Точные решения в общей теории относительности

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может сбивать читателей с толку или непонятна . Помогите, пожалуйста, прояснить статью . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Март 2007 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья содержит инструкции, советы или практические советы . Цель Википедии - представить факты, а не тренировать. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , переписав содержание с практическими рекомендациями или переместив ее в Викиверситет , Викиучебники или Викигид . ( Март 2017 г. ) ‹Приведенный ниже шаблон ( необходим эксперт ) рассматривается для удаления. См. Шаблоны для обсуждения, чтобы помочь достичь консенсуса. › Эта статья требует внимания эксперта по данной теме . Добавьте причину или параметр обсуждения в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. При размещении этого тега рассмотрите возможность связывания этого запроса с WikiProject . ( Март 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Рама отдыха Рамка центра импульса Кривизна Геодезический Принцип эквивалентности Масса в общей теории относительности Эквивалентность массы и энергии Инвариантный Инвариантная масса Симметрии пространства-времени Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Скорость света Производная по времени Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Скаляр Лоренца Замкнутая временная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Преобразование Лоренца Лоренцево многообразие Глобально гиперболическое многообразие Условия причинности Причинная структура Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Релятивистский диск Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

В ОТО , точное решение является лоренцево многообразие оснащен тензорных полей моделирования состояния обычного вещества, например, жидкости , или классической не-гравитационных полей , таких как электромагнитное поле .

Предпосылки и определение [ править ]

Эти тензорные поля должны подчиняться любым соответствующим физическим законам (например, любое электромагнитное поле должно удовлетворять уравнениям Максвелла ). По стандартному рецепту ^{[ какой? ],} который широко используется в математической физике , эти тензорные поля также должны давать определенные вклады в тензор энергии-импульса . ^[1] (Поле описывается лагранжианом , изменение по отношению к полю должно давать уравнения поля, а изменение по метрике должно давать вклад энергии в напряжение из-за поля.)${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta}}$

Наконец, когда все вклады в тензор энергии-импульса складываются, результатом должно быть решение уравнений поля Эйнштейна (записанных здесь в геометрических единицах , где скорость света c = гравитационная постоянная G = 1)

${\ displaystyle G ^ {\ alpha \ beta} = 8 \ pi \, T ^ {\ alpha \ beta}.}$

В приведенных выше уравнениях поля - тензор Эйнштейна , однозначно вычисляемый из метрического тензора, который является частью определения лоренцевого многообразия. Поскольку задание тензора Эйнштейна не полностью определяет тензор Римана , но оставляет тензор Вейля неопределенным (см. Разложение Риччи ), уравнение Эйнштейна можно рассматривать как своего рода условие совместимости: геометрия пространства-времени должна согласовываться с количеством и движением любая материя или негравитационные поля в том смысле, что непосредственное присутствие «здесь и сейчас» негравитационной энергии-импульса вызывает пропорциональную величину кривизны Риччи «здесь и сейчас». Кроме того, взяв ковариантные производные${\ displaystyle G ^ {\ alpha \ beta}}$уравнений поля и применяя тождества Бианки , было обнаружено, что соответствующее изменяющееся количество / движение негравитационной энергии-импульса может вызвать рябь кривизны, чтобы распространяться как гравитационное излучение , даже через области вакуума , которые не содержат вещества или не гравитационные поля.

Трудности с определением [ править ]

Любое лоренцево многообразие является решением полевого уравнения Эйнштейна для некоторой правой части. Это иллюстрируется следующей процедурой:

• возьмите любое лоренцево многообразие , вычислите его тензор Эйнштейна , что является чисто математической операцией${\ displaystyle G ^ {\ alpha \ beta}}$
• Поделить на ${\ displaystyle 8 \ pi}$
• объявить результирующее симметричное тензорное поле второго ранга тензором энергии-импульса .${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta}}$

Это показывает, что есть два дополнительных способа использования общей теории относительности:

• Можно зафиксировать форму тензора энергии-импульса (скажем, по некоторым физическим причинам) и изучить решения уравнений Эйнштейна с такой правой частью (например, если выбрать тензор энергии-импульса в качестве тензора идеального жидкость, сферически-симметричное решение может служить моделью звезды )
• В качестве альтернативы можно исправить некоторые геометрические свойства пространства-времени и найти источник материи, который мог бы предоставить эти свойства. Это то, что космологи делают с 2000-х годов: они предполагают, что Вселенная однородна, изотропна и ускоряется, и пытаются понять, какая материя (называемая темной энергией ) может поддерживать такую ​​структуру.

В рамках первого подхода предполагаемый тензор энергии-импульса должен стандартным образом возникать из «разумного» распределения материи или негравитационного поля. На практике это понятие довольно ясно, особенно если мы ограничим допустимые негравитационные поля единственным известным в 1916 году электромагнитным полем . Но в идеале мы хотели бы иметь некоторую математическую характеристику, которая устанавливает некий чисто математический тест, который мы можем применить к любому предполагаемому «тензору энергии-напряжения», который проходит все, что может возникнуть из «разумного» физического сценария, и отвергает все остальное. К сожалению, такая характеристика неизвестна. Вместо этого у нас есть грубые тесты, известные как энергетические условия ,которые аналогичны наложению ограничений насобственные значения и собственные векторы оператора А линейного оператора . Но эти условия, похоже, никого удовлетворить не могут. С одной стороны, они слишком снисходительны: они допускают «решения», которые почти никто не считает физически разумными. С другой стороны, они могут быть слишком ограничительными: наиболее популярные энергетические условия, по-видимому, нарушаются эффектом Казимира .

Эйнштейн также распознал другой элемент определения точного решения: это должно быть лоренцево многообразие (удовлетворяющее дополнительным критериям), то есть гладкое многообразие . Но при работе с общей теорией относительности очень полезно допускать решения, которые не везде гладкие; Примеры включают множество решений, созданных путем согласования идеального жидкого внутреннего решения с вакуумным внешним решением, а также импульсные плоские волны. И снова оказалось, что творческое противоречие между элегантностью и удобством соответственно трудно разрешить удовлетворительно.

В дополнение к таким локальным возражениям у нас есть гораздо более сложная проблема, заключающаяся в том, что существует очень много точных решений, которые не вызывают возражений локально, но в глобальном масштабе демонстрируют причинно- следственные особенности, такие как замкнутые временноподобные кривые или структуры с точками разделения («миры брюк»). Некоторые из наиболее известных точных решений на самом деле имеют странный характер.

Типы точных решений [ править ]

Многие хорошо известные точные решения относятся к одному из нескольких типов, в зависимости от предполагаемой физической интерпретации тензора энергии-импульса:

• Вакуумные решения : ; они описывают области, в которых отсутствуют материальные или негравитационные поля,${\ Displaystyle Т ^ {\ альфа \ бета} = 0}$
• Электровакуумные решения : должны полностью возникать из электромагнитного поля, которое решает уравнения Максвелла без источников на заданном искривленном лоренцевом многообразии; это означает, что единственным источником гравитационного поля является энергия (и импульс) электромагнитного поля,${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta}}$
• Нулевые пылевые решения : должны соответствовать тензору энергии-импульса, который можно интерпретировать как результат некогерентного электромагнитного излучения, без необходимости решения уравнений поля Максвелла на данном лоренцевом многообразии,${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta}}$
• Жидкие растворы : они должны полностью возникать из тензора энергии-напряжения жидкости (часто считающейся идеальной жидкостью ); единственным источником гравитационного поля является энергия, импульс и напряжение (давление и напряжение сдвига) вещества, составляющего жидкость.${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta}}$

Помимо таких хорошо известных явлений, как жидкости или электромагнитные волны, можно рассматривать модели, в которых гравитационное поле полностью создается энергией различных экзотических гипотетических полей:

• Решения скалярного поля : должны полностью возникать из скалярного поля (часто безмассового скалярного поля); они могут возникнуть при рассмотрении мезонных пучков в классической теории поля или как квинтэссенция ,${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta}}$
• Лямбдавакуумные решения (не стандартный термин, но стандартная концепция, для которой еще не существует названия): полностью возникают из ненулевой космологической постоянной .${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta}}$

Одна из возможностей, которой уделялось мало внимания (возможно, из-за сложной математики), - это проблема моделирования упругого твердого тела . В настоящее время, похоже, нет точных решений для этого конкретного типа.

Ниже мы кратко описали классификацию по физической интерпретации. Вероятно, это будет более полезно для большинства читателей, чем классификация возможных алгебраических симметрий тензора Риччи по Сегре , но для полноты картины отметим следующие факты:

• ненулевые электровакуумы имеют тип Сегре и группу изотропии SO (1,1) x SO (2),${\ Displaystyle \ {\, (1,1) (11) \}}$
• нулевые электровакуумы и нулевые пыли имеют тип Сегре и группу изотропии E (2),${\ Displaystyle \ {\, (2,11) \}}$
• идеальные жидкости имеют тип Сегре и группу изотропии SO (3),${\ Displaystyle \ {\, 1, (111) \}}$
• Лямбда-пылесосы имеют тип Сегре и изотропную группу SO (1,3).${\ Displaystyle \ {\, (1,111) \}}$

Остальные типы Сегре не имеют особой физической интерпретации, и большинство из них не может соответствовать какому-либо известному типу вклада в тензор энергии-импульса.

Примеры [ править ]

Примечательные примеры вакуумных растворов, электровакуумных растворов и т. Д. Перечислены в специализированных статьях (см. Ниже). Эти решения содержат не более одного вклада в тензор энергии-импульса , обусловленного конкретным видом вещества или поля. Однако есть несколько примечательных точных решений, которые содержат два или три вклада, в том числе:

• Решение NUT-Керра-Ньюмана-де Ситтера содержит вклады от электромагнитного поля и положительной энергии вакуума, а также своего рода вакуумное возмущение керровского вакуума, которое определяется так называемым параметром NUT,
• Гёделевская пыль содержит вклад идеальной жидкости без давления (пыли) и положительной энергии вакуума.

Вот некоторые гипотетические возможности, которые не вписываются в нашу грубую классификацию ^{[ необходимы пояснения ]} :

• определенные метрики червоточины ^{[ какие? ]} ,
• Метрика Алькубьерре .
• «Машины времени», то есть изначально красивые пространства-времени ^{[ требуется пояснение ],} в которых на некотором этапе эволюции появляются замкнутые причинные кривые ^{[ требуется пояснение ]} .

Были высказаны некоторые сомнения ^{[ по мнению кого? ]} от того, может ли существовать достаточное количество экзотической материи, необходимой для червоточин и пузырей Алькубьерре. ^{[2] Однако} позже эти сомнения оказались ^[3] в основном беспочвенными. Третий из этих примеров, в частности, является поучительным примером упомянутой выше процедуры превращения любого лоренцевого многообразия в «решение». Именно на этом пути Хокингу удалось доказать ^[4]что машины времени определенного типа (с «компактно порожденным горизонтом Коши») не могут появиться без экзотической материи. Такое пространство-время также является хорошей иллюстрацией того факта, что если пространство-время не является особенно красивым («глобально гиперболическим»), уравнения Эйнштейна не определяют его эволюцию однозначно . Любое пространство-время может превратиться в машину времени, но никогда не должно этого делать. ^[5]

Построение решений [ править ]

Полевые уравнения Эйнштейна представляют собой систему связанных нелинейных уравнений в частных производных. В общем, это затрудняет их решение. Тем не менее, было установлено несколько эффективных методов получения точных решений.

Самый простой заключается в наложении условий симметрии на метрический тензор , таких как стационарность (симметрия относительно перевода времени ) или осесимметрия (симметрия относительно вращения вокруг некоторой оси симметрии ). При достаточно умных предположениях такого рода часто можно свести уравнение поля Эйнштейна к гораздо более простой системе уравнений, даже к одному уравнению в частных производных (как это происходит в случае стационарных осесимметричных вакуумных решений , которые характеризуются уравнением Эрнста. уравнение ) или систему обыкновенных дифференциальных уравнений (как это происходит в случае вакуума Шварцшильда ).

Этот наивный подход обычно работает лучше всего, если используется поле кадра, а не основа координат .

Родственная идея предполагает внушительные алгебраические условия симметрии на тензор Вейля , тензор Риччи , или тензор Римана . Они часто формулируются в терминах классификации Петрова возможных симметрий тензора Вейля или классификации Сегре возможных симметрий тензора Риччи. Как будет очевидно из приведенного выше обсуждения, такие анзацы часто имеют некоторое физическое содержание, хотя это может быть не очевидно из их математической формы.

Этот второй тип симметрийного подхода часто используется с формализмом Ньюмана – Пенроуза , который использует спинорные величины для более эффективного учета.

Даже после такого снижения симметрии редуцированную систему уравнений часто трудно решить. Например, уравнение Эрнста является нелинейным уравнением в частных производных, чем-то напоминающим нелинейное уравнение Шредингера (NLS).

Но напомним, что конформная группа на пространстве-времени Минковского - это группа симметрий уравнений Максвелла . Напомним также, что решения уравнения теплопроводности можно найти, приняв масштабный анзац . Эти понятия являются лишь частными случаями представления Софуса Ли о точечной симметрии.дифференциального уравнения (или системы уравнений), и, как показал Ли, это может обеспечить путь атаки на любое дифференциальное уравнение, имеющее нетривиальную группу симметрии. Действительно, и уравнение Эрнста, и NLS имеют нетривиальные группы симметрии, и некоторые решения могут быть найдены, используя их симметрии. Эти группы симметрии часто бесконечномерны, но это не всегда полезно.

Эмми Нётер показала, что небольшое, но глубокое обобщение концепции симметрии Ли может привести к еще более мощному методу атаки. Оказывается, это тесно связано с открытием того факта, что некоторые уравнения, которые считаются полностью интегрируемыми , обладают бесконечной последовательностью законов сохранения . Примечательно то, что как уравнение Эрнста (которое возникает несколькими способами при исследовании точных решений), так и NLS оказываются полностью интегрируемыми. Следовательно, их можно решить с помощью методов, напоминающих обратное преобразование рассеяния, которое первоначально было разработано для решения уравнения Кортевега-де Фриза (КдВ) , нелинейного уравнения в частных производных, которое возникает в теориисолитонов , и который также полностью интегрируем. К сожалению, решения, полученные этими методами, зачастую не так хороши, как хотелось бы. Например, способом, аналогичным способу получения многократного солитонного решения КдФ из односолитонного решения (которое можно найти из концепции точечной симметрии Ли), можно получить решение для множественных объектов Керра, но, к сожалению, это имеет некоторые особенности, которые делают его физически неправдоподобным. ^[6]

Существуют также различные преобразования (см. Преобразование Белинского-Захарова ), которые могут преобразовать (например) вакуумный раствор, найденный другими способами, в новый вакуумный раствор, или в электровакуумный раствор, или в жидкий раствор. Они аналогичны преобразованиям Беклунда, известным из теории некоторых дифференциальных уравнений в частных производных , включая некоторые известные примеры солитонных уравнений. Это не случайно, поскольку это явление также связано с представлениями Нётер и Ли о симметрии. К сожалению, даже в применении к «хорошо понятному», глобально допустимому решению эти преобразования часто приводят к решению, которое плохо понимается, и их общая интерпретация все еще неизвестна.

Существование решений [ править ]

Учитывая сложность построения явных малых семейств решений, не говоря уже о представлении чего-то вроде «общего» решения уравнения поля Эйнштейна или даже «общего» решения уравнения поля вакуума , очень разумным подходом является попытка найти качественные свойства, которые сохраняются для всех растворов или, по крайней мере, для всех вакуумных растворов. Один из самых основных вопросов, который можно задать: существуют ли решения, и если да, то сколько ?

Для начала, мы должны принять подходящую формулировку начального значения уравнения поля, что дает две новых системы уравнений, один давая ограничение на исходных данных , а другие , давая процедуру эволюционируют это исходные данные в раствор. Затем можно доказать, что решения существуют, по крайней мере, локально , используя идеи, не слишком отличающиеся от тех, которые встречаются при изучении других дифференциальных уравнений.

Чтобы получить некоторое представление о том, «сколько» решений мы можем оптимистично ожидать, мы можем обратиться к методу подсчета ограничений Эйнштейна . Типичный вывод из этого стиля аргументации состоит в том, что типичное вакуумное решение уравнения поля Эйнштейна может быть определено путем задания четырех произвольных функций трех переменных и шести произвольных функций двух переменных. Эти функции определяют исходные данные , из которых уникальное вакуумного решение может быть эволюционировало. (Напротив, вакуум Эрнста, семейство всех стационарных осесимметричных вакуумных решений, задается только двумя функциями двух переменных, которые даже не являются произвольными, но должны удовлетворять системе двух связанных нелинейных уравнений в частных производных. Это может дать некоторое представление о том, насколько крошечным на самом деле является типичное "большое" семейство точных решений по большому счету.)

Однако этот грубый анализ далек от гораздо более сложного вопроса о глобальном существовании решений. Известные пока результаты глобального существования связаны с другой идеей.

Теоремы глобальной устойчивости [ править ]

Мы можем вообразить «возмущение» гравитационного поля вне некоторого изолированного массивного объекта, «посылая какое-то излучение из бесконечности». Мы можем спросить: что происходит, когда поступающее излучение взаимодействует с окружающим полем? В подходе классической теории возмущений мы можем начать с вакуума Минковского (или другого очень простого решения, такого как лямбдавакуум де Ситтера), ввести очень малые метрические возмущения и сохранить только члены до некоторого порядка в подходящем разложении возмущений - отчасти например, оценивать некий ряд Тейлора для геометрии нашего пространства-времени. Этот подход, по сути, является идеей постньютоновских приближений, используемых при построении моделей гравитирующей системы, такой какдвойной пульсар . Однако разложения по возмущениям обычно не являются надежными для вопросов длительного существования и устойчивости в случае нелинейных уравнений.

Уравнение полного поля очень нелинейно, поэтому мы действительно хотим доказать, что вакуум Минковского устойчив к малым возмущениям, которые обрабатываются с помощью полностью нелинейного уравнения поля . Это требует внедрения множества новых идей. Желаемый результат, иногда выражаемый лозунгом о том, что вакуум Минковского является нелинейно устойчивым , был окончательно доказан Деметриосом Христодулу и Серджиу Клайнерманом только в 1993 году. Аналогичные результаты известны для лямбдавак-возмущений лямбдавакуума де Ситтера ( Гельмут Фридрих ) и для электровакуумных возмущений. вакуума Минковского ( Нина Ципсер ).

Теорема о положительной энергии [ править ]

Другой вопрос, который нас может беспокоить, заключается в том, всегда ли чистая масса-энергия изолированной концентрации положительной плотности массы-энергии (и импульса) дает хорошо определенную (и неотрицательную) чистую массу. Этот результат, известный как теорема положительной энергии, был окончательно доказан Ричардом Шоном и Шинг-Тунг Яу в 1979 году, которые сделали дополнительное техническое предположение о природе тензора энергии-импульса. Первоначальное доказательство очень сложно; Эдвард Виттен вскоре представил гораздо более короткое «физическое доказательство», которое было оправдано математиками с использованием дополнительных очень сложных аргументов. Роджер Пенроуз и другие также предложили альтернативные аргументы в пользу вариантов исходной теоремы о положительной энергии.

См. Также [ править ]

• Метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уолкера.
• Классификация Петрова для алгебраических симметрий тензора Вейля

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Красинский, А. (1997). Неоднородные космологические модели . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48180-5.
• МакКаллум, Массачусетс (2006). «Нахождение и использование точных решений уравнений Эйнштейна». Материалы конференции AIP . 841 . С. 129–143. arXiv : gr-qc / 0601102 . Bibcode : 2006AIPC..841..129M . DOI : 10.1063 / 1.2218172 .Обновленная обзорная статья, но слишком краткая по сравнению с обзорными статьями Бичака или Боннора и др. (Смотри ниже).
• Точные решения уравнений Эйнштейна Malcolm AH MacCallum Scholarpedia , 8 (12): 8584. DOI: 10.4249 / scholarpedia.8584
• Рендалл, Алан М. "Локальные и глобальные теоремы существования для уравнений Эйнштейна" . Живые обзоры в теории относительности . Проверено 11 августа 2005 года . Подробная и актуальная обзорная статья.
• Фридрих, Гельмут (2005). «Понятна ли общая теория относительности по существу?». Annalen der Physik . 15 : 84–108. arXiv : gr-qc / 0508016 . Bibcode : 2006AnP ... 518 ... 84F . DOI : 10.1002 / andp.200510173 . Отличный и более лаконичный обзор.
• Бичак, Иржи (2000). «Избранные точные решения уравнений поля Эйнштейна: их роль в общей теории относительности и астрофизике». Lect. Примечания Phys . Конспект лекций по физике. 540 : 1–126. arXiv : gr-qc / 0004031 . DOI : 10.1007 / 3-540-46580-4_1 . ISBN 978-3-540-67073-5. Отличный современный обзор.
• Боннор, ВБ; Гриффитс, Дж. Б.; МакКаллум, Массачусетс (1994). «Физическая интерпретация вакуумных решений уравнений Эйнштейна. Часть II. Нестационарные решения». Gen. Rel. Грав . 26 (7): 637–729. Bibcode : 1994GReGr..26..687B . DOI : 10.1007 / BF02116958 .
• Боннор, ВБ (1992). «Физическая интерпретация вакуумных решений уравнений Эйнштейна. Часть I. Не зависящие от времени решения». Gen. Rel. Грав . 24 (5): 551–573. Bibcode : 1992GReGr..24..551B . DOI : 10.1007 / BF00760137 . Мудрый обзор, первая из двух частей.
• Гриффитс, Дж. Б. (1991). Встречающиеся плоские волны в общей теории относительности . Оксфорд: Clarendon Press . ISBN 0-19-853209-1. Полный ресурс по сталкивающимся плоским волнам, но также полезен всем, кто интересуется другими точными решениями. доступно онлайн автором
• Hoenselaers, C .; Дитц, В. (1985). Решения уравнений Эйнштейна: методы и результаты . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-13366-6.
• Элерс, Юрген; Кундт, Вольфганг (1962). «Точные решения уравнений гравитационного поля». В Виттен, Л. (ред.). Гравитация: Введение в текущие исследования . Нью-Йорк: Вили. С. 49–101. Классический обзор, включающий такие важные оригинальные работы, как классификация симметрии вакуумных пространств-времен рр-волн.
• Стефани, Ганс; Дитрих Крамер; Малкольм МакКаллум; Корнелиус Хенселэрс; Эдуард Херльт (2009). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46702-5.

Внешние ссылки [ править ]