вдоль включения дает расщепленное расширение, и вакуумный модуль индуцируется из одномерного представления последнего, на котором центральный базисный элемент действует посредством некоторой выбранной константы, называемой «уровнем». Поскольку центральные элементы могут быть отождествлены с инвариантными скалярными произведениями на алгебре Ли конечного типа , обычно уровень нормализуется так, чтобы форма Киллинга имела уровень, вдвое превышающий двойственное число Кокстера . Эквивалентно, уровень один дает внутренний продукт, для которого самый длинный корень имеет норму 2. Это соответствует соглашению по алгебре петель , где уровни дискретизируются третьими когомологиями односвязных компактных групп Ли.${\displaystyle {\mathfrak {g}}[t]\to {\mathfrak {g}}[t,t^{-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Выбирая базис J конечной алгебры Ли типа, одна может образовать основу аффинной алгебры Ли с помощью ямайского ^с _п = J т ^п вместе с центральным элементом K . Путем реконструкции мы можем описать вершинные операторы нормальными упорядоченными произведениями производных полей

${\displaystyle J^{a}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}^{a}z^{-n-1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(J^{a}t^{n})z^{-n-1}.}$

Когда уровень некритичен, т.е. внутренний продукт не минус половина формы Киллинга, вакуумное представление имеет конформный элемент, заданный конструкцией Сугавары . ^[a] Для любого выбора двойственных базисов J ^a , J _a относительно скалярного произведения уровня 1 конформный элемент равен

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2(k+h^{\vee })}}\sum _{a}J_{a,-1}J_{-1}^{a}1}$

и дает алгебру операторов вершины которой центральное заряд является . На критическом уровне конформная структура разрушается, так как знаменатель равен нулю, но можно получить операторы L _n для n ≥ –1, взяв предел, когда k приближается к критичности.${\displaystyle k\cdot \dim {\mathfrak {g}}/(k+h^{\vee })}$

Эту конструкцию можно изменить, чтобы она работала для свободного бозона ранга 1. Фактически, векторы Вирасоро образуют однопараметрическое семейство ω _s = 1/2 x ₁ ² + s x ₂ , наделяя получившиеся вершинные операторные алгебры центральным зарядом 1−12s ² . Когда s = 0, мы имеем следующую формулу для градуированного размера:

${\displaystyle Tr_{V}q^{L_{0}}=\sum _{n\in \mathbf {Z} }\dim V_{n}q^{n}=\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{-1}}$

Это известно как производящая функция для разбиений , и также записывается как q, умноженное на ^1/24 модулярной формы веса -1/2 1 / η ( эта функция Дедекинда ). Тогда свободный бозон ранга n имеет n- параметрическое семейство векторов Вирасоро, и, когда эти параметры равны нулю, характер в q ^{n / 24} раз больше весовой n / 2 модулярной формы η ⁻ⁿ .

Модули [ править ]

Как и обычные кольца, вершинные алгебры допускают понятие модуля или представления. Модули играют важную роль в конформной теории поля, где их часто называют секторами. Стандартное предположение в физической литературе состоит в том, что полное гильбертово пространство конформной теории поля разлагается на сумму тензорных произведений левостороннего и правостороннего секторов:

${\displaystyle {\mathcal {H}}\cong \bigoplus _{i\in I}M_{i}\otimes {\overline {M_{i}}}}$

То есть, конформная теория поля имеет алгебру вертексных операторов левосторонних киральных симметрий, вертексную операторную алгебру правых киральных симметрий, а секторы, движущиеся в заданном направлении, являются модулями соответствующей вертексной операторной алгебры.

Для вершинной алгебры V с умножением Y под V -модулем понимается векторное пространство M, наделенное действием Y ^M : V ⊗ M → M (( z )), удовлетворяющее следующим условиям:

(Идентичность) Y ^M (1, z) = Id _M

(Ассоциативность, или тождество Якоби) Для любых u , v ∈ V , w ∈ M существует элемент

${\displaystyle X(u,v,w;z,x)\in M[[z,x]][z^{-1},x^{-1},(z-x)^{-1}]}$

такие, что Y ^M ( u , z ) Y ^M ( v , x ) w и Y ^M ( Y ( u , z - x ) v , x ) w - соответствующие разложения в M (( z )) (( x ) ) и M (( x )) (( z - x )). Эквивалентно справедливо следующее « тождество Якоби »:${\displaystyle X(u,v,w;z,x)}$

${\displaystyle z^{-1}\delta \left({\frac {y-x}{z}}\right)Y^{M}(u,x)Y^{M}(v,y)w-z^{-1}\delta \left({\frac {-y+x}{z}}\right)Y^{M}(v,y)Y^{M}(u,x)w=y^{-1}\delta \left({\frac {x+z}{y}}\right)Y^{M}(Y(u,z)v,y)w.}$

Модули вершинной алгебры образуют абелеву категорию . При работе с оператором вершин алгебры, предыдущее определение дано название « слабый модуль », а также V - модули должны удовлетворять дополнительному условию , что L ₀ действует полупросто с конечномерных подпространств и собственных значений, ограниченных ниже в каждом смежном классе Z . Работы Хуанга, Леповски, Миямото и Чжана показали на различных уровнях общности, что модули вершинной операторной алгебры допускают операцию слияния тензорного произведения и образуют тензорную категорию со сплетением .

Когда категория V -модулей полупроста с конечным числом неприводимых объектов, алгебра вершинных операторов V называется рациональной. Алгебры рациональных вершинных операторов, удовлетворяющие дополнительной гипотезе конечности (известной как условие C ₂ -конечности Чжу ), как известно, имеют особенно хорошее поведение и называются «регулярными». Например, теорема Чжу 1996 г. о модульной инвариантности утверждает, что характеры модулей регулярной ВОА образуют векторнозначное представление SL ₂ ( Z ). В частности, если ВОА голоморфна , т. Е. Ее категория представления эквивалентна категории представления векторных пространств, то ее статистическая сумма равна SL ₂( Z ) -инвариантно с точностью до константы. Хуанг показал, что категория модулей регулярной ВОА является модулярной тензорной категорией , а ее правила слияния удовлетворяют формуле Верлинде .

Чтобы связать с нашим первым примером, неприводимые модули свободного бозона ранга 1 задаются пространствами Фока V _λ с некоторым фиксированным импульсом λ, т. Е. Индуцированными представлениями алгебры Ли Гейзенберга , где элемент b ₀ действует скалярным умножением на λ . Пространство можно записать как C [ x ₁ , x ₂ , ...] v _λ , где v _λ - выделенный вектор основного состояния. Категория модулей не является полупростой, поскольку можно индуцировать представление абелевой алгебры Ли, где b ₀ действует нетривиальнымИорданский блок . Для свободного бозона ранга n существует неприводимый модуль V _λ для каждого вектора λ в комплексном n -мерном пространстве. Каждый вектор b ∈ C ⁿ дает оператор b ₀ , а пространство Фока V _λ отличается тем свойством, что каждое такое b ₀ действует как скалярное умножение на скалярное произведение ( b , λ).

В отличие от обычных колец, вершинные алгебры допускают понятие скрученного модуля, присоединенного к автоморфизму. Для автоморфизма σ порядка N действие имеет вид V ⊗ M → M (( z ^{1 / N} )) со следующим условием монодромии : если u ∈ V удовлетворяет σ u = exp (2π ik / N ) u , то u _n = 0, если n не удовлетворяет n + k / N ∈ Z(Есть разногласия по поводу знаков среди специалистов). Геометрически скрученные модули могут быть прикреплены к точкам ветвления на алгебраической кривой с разветвленным покрытием Галуа . В литературе по конформной теории поля скрученные модули называются скрученными секторами и тесно связаны с теорией струн на орбифолдах .

Алгебра вершинных операторов, определяемая четной решеткой [ править ]

Конструкция решетчатой ​​вершинной алгебры была исходной мотивацией для определения вершинных алгебр. Он строится путем взятия суммы неприводимых модулей для свободного бозона, соответствующего векторам решетки, и определения операции умножения путем задания операторов сплетения между ними. То есть, если Λ - четная решетка, решеточная вершинная алгебра V _Λ распадается на свободные бозонные модули как:

${\displaystyle V_{\Lambda }\cong \bigoplus _{\lambda \in \Lambda }V_{\lambda }}$

Решеточные вершинные алгебры канонически прикреплены к двойным покрытиям четных целочисленных решеток , а не к самим решеткам. Хотя каждая такая решетка имеет единственную решеточную вершинную алгебру с точностью до изоморфизма, конструкция вершинной алгебры не является функториальной, поскольку решеточные автоморфизмы имеют неоднозначность в подъеме. ^[1]

Рассматриваемые двойные покрытия однозначно определяются с точностью до изоморфизма по следующему правилу: элементы имеют вид ± e _α для векторов решетки α ∈ Λ (т. Е. Существует отображение на Λ, переводящее e _α в α, которое забывает знаки), и умножение удовлетворяет соотношениям e _α e _β = (–1) ^{(α, β)} e _β e _α . Другой способ описать это состоит в том, что для четной решетки Λ существует единственный (с точностью до кограницы) нормированный коцикл ε ( α , β ) со значениями ± 1такое, что (−1) ^{( α , β )} = ε ( α , β ) ε ( β , α ) , где условие нормировки таково, что ε (α, 0) = ε (0, α) = 1 для всех α ∈ Λ . Этот коцикл индуцирует центральное расширение Λ группой порядка 2, и мы получаем скрученное групповое кольцо C _ε [Λ] с базисом e _α ( α ∈ Λ) и правилом умножения e _α e _β = ε ( α, β ) e _{α + β} - условие коцикла на ε обеспечивает ассоциативность кольца. ^[3]

Вершинный оператор, прикрепленный к вектору младшего веса v _λ в пространстве Фока V _λ, имеет вид

${\displaystyle Y(v_{\lambda },z)=e_{\lambda }:\exp \int \lambda (z):=e_{\lambda }z^{\lambda }\exp \left(\sum _{n<0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right)\exp \left(\sum _{n>0}\lambda _{n}{\frac {z^{-n}}{n}}\right),}$

где z ^λ - это сокращение от линейного отображения, которое переводит любой элемент α-фоковского пространства V _α в моном z ^{( λ , α )} . Затем посредством реконструкции определяются вершинные операторы для других элементов пространства Фока.

Как и в случае со свободным бозоном, можно выбрать конформный вектор, задаваемый элементом s векторного пространства Λ ⊗ C , но условие, что дополнительные пространства Фока имеют целые L ₀ собственных значений, ограничивает выбор s : для ортонормированный базис x _i , вектор 1/2 x _{i, 1} ² + s ₂ должен удовлетворять ( s , λ ) ∈ Z для всех λ ∈ Λ, т.е. s лежит в двойственной решетке.

Если четная решетка Λ порождается своими «корневыми векторами» (такими, что (α, α) = 2), и любые два корневых вектора соединены цепочкой корневых векторов с последовательными скалярными произведениями, отличными от нуля, то алгебра вершинных операторов является единственным простым фактором вакуумного модуля аффинной алгебры Каца – Муди соответствующей простой простой алгебры Ли на уровне один. Это известно как Френкель-Кац (или Френкель - Кац - Segal ) строительства, и основан на более ранней конструкции по Sergio Фубини и Габриэле Венециано~d из тахионного вершинного оператора в двойной резонансной модели. Среди других особенностей нулевые режимы вершинных операторов, соответствующих корневым векторам, дают конструкцию базовой простой алгебры Ли, связанную с представлением, первоначально созданным Жаком Титсом . В частности, строятся все группы Ли типа ADE непосредственно из их корневых решеток. И это обычно считается самым простым способом построить 248-мерную группу E ₈ . ^{[3] [4]}

Супералгебры вершинных операторов [ править ]

Позволяя лежащему в основе векторному пространству быть суперпространством (т. Е. Векторным пространством с Z / 2 Z- градуировкой ), можно определить вершинную супералгебру с помощью тех же данных, что и вершинная алгебра, с 1 в V ₊ и T четным оператором. Аксиомы по сути те же, но нужно включить подходящие знаки в аксиому локальности или в одну из эквивалентных формулировок. То есть, если a и b однородны, сравнивается Y ( a , z ) Y ( b , w ) с ε Y ( b ,${\displaystyle V=V_{+}\oplus V_{-}}$w ) Y ( a , z ), где ε равно –1, если и a, и b нечетные, и 1 в противном случае. Если вдобавок в четной части V ₂ есть элемент Вирасоро ω и выполняются обычные градуирующие ограничения, то V называется вершинной операторной супералгеброй .

Один из простейших примеров - супералгебра вершинных операторов, порожденная одним свободным фермионом ψ. Как представление Вирасоро, оно имеет центральный заряд 1/2 и разлагается как прямая сумма модулей Изинга наименьшего веса 0 и 1/2. Его также можно описать как спиновое представление алгебры Клиффорда на квадратичном пространстве t ^1/2 C [ t , t ⁻¹ ] ( dt ) ^1/2 с спариванием вычетов. Вершинная операторная супералгебра голоморфна в том смысле, что все модули являются прямыми суммами самих себя, т. Е. Категория модулей эквивалентна категории векторных пространств.

Тензорный квадрат свободного фермиона называется свободным заряженный фермион, и бозон-фермионное соответствием, она изоморфна решетка вершина супералгебра прикреплена к нечетной решетке Z . ^[3] Это соответствие было использовано Дате-Джимбо-Кашивара-Мива для построения солитонных решений иерархии КП нелинейных УЧП.

Суперконформные структуры [ править ]

Алгебра Вирасоро имеет некоторые суперсимметричные расширения , которые естественным образом появляются в суперконформной теории поля и теории суперструн . N = 1, 2, 4 и суперконформные алгебры имеют особое значение.

Бесконечно голоморфная суперконформная преобразований supercurve (с одной даже локальная координата Z и N нечетно локальные координаты & thetas ; ₁ , ..., θ _N ) генерируются коэффициенты супер-стресс-энергии тензора Т (г, θ ₁ ,. .., θ _N ).

Когда N = 1, T имеет нечетную часть, заданную полем Вирасоро L ( z ), и четную часть, заданную полем

${\displaystyle G(z)=\sum _{n}G_{n}z^{-n-3/2}}$

с учетом коммутационных отношений

• ${\displaystyle [G_{m},L_{n}]=(m-n/2)G_{m+n}}$
• ${\displaystyle [G_{m},G_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m,-n}{\frac {4m^{2}+1}{12}}c}$

Изучая симметрию операторных произведений, можно обнаружить, что есть две возможности для поля G : индексы n либо все целые числа, что дает алгебру Рамона , либо все полуцелые числа, что дает алгебру Невё – Шварца . Эти алгебры имеют представления унитарной дискретной серии при центральном заряде

${\displaystyle {\hat {c}}={\frac {2}{3}}c=1-{\frac {8}{m(m+2)}}\quad m\geq 3}$

и унитарные представления для всех c, больших 3/2, с наименьшим весом h, ограниченным только h ≥ 0 для Невё – Шварца и h ≥ c / 24 для Рамона.

N = 1 суперконформная вектор в вершинный оператор алгебры V центрального заряда с является нечетным элементом τ ∈ V веса 3/2, таким образом, что

${\displaystyle Y(\tau ,z)=G(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} +1/2}G_{n}z^{-n-3/2},}$

G _−1/2 τ = ω, а коэффициенты G ( z ) дают действие N = 1 алгебры Невё – Шварца при центральном заряде c .

При N = 2 суперсимметрии получаются четные поля L ( z ) и J ( z ) и нечетные поля G ⁺ (z) и G ^- (z). Поле J ( z ) порождает действие алгебр Гейзенберга (описываемое физиками как ток U (1)). Существует N = 2 суперконформных алгебр Рамона и Невё – Шварца в зависимости от того, является ли индексирование полей G целочисленным или полуцелым. Однако U(1) ток порождает однопараметрическое семейство изоморфных суперконформных алгебр, интерполирующих между Рамоном и Невё-Шварцем, и эта деформация структуры известна как спектральный поток. Унитарные представления даются дискретными рядами с центральным зарядом c = 3-6 / m для целых m не менее 3 и континуумом наименьших весов для c > 3.

N = 2 суперконформная структура на алгебре оператора вершина пары нечетных элементов τ ⁺ , τ ^- веса 3/2, и даже элемент ц веса 1 таким образом, что τ ^± генерировать G ^± (г), а μ генерирует J ( z ).

Для N = 3 и 4 унитарные представления имеют только центральные заряды в дискретном семействе с c = 3 k / 2 и 6 k , соответственно, поскольку k пробегает положительные целые числа.

Дополнительные конструкции [ править ]

• Подалгебры с фиксированной точкой: учитывая действие группы симметрии на алгебру вершинных операторов, подалгебра фиксированных векторов также является алгеброй вертексных операторов. В 2013 году Миямото доказал, что два важных свойства конечности, а именно условие Чжу C ₂ и регулярность, сохраняются при взятии неподвижных точек при действиях конечных разрешимых групп.
• Текущие расширения: учитывая вершинную операторную алгебру и некоторые модули с целочисленным конформным весом, можно при благоприятных обстоятельствах описать структуру вертексной операторной алгебры на прямой сумме. Решеточные вершинные алгебры являются стандартным примером этого. Другое семейство примеров - это VOA с фреймами, которые начинаются с тензорных произведений моделей Изинга и добавляют модули, которые соответствуют соответственно четным кодам.
• Орбифолды: дана конечная циклическая группа, действующая на голоморфной ВОА, предполагается, что можно построить вторую голоморфную ВОА, присоединив неприводимые скрученные модули и взяв неподвижные точки при индуцированном автоморфизме, если эти скрученные модули имеют подходящий конформный вес. Известно, что это верно в частных случаях, например, в группах порядка не выше 3, действующих на решетчатые ВОА.
• Конструкция смежного класса (благодаря Годдарду, Кенту и Оливу): для данной вершинной операторной алгебры V с центральным зарядом c и множества S векторов можно определить коммутант C ( V , S ) как подпространство векторов v строго коммутируют со всеми полями поступающих из S , то есть, например , что Y ( s , г ) v ∈ V [[ г ]] для всех s ∈ S . Оказывается, это вершинная подалгебра с Y , T и тождеством, унаследованным от V. и если S является VOA центрального заряда гр _S , коммутант является VOA центрального заряда с - с _S . Например, вложение SU (2) на уровне k +1 в тензорное произведение двух SU (2) алгебр на уровнях k и 1 дает дискретный ряд Вирасоро с p = k +2, q = k +3 и это было использовано для доказательства их существования в 1980-х годах. Снова с помощью SU (2) вложение уровня k +2 в тензорное произведение уровня k и уровня 2 даетN = 1 суперконформная дискретная серия.
• БРСТ-редукция: для любого вектора v степени 1, удовлетворяющего v ₀ ² = 0, когомологии этого оператора имеют структуру градуированной вершинной супералгебры. В более общем смысле, можно использовать любое поле веса 1, остаток которого имеет квадрат ноль. Обычный метод - тензор с фермионами, так как тогда получается канонический дифференциал. Важным частным случаем является квантовая редукция Дринфельда-Соколова, применяемая к аффинным алгебрам Каца – Муди для получения аффинных W -алгебр как когомологий степени 0. Эти W- алгебры также допускают конструкции как вершинные подалгебры свободных бозонов, задаваемые ядрами экранирующих операторов.

Дополнительные примеры [ править ]

• Алгебра монстром вершина (также называется «модуль самогон»), ключ к доказательству Борчердса портретируемого , самогон чудовищных домыслов, был построен Френкелем, Lepowsky и Meurman в 1988 примечательна тем , что ее функция распределения является модульное инвариант J - 744, а его группа автоморфизмов - самая большая спорадическая простая группа, известная как группа монстров . Он построен путем орбифолдинга решетки Лича VOA с помощью автоморфизма порядка 2, индуцированного отражением решетки Лича в начале координат. То есть формируется прямая сумма решетки Лича VOA со скрученным модулем и фиксируются точки при индуцированной инволюции. Френкель, Леповски и Меурман в 1988 г. предположили, что${\displaystyle V^{\natural }}$${\displaystyle V^{\natural }}$- единственная голоморфная вершинная операторная алгебра с центральным зарядом 24 и статистической суммой j –744. Это предположение остается открытым.
• Киральный комплекс де Рама: Маликов, Шехтман и Вайнтроб показали, что методом локализации можно канонически присоединить систему bcβγ (бозон-фермионное суперполе) к гладкому комплексному многообразию. Этот комплекс пучков имеет выделенный дифференциал, а глобальные когомологии являются вершинной супералгеброй. Бен-Цви, Хелуани и Щесны показали, что риманова метрика на многообразии индуцирует N = 1 суперконформную структуру, которая превращается в структуру N = 2, если метрика кэлерова и Риччи-плоская, а гипер-кэлерова структура индуцирует N = 1. = 4 структура. Борисов и Либгобер показали, что можно получить эллиптический род с двумя переменнымикомпактного комплексного многообразия из когомологий Кирала де Рама - если многообразие является многообразием Калаби-Яу, то этот род является слабой формой Якоби . ^[5]

Связанные алгебраические структуры [ править ]

• Если рассматривать только сингулярную часть ОПЕ в вершинной алгебре, можно прийти к определению конформной алгебры Ли . Поскольку часто интересует только особая часть ОПЕ, это делает конформные алгебры Ли естественным объектом для изучения. Существует функтор из вершинных алгебр в конформные алгебры Ли, который забывает регулярную часть ОПЕ, и он имеет левый сопряженный, называемый функтором «универсальной вертексной алгебры». Вакуумные модули аффинных алгебр Каца – Муди и вершинных алгебр Вирасоро являются универсальными вершинными алгебрами, и, в частности, их можно очень кратко описать после разработки базовой теории.
• В литературе есть несколько обобщений понятия вершинной алгебры. Некоторые легкие обобщения включают ослабление аксиомы локальности, чтобы допустить монодромию, например, абелевы сплетающие алгебры Донга и Леповски. Их можно грубо рассматривать как объекты вершинной алгебры в плетеной тензорной категории градуированных векторных пространств, во многом так же, как вершинная супералгебра является таким объектом в категории супервекторных пространств. Более сложные обобщения относятся к q- деформациям и представлениям квантовых групп, например, в работах Френкеля – Решетихина, Этингофа – Каждана и Ли.
• Бейлинсон и Дринфельд ввели теоретико-пучковое понятие киральной алгебры , которое тесно связано с понятием вершинной алгебры, но определяется без использования каких-либо видимых степенных рядов. Для алгебраической кривой X киральная алгебра на X - это D _X -модуль A, снабженный операцией умножения на X × X , удовлетворяющей условию ассоциативности. Они также ввели эквивалентное понятие факторизационной алгебры${\displaystyle j_{*}j^{*}(A\boxtimes A)\to \Delta _{*}A}$то есть система квазикогерентных пучков на всех конечных произведениях кривой, вместе с условием совместимости, включающим откаты к дополнению различных диагоналей. Любую трансляционно-эквивариантную киральную алгебру на аффинной прямой можно отождествить с вертексной алгеброй, взяв слой в точку, и есть естественный способ присоединить киральную алгебру на гладкой алгебраической кривой к любой вершинной операторной алгебре.

См. Также [ править ]

• Операторная алгебра

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]