Анти-де Ситтер пространство

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике и физике , п - мерный анти-де Ситтер (AdS _п ) является максимально симметричным лоренцевым многообразием с постоянной отрицательными скалярной кривизной . Пространства Анти-де-Ситтера и пространство де Ситтера названы в честь Виллема де Ситтера (1872–1934), профессора астрономии Лейденского университета и директора Лейденской обсерватории . Виллем де Ситтер и Альберт Эйнштейн тесно работали вместе в Лейдене в 1920-х годах над пространственно-временной структурой Вселенной.

Коллекторы на постоянной кривизны наиболее знакомы в случае двух измерений, где поверхность сферы является поверхностью постоянной положительной кривизны, плоское ( евклидово ) плоскость является поверхностью постоянной нулевой кривизны, а гиперболическая плоскость является поверхностью постоянная отрицательная кривизна.

Эйнштейна общей теории относительности мест пространства и времени на равных основаниях, так что один считает геометрию единого пространства - времени вместо того , чтобы рассматривать пространство и время раздельно. Случаи пространства-времени постоянной кривизны - это пространство де Ситтера (положительное), пространство Минковского (нулевое) и пространство анти-де Ситтера (отрицательное). Таким образом , они являются точные решения о полевых уравнений Эйнштейна для в пустой Вселенной с положительной, нулевой или отрицательной космологической постоянной , соответственно.

Пространство Анти-де Ситтера обобщается на любое количество пространственных измерений. В более высоких измерениях он наиболее известен своей ролью в соответствии AdS / CFT , который предполагает, что можно описать силу в квантовой механике (например, электромагнетизм , слабое взаимодействие или сильное взаимодействие ) в определенном количестве измерений ( например, четыре) с теорией струн, в которой струны существуют в пространстве анти-де Ситтера с одним дополнительным (некомпактным) измерением.

Нетехническое объяснение [ править ]

Это нетехническое объяснение сначала определяет термины, используемые во вводном материале этой статьи. Затем в нем кратко излагается основная идея пространства-времени, подобного общей теории относительности. Затем обсуждается, как пространство де Ситтера описывает отдельный вариант обычного пространства-времени общей теории относительности (называемого пространством Минковского), связанный с космологической постоянной, и как пространство анти-де Ситтера отличается от пространства де Ситтера. Это также объясняет, что пространство Минковского, пространство де Ситтера и пространство анти-де Ситтера в применении к общей теории относительности можно рассматривать как вложенные в плоское пятимерное пространство-время. Наконец, он предлагает некоторые предостережения, которые в общих чертах описывают, как это нетехническое объяснение не позволяет охватить все детали математической концепции.

Перевод технических терминов [ править ]

Максимально симметричное лоренцево многообразие - это пространство-время, в котором ни одна точка в пространстве и времени не может быть отделена каким-либо образом от другой, и (будучи лоренцевым) единственный способ, которым направление (или касательное к пути в точке пространства-времени) может быть различают ли оно пространственноподобным, легким или временным. Пространство специальной теории относительности ( пространство Минковского ) является примером.

Кривизны постоянной скалярной означает общую теорию относительности силы тяжести , как изгиб пространства - времени , которая имеет кривизну , описанный одним числом , что является тем же самым всюду в пространстве - времени при отсутствии материи или энергии.

Отрицательные средства кривизны изогнутых гиперболические, как седловидная поверхность или Horn Габриэль поверхность, подобно тому , что из трубы колокола. Его можно описать как «противоположность» поверхности сферы, имеющей положительную кривизну.

Пространство-время в общей теории относительности [ править ]

Общая теория относительности - это теория природы времени, пространства и гравитации, в которой гравитация - это искривление пространства и времени, возникающее в результате присутствия материи или энергии. Энергия и масса эквивалентны (как выражено в уравнении E  =  mc ² ). Значения пространства и времени могут быть преобразованы в единицы времени или пространства путем умножения или деления значения на скорость света (например, секунды, умноженные на метры в секунду, равны метрам).

Распространенная аналогия включает в себя то, как падение в плоский лист резины, вызванное сидящим на нем тяжелым предметом, влияет на путь, по которому катятся поблизости маленькие предметы, заставляя их отклоняться внутрь от пути, по которому они бы пошли, если бы тяжелый объект отсутствовал. Конечно, в общей теории относительности и маленькие, и большие объекты взаимно влияют на кривизну пространства-времени.

Сила притяжения гравитации, создаваемая материей, возникает из-за отрицательной кривизны пространства-времени, представленной в аналогии с резиновым листом отрицательно изогнутым (похожим на трубный колокол) углублением в листе.

Ключевой особенностью общей теории относительности является то, что она описывает гравитацию не как обычную силу, подобную электромагнетизму, а как изменение геометрии пространства-времени в результате присутствия материи или энергии.

Аналогия, использованная выше, описывает кривизну двумерного пространства, вызванную гравитацией в общей теории относительности, в трехмерном суперпространстве, в котором третье измерение соответствует эффекту гравитации. Геометрический подход к общей теории относительности описывает эффекты гравитации в четырехмерном пространстве реального мира геометрически, проецируя это пространство в пятимерное суперпространство, пятое измерение которого соответствует кривизне в пространстве-времени, создаваемой гравитацией и гравитацией. -подобные эффекты в общей теории относительности.

В результате в общей теории относительности знакомое ньютоновское уравнение гравитации (т. Е. Гравитационное притяжение между двумя объектами равно гравитационной постоянной, умноженной на произведение их масс на квадрат расстояния между ними) является всего лишь приближением наблюдаемых гравитационных эффектов. в общей теории относительности. Однако это приближение становится неточным в экстремальных физических ситуациях, таких как релятивистские скорости (в частности, свет) или большие, очень плотные массы.${\ displaystyle \ textstyle F = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} \}$

В общей теории относительности гравитация вызвана искривлением («искажением») пространства-времени. Распространенное заблуждение - приписывать гравитацию искривленному пространству; ни пространство, ни время не имеют абсолютного значения в теории относительности. Тем не менее, чтобы описать слабую гравитацию, как на Земле, достаточно рассмотреть искажение времени в определенной системе координат. Мы находим гравитацию на Земле очень заметной, в то время как релятивистское искажение времени требует точных инструментов для обнаружения. Причина, по которой мы не осознаем релятивистских эффектов в нашей повседневной жизни, заключается в огромном значении скорости света (c =300 000  км / с приблизительно), что делает нас воспринимают пространство и время как различные объекты.

Пространство де Ситтера в общей теории относительности [ править ]

Пространство де Ситтера включает в себя разновидность общей теории относительности, в которой пространство-время слегка искривлено в отсутствие материи или энергии. Это аналогично соотношению между евклидовой геометрией и неевклидовой геометрией .

Собственная кривизна пространства-времени в отсутствие материи или энергии моделируется космологической постоянной в общей теории относительности. Это соответствует вакууму, имеющему плотность энергии и давление. Эта геометрия пространства-времени приводит к изначально параллельным ^{[ требуется пояснение ]} расходящимся временноподобным геодезическим, причем пространственноподобные участки имеют положительную кривизну.

Пространство Анти-де Ситтера, отличное от пространства де Ситтера [ править ]

Пространство анти-де Ситтера в общей теории относительности похоже на пространство де Ситтера , за исключением изменения знака кривизны пространства-времени. В пространстве анти-де Ситтера, в отсутствие материи или энергии, кривизна пространственноподобных секций отрицательна, что соответствует гиперболической геометрии , и первоначально параллельные ^{[ требуется пояснение ]} времениподобные геодезические в конечном итоге пересекаются. Это соответствует отрицательной космологической постоянной , где само пустое пространство имеет отрицательную плотность энергии, но положительное давление, в отличие от стандартной ΛCDM-модели нашей собственной Вселенной, для которой наблюдения далеких сверхновыхуказывают положительную космологическую постоянную, соответствующую (асимптотическому) пространству де Ситтера .

В пространстве анти-де Ситтера, как и в пространстве де Ситтера, собственная кривизна пространства-времени соответствует космологической постоянной.

Пространство де Ситтера и пространство анти-де Ситтера, рассматриваемые как встроенные в пять измерений [ править ]

Как отмечалось выше, использованная выше аналогия описывает искривление двумерного пространства, вызванное гравитацией в общей теории относительности, в трехмерном пространстве вложения, которое является плоским, как пространство Минковского в специальной теории относительности. Вложение пространств де Ситтера и анти-де Ситтера пяти плоских измерений позволяет определить свойства вложенных пространств. Расстояния и углы внутри встроенного пространства могут быть непосредственно определены из более простых свойств пятимерного плоского пространства.

В то время как пространство анти-де Ситтера не соответствует гравитации в общей теории относительности с наблюдаемой космологической постоянной, считается, что пространство анти-де Ситтера соответствует другим силам в квантовой механике (таким как электромагнетизм, слабое ядерное взаимодействие и сильное ядерное взаимодействие) . Это называется соответствием AdS / CFT .

Предостережения [ править ]

Остальная часть статьи объясняет детали этих концепций с гораздо более строгим и точным математическим и физическим описанием. Люди не подходят для визуализации предметов в пяти или более измерениях, но математические уравнения не имеют такой же сложности и могут представлять пятимерные концепции таким же подходящим образом, как и методы, которые математические уравнения используют для описания более простых для визуализации трех и четырех измерений. размерные концепции.

Существует особенно важное значение более точного математического описания, которое отличается от эвристического описания пространства де Ситтера и пространства анти-де Ситтера на основе аналогий. Математическое описание пространства анти-де Ситтера обобщает идею кривизны. В математическом описании кривизна является свойством конкретной точки и может быть отделена от какой-то невидимой поверхности, с которой сливаются изогнутые точки в пространстве-времени. Так, например, такие понятия, как сингулярности (наиболее широко известной из которых в общей теории относительности является черная дыра ), которые не могут быть полностью выражены в геометрии реального мира, могут соответствовать определенным состояниям математического уравнения.

Полное математическое описание также фиксирует некоторые тонкие различия, проводимые в общей теории относительности между пространственными измерениями и временными измерениями.

Определение и свойства [ править ]

Подобно тому, как сферические и гиперболические пространства могут быть визуализированы посредством изометрического вложения в плоское пространство одного более высокого измерения (как сфера и псевдосфера соответственно), пространство анти-де Ситтера может быть визуализировано как лоренцианский аналог сферы в пространстве одного измерения. дополнительное измерение. Дополнительное измерение похоже на время. В этой статье мы принимаем соглашение, что метрика во времениподобном направлении отрицательна.

Тогда пространство сигнатуры анти-де Ситтера ( p , q ) может быть изометрически вложено в пространство с координатами ( x ₁ , ..., x _p , t ₁ , ..., t _{q +1} ) и метрикой${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q + 1}}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} dx_ {i} ^ {2} - \ sum _ {j = 1} ^ {q + 1} dt_ {j} ^ { 2}}$

как квазисфера

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {p} x_ {i} ^ {2} - \ sum _ {j = 1} ^ {q + 1} t_ {j} ^ {2} = - \ alpha ^ {2},}$

где - ненулевая константа с размерами длины ( радиус кривизны ). Это (обобщенная) сфера в том смысле, что это набор точек, для которых «расстояние» (определяемое квадратичной формой) от начала координат постоянно, но визуально это гиперболоид , как на изображении.${\ displaystyle \ alpha}$

Метрика на пространстве анти-де Ситтера - это метрика , индуцированная внешней метрикой . Он невырожден и в случае q = 1 имеет лоренцеву сигнатуру.

Когда q = 0 , эта конструкция дает стандартное гиперболическое пространство. Дальнейшее обсуждение применимо, когда q ≥ 1 .

Замкнутые времяподобные кривые и универсальная обложка [ править ]

При q ≥ 1 указанное выше вложение имеет замкнутые времяподобные кривые ; например, такой кривой является путь, параметризованный и все остальные координаты равны нулю. При q ≥ 2 эти кривые присущи геометрии (неудивительно, поскольку любое пространство с более чем одним временным измерением содержит замкнутые времениподобные кривые), но когда q = 1 , они могут быть устранены путем перехода к универсальному покрывающему пространству , эффективно "раскручивая" "вложение. Аналогичная ситуация возникает с псевдосферой${\ Displaystyle т_ {1} = \ альфа \ грех (\ тау), т_ {2} = \ альфа \ соз (\ тау),}$, который изгибается вокруг себя, хотя гиперболическая плоскость этого не делает; в результате он содержит самопересекающиеся прямые (геодезические), а гиперболическая плоскость - нет. Некоторые авторы определяют пространство анти-де Ситтера как эквивалент самой вложенной квазисферы, в то время как другие определяют его как эквивалент универсального покрытия вложения.

Симметрии [ править ]

Если универсальное покрытие не берется, ( p , q ) пространство анти-де Ситтера имеет O ( p , q + 1) в качестве группы изометрий . Если взять универсальное покрытие, то группа изометрий будет покрытием O ( p , q + 1) . Это легче всего понять, если определить пространство анти-де Ситтера как симметричное пространство , используя конструкцию фактор-пространства , приведенную ниже.

Нестабильность [ править ]

Недоказанная «гипотеза о нестабильности AdS», представленная физиками Петром Бизоном и Анджеем Ростворовски в 2011 году, утверждает, что сколь угодно малые возмущения определенной формы в AdS приводят к образованию черных дыр. ^[1] Математик Георгиос Мошидис доказал, что с учетом сферической симметрии гипотеза верна для конкретных случаев нулевой пылевой системы Эйнштейна с внутренним зеркалом (2017) и безмассовой системы Власова Эйнштейна (2018). ^{[2] [3]}

Координатные патчи [ править ]

Координат патч охватывает часть пространства дает полупространство координатизации анти-де Ситтера. Метрический тензор для этого патча

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{y^{2}}}\left(-dt^{2}+dy^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}\right),}$

с приданием полупространства. Легко видеть, что эта метрика конформно эквивалентна плоскому полупространству-пространству Минковского.${\displaystyle y>0}$

Срезы постоянного времени этого координатного фрагмента являются гиперболическими пространствами в метрике полупространства Пуанкаре. В пределе as эта метрика полупространства конформно эквивалентна метрике Минковского . Таким образом, пространство анти-де Ситтера содержит конформное пространство Минковского на бесконечности («бесконечность» с нулевой координатой y в этом фрагменте).${\displaystyle y\to 0}$${\textstyle ds^{2}=-dt^{2}+\sum _{i}dx_{i}^{2}}$

В пространстве AdS время периодично, а универсальная оболочка имеет непериодическое время. Координатный патч выше покрывает половину единственного периода пространства-времени.

Поскольку конформная бесконечность AdS подобна времени , задание исходных данных на пространственноподобной гиперповерхности не определило бы будущую эволюцию однозначно ( то есть детерминированно), если нет граничных условий, связанных с конформной бесконечностью.

Другая часто используемая система координат, охватывающая все пространство, задается координатами t и гиперполярными координатами α, θ и φ.${\displaystyle r\geqslant 0}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(k^{2}r^{2}+1\right)dt^{2}+{\frac {1}{k^{2}r^{2}+1}}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

Соседнее изображение представляет область «полупространства» пространства анти-де Ситтера и его границу. Внутренняя часть цилиндра соответствует пространству-времени анти-де Ситтера, а его цилиндрическая граница соответствует его конформной границе. Зеленая заштрихованная область внутри соответствует области AdS, покрытой координатами полупространства, и ограничена двумя нулевыми, так называемыми светоподобными, геодезическими гиперплоскостями; зеленая заштрихованная область на поверхности соответствует области конформного пространства, покрытой пространством Минковского.

Зеленая заштрихованная область покрывает половину пространства AdS и половину конформного пространства-времени; левые концы зеленых дисков соприкасаются так же, как и правые концы.

Как однородное, симметричное пространство [ править ]

Точно так же, как 2-сфера

${\displaystyle S^{2}={\frac {\mathrm {O} (3)}{\mathrm {O} (2)}}}$

представляет собой частное двух ортогональных групп , анти-де Ситтера с четностью (отражательная симметрия) и симметрия обращения времени может рассматриваться как частное двух обобщенных ортогональных групп

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}={\frac {\mathrm {O} (2,n-1)}{\mathrm {O} (1,n-1)}}}$

тогда как AdS без P или C можно рассматривать как частное

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Spin} ^{+}(2,n-1)}{\mathrm {Spin} ^{+}(1,n-1)}}}$

из спиновых групп .

Эта факторная формулировка дает структуру однородного пространства . Алгебра Ли обобщенной ортогональной группы задается матрицами${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$${\displaystyle o(1,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&0\\0&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\cdots 0\cdots \\\leftarrow v^{t}\rightarrow \end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\vdots &\uparrow \\0&v\\\vdots &\downarrow \end{pmatrix}}&B\end{pmatrix}}}$,

где - кососимметричная матрица . Дополнительная образующая в алгебре Ли есть${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\mathrm {o} (2,n)}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}0&a\\-a&0\end{matrix}}&{\begin{pmatrix}\leftarrow w^{t}\rightarrow \\\cdots 0\cdots \\\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}\uparrow &\vdots \\w&0\\\downarrow &\vdots \end{pmatrix}}&0\end{pmatrix}}.}$

Эти двое выполняются . Явное вычисление матрицы показывает, что и . Таким образом, анти-де Ситтер является редуктивным однородным пространством и неримановым симметрическим пространством .${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle [{\mathcal {H}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle [{\mathcal {Q}},{\mathcal {Q}}]\subseteq {\mathcal {H}}}$

Обзор пространства-времени AdS в физике и его свойств [ править ]

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$является n- мерным решением теории гравитации с действием Эйнштейна – Гильберта с отрицательной космологической постоянной , ( ), т.е. теории, описываемой следующей плотностью лагранжиана :${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda <0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{16\pi G_{(n)}}}(R-2\Lambda )}$,

где G _{( n )} - гравитационная постоянная в n -мерном пространстве-времени. Следовательно, это решение уравнений поля Эйнштейна :

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0,}$

где есть тензор Эйнштейна и является метрика пространства - времени. Представляя радиус как это решение, можно погрузить в мерное плоское пространство-время с метрикой в координатах с помощью следующего ограничения:${\displaystyle G_{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle \alpha }$${\textstyle \Lambda ={\frac {-(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle diag(-1,-1,+1,\ldots ,+1)}$${\displaystyle (X_{1},X_{2},X_{3},\ldots ,X_{n+1})}$

${\displaystyle -X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+\sum _{i=3}^{n+1}X_{i}^{2}=-\alpha ^{2}.}$

Глобальные координаты [ править ]

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$параметризуется в глобальных координатах следующими параметрами :${\displaystyle (\tau ,\rho ,\theta ,\varphi _{1},\cdots ,\varphi _{n-3})}$

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cosh \rho \cos \tau \\X_{2}=\alpha \cosh \rho \sin \tau \\X_{i}=\alpha \sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1\end{cases}}}$,

где параметризовать сферу, так и с точки зрения координат они , , и так далее. Метрика в этих координатах:${\displaystyle {\hat {x}}_{i}}$${\displaystyle S^{n-2}}$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \sin \varphi _{n-3}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{2}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-3}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{3}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\cdots \cos \varphi _{n-2}}$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left(-\cosh ^{2}\rho \,d\tau ^{2}+\,d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho \,d\Omega _{n-2}^{2}\right)}$

где и . Принимая во внимание периодичность времени и во избежание замкнутых времениподобных кривых (СТК), следует брать универсальное покрытие . В пределе можно приблизиться к границе этого пространства-времени, обычно называемой конформной границей.${\displaystyle \tau \in [0,2\pi ]}$${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \rho \to \infty }$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

С преобразованиями и мы можем получить обычную метрику в глобальных координатах:${\displaystyle r\equiv \alpha \sinh \rho }$${\displaystyle t\equiv \alpha \tau }$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{\frac {1}{f(r)}}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega _{n-2}^{2}}$

куда ${\displaystyle f(r)=1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}}$

Координаты Пуанкаре [ править ]

Путем следующей параметризации:

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}+{\vec {x}}^{2}-t^{2}\right)\right)\\X_{2}={\frac {r}{\alpha }}t\\X_{i}={\frac {r}{\alpha }}x_{i}\qquad i\in \{3,\ldots ,n\}\\X_{n+1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}-{\vec {x}}^{2}+t^{2}\right)\right)\end{cases}},}$

метрика в координатах Пуанкаре:${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,d{\vec {x}}^{2}}$

в котором . Поверхность коразмерности 2 является горизонтом Пуанкаре-Киллинга и приближается к границе пространства-времени. Таким образом, в отличие от глобальных координат, координаты Пуанкаре не покрывают все многообразие . Используя эту метрику, можно записать так:${\displaystyle 0\leq r}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle r\to \infty }$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$ ${\displaystyle u\equiv {\frac {r}{\alpha ^{2}}}}$

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left({\frac {\,du^{2}}{u^{2}}}+u^{2}\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right)}$

где . Путем преобразования это также можно записать как:${\displaystyle x^{\mu }=\left(t,{\vec {x}}\right)}$${\displaystyle z\equiv {\frac {1}{u}}}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}\left(\,dz^{2}+\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right).}$

Последние координаты являются координатами, которые обычно используются в AdS / CFT-соответствии , с границей AdS в . ${\displaystyle z\to 0}$

Геометрические свойства [ править ]

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$метрика с радиусом является одним из максимальных симметричных n -мерных пространств-времени. Он имеет следующие геометрические свойства:${\displaystyle \alpha }$

Тензор кривизны Римана

${\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }-g_{\mu \beta }g_{\nu \alpha })}$

Кривизна Риччи

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {-(n-1)}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }}$

Скалярная кривизна

${\displaystyle R={\frac {-n(n-1)}{\alpha ^{2}}}}$

Ссылки [ править ]

• Бенгтссон, Ингемар. "Анти-де Ситтер пространство" (PDF) . Конспект лекций (с Archive.org) . Архивировано из оригинального (PDF) 2018-03-08.
• Qingming Cheng (2001) [1994], "Пространство Анти-де-Ситтера" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Эллис, СКФ ; Хокинг, С.В. (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Cambridge University Press , стр. 131–134.
• Фрэнсис, К. (2005). "Конформная граница пространства-времени анти-де Ситтера" (PDF) . Соответствие AdS / CFT: метрики Эйнштейна и их конформные границы . IRMA Lect. Математика. Теор. Phys. 8 . Цюрих: Eur. Математика. Soc. С. 205–216.
• Мацуда, Х. (1984). «Замечание об изометрическом вложении верхнего полупространства в пространство анти-де Ситтера» (PDF) . Математический журнал Хоккайдо . 13 (2): 123–132. DOI : 10.14492 / hokmj / 1381757712 . Проверено 4 февраля 2017 г..
• Вольф, Джозеф А. (1967). Пространства постоянной кривизны . п. 334.

Внешние ссылки [ править ]

• Упрощенное руководство по пространствам де Ситтера и анти-де Ситтер Педагогическое введение в пространства де Ситтера и анти-де Ситтера. Основная статья упрощена, почти без математики. Приложение носит технический характер и предназначено для читателей с физическим или математическим образованием.