S-дуальность

Струнная теория
Фундаментальные объекты
Нить Космическая струна Brane D-брана
Теория возмущений
Бозонный Суперструна ( тип I , тип II , гетеротический )
Непертурбативные результаты
S-дуальность Т-дуальность U-дуальность М-теория F-теория AdS / CFT корреспонденция
Феноменология
Феноменология Космология Пейзаж
Математика
Зеркальная симметрия Чудовищный самогон
Связанные понятия Теория всего Конформная теория поля Квантовая гравитация Суперсимметрия Супергравитация Твисторная теория струн N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса Теория Калуцы – Клейна Мультивселенная Голографический принцип
Теоретики Аганагич Аркани-Хамед Атья банки Беренштейн Буссо Тесак Curtright Dijkgraaf Дистлер Дуглас Дафф Феррара Фишлер Фридан Ворота Глиоцци Гопакумар Зеленый Грин Валовой Губсер Гуков Гут Hanson Харви Горжава Гиббонс Качру Каку Kallosh Калуца Капустин Клебанов Книжник Концевич Кляйн Linde Мальдасена Мандельштам Марольф Мартинек Минвалла Мур Motl Мухи Майерс Нанопулос Нэстасе Некрасов Невеу Nielsen van Nieuwenhuizen Новиков Оливковое Ooguri Оврут Полчинский Поляков Раджараман Рамон Randall Ранджбар-Дэми Рочек Ром Scherk Шварц Зайберг Сен Шенкер Сигель Сильверстайн Сын Staudacher Steinhardt Строминджер Sundrum Сасскинд 'т Хофт Townsend Триведи Турок Вафа Венециано Верлинде Верлинде Wess Виттен Яу Йонея Замолодчиков Замолодчиков Заслоу Зумино Zwiebach
История Глоссарий
v т е

В теоретической физике , S-двойственность (сокращенно сильной-слабой двойственности ) является эквивалентность двух физических теорий, которые могут быть либо теории поля квантовой или теории струн . S-дуальность полезна для выполнения вычислений в теоретической физике, потому что она связывает теорию, в которой вычисления трудны, с теорией, в которой они проще. ^[1]

В квантовой теории поля, S-двойственность обобщает хорошо установленный факт из классической электродинамики , а именно инвариантностей из уравнений Максвелла при перестановке электрических и магнитных полей . Одним из самых ранних известных примеров S-дуальности в квантовой теории поля является двойственность Монтонена – Олива, которая связывает две версии квантовой теории поля, называемой N = 4 суперсимметричной теорией Янга – Миллса . Недавняя работа Антона Капустина и Эдварда Виттена предполагает, что двойственность Монтонена-Олива тесно связана с исследовательской программой в математике, называемой геометрической программой Ленглендса.. Другой реализацией S-дуальности в квантовой теории поля является дуальность Зайберга , которая связывает две версии теории, называемой N = 1 суперсимметричной теорией Янга – Миллса .

Также есть много примеров S-дуальности в теории струн. Существование этих струнных дуальностей означает, что кажущиеся различными формулировками теории струн фактически физически эквивалентны. Это привело к осознанию в середине 1990-х годов, что все пять последовательных теорий суперструн представляют собой просто разные предельные случаи единой одиннадцатимерной теории, называемой М-теорией . ^[2]

Обзор [ править ]

В квантовой теории поля и теории струн константа связи - это число, которое контролирует силу взаимодействий в теории. Например, сила тяжести описываются число называется постоянной Ньютона , которая появляется в законе тяготения Ньютона , а также в уравнениях Альберта Эйнштейн «с общей теорией относительности . Точно так же сила электромагнитной силы описывается константой связи, которая связана с зарядом, переносимым одиночным протоном .

Для вычисления наблюдаемых величин в квантовой теории поля или теории струн физики обычно применяют методы теории возмущений . В теории возмущений величины, называемые амплитудами вероятности , которые определяют вероятность возникновения различных физических процессов, выражаются как суммы бесконечно многих членов , где каждый член пропорционален степени константы связи :${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle A = A_ {0} + A_ {1} g + A_ {2} g ^ {2} + A_ {3} g ^ {3} + \ точки}$.

Чтобы такое выражение имело смысл, константа связи должна быть меньше 1, чтобы более высокие степени стали пренебрежимо малыми, а сумма была конечной. Если константа связи не меньше 1, то члены этой суммы будут становиться все больше и больше, и выражение дает бессмысленный бесконечный ответ. В этом случае говорят, что теория сильно связана , и нельзя использовать теорию возмущений для предсказаний.${\ displaystyle g}$

Для некоторых теорий S-дуальность обеспечивает способ выполнения вычислений при сильной связи, переводя эти вычисления в различные вычисления в слабосвязанной теории. S-дуальность - это частный пример общего понятия двойственности в физике. Термин двойственность относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические системы оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если две теории связаны двойственностью, это означает, что одну теорию можно каким-то образом преобразовать так, чтобы она выглядела точно так же, как другая теория. В этом случае говорят, что две теории двойственны друг другу при преобразовании. Иными словами, две теории представляют собой математически разные описания одних и тех же явлений.

S-дуальность полезна, потому что она связывает теорию с константой связи с эквивалентной теорией с константой связи . Таким образом, он связывает теорию с сильной связью (где константа связи намного больше 1) со слабосвязанной теорией (где константа связи намного меньше 1 и возможны вычисления). По этой причине S-дуальность называется дуальностью сильно-слабой .${\ displaystyle g}$${\ displaystyle 1 / g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle 1 / g}$

S-дуальность в квантовой теории поля [ править ]

Симметрия уравнений Максвелла [ править ]

В классической физике поведение электрического и магнитного поля описывается системой уравнений, известной как уравнения Максвелла . Работая на языке векторного исчисления и предполагая, что электрические заряды или токи отсутствуют, эти уравнения можно записать ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.\end{aligned}}}$

Вот это вектор (или точнее векторное поле , величина которого и направление может меняться от точки к точке в пространстве) , представляющий электрическое поле, представляет собой вектор , представляющий магнитное поле, время, и это скорость света . Другие символы в этих уравнениях относятся к дивергенции и ротору , которые являются понятиями из векторного исчисления.${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle c}$

Важным свойством этих уравнений ^[4] является их инвариантность относительно преобразования, которое одновременно заменяет электрическое поле магнитным полем и заменяет на :${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle -1/c^{2}\mathbf {E} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &\rightarrow \mathbf {B} \\\mathbf {B} &\rightarrow -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} .\end{aligned}}}$

Другими словами, имея пару электрических и магнитных полей, которые решают уравнения Максвелла, можно описать новую физическую установку, в которой эти электрические и магнитные поля существенно меняются местами, и новые поля снова дадут решение уравнений Максвелла. Эта ситуация является самым основным проявлением S-дуальности в квантовой теории поля.

Двойственность Монтонена и Олив [ править ]

В квантовой теории поля электрическое и магнитное поля объединены в единое целое, называемое электромагнитным полем , и это поле описывается особым типом квантовой теории поля, называемой калибровочной теорией или теорией Янга – Миллса . В калибровочной теории физические поля обладают высокой степенью симметрии, которую можно математически понять, используя понятие группы Ли . Эта группа Ли известна как калибровочная группа . Электромагнитное поле описывается очень простой калибровочной теорией, соответствующей абелевой калибровочной группе U (1) , но есть и другие калибровочные теории с более сложныминеабелевы калибровочные группы . ^[5]

Естественно спросить, есть ли в калибровочной теории аналог симметрии, меняющей местами электрическое и магнитное поля в уравнениях Максвелла. Ответ был дан в конце 1970 - х годов Клауса Montonen и Дэвид Олив , ^[6] здание на ранних работах Питер Годдард , Жан Nuyts и Olive. ^[7] Их работа представляет собой пример S-дуальности, ныне известной как двойственность Монтонена – Олива . Двойственность Монтонена – Олива применима к очень особому типу калибровочной теории, называемой N = 4 суперсимметричной теорией Янга – Миллса , и говорит, что две такие теории могут быть эквивалентны в определенном точном смысле. ^[1]Если одна из теорий имеет калибровочную группу , то дуальная теория имеет калибровочную группу, где обозначает двойственную группу Ленглендса, которая в общем случае отличается от . ^[8]${\displaystyle G}$${\displaystyle {^{L}}G}$${\displaystyle {^{L}}G}$${\displaystyle G}$

Важной величиной в квантовой теории поля является комплексная константа связи. Это комплексное число, определяемое формулой ^[9]

${\displaystyle \tau ={\frac {\theta }{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}}$

где - тета-угол , величина, фигурирующая в лагранжиане , определяющая теорию ^[9], и является константой связи. Например, в теории Янга – Миллса, описывающей электромагнитное поле, это число представляет собой просто элементарный заряд, переносимый одним протоном. ^[1] Помимо обмена калибровочными группами двух теорий, двойственность Монтонена – Олива преобразует теорию с комплексной константой связи в теорию с комплексной константой . ^[9]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle -1/\tau }$

Отношение к программе Ленглендса [ править ]

В математике классическое соответствие Ленглендса представляет собой набор результатов и гипотез, связывающих теорию чисел с разделом математики, известным как теория представлений . ^[10] Сформулированное Робертом Ленглендсом в конце 1960-х годов соответствие Ленглендса связано с важными гипотезами теории чисел, такими как гипотеза Таниямы – Шимуры , которая включает последнюю теорему Ферма как частный случай. ^[10]

Несмотря на важность для теории чисел, установление соответствия Ленглендса в теоретико-числовом контексте оказалось чрезвычайно трудным. ^[10] В результате некоторые математики разработали родственную гипотезу, известную как геометрическое соответствие Ленглендса . Это геометрическая переформулировка классического соответствия Ленглендса, которое получается заменой числовых полей, появляющихся в исходной версии, на функциональные поля и применением методов алгебраической геометрии . ^[10]

В статье 2007 года Антон Капустин и Эдвард Виттен предложили, чтобы геометрическое соответствие Ленглендса можно было рассматривать как математическое утверждение двойственности Монтонена – Олива. ^[11] Начав с двух теорий Янга – Миллса, связанных S-дуальностью, Капустин и Виттен показали, что можно построить пару квантовых теорий поля в двумерном пространстве - времени . Анализируя, что такое уменьшение размеров делает с некоторыми физическими объектами, называемыми D-бранами , они показали, что можно восстановить математические составляющие геометрического соответствия Ленглендса. ^[12]Их работа показывает, что соответствие Ленглендса тесно связано с S-дуальностью в квантовой теории поля с возможными приложениями в обеих областях. ^[10]

Двойственность Зайберга [ править ]

Другой реализацией S-дуальности в квантовой теории поля является дуальность Зайберга , впервые представленная Натаном Зайбергом в 1995 году. ^[13] В отличие от двойственности Монтонена – Олива, которая связывает две версии максимально суперсимметричной калибровочной теории в четырехмерном пространстве-времени, дуальность Зайберга связывает менее симметричные теории, называемые N = 1 суперсимметричными калибровочными теориями . Две N = 1 теории, возникающие в двойственности Зайберга, не идентичны, но они порождают одну и ту же физику на больших расстояниях. Подобно двойственности Монтонена-Олива, дуальность Зайберга обобщает симметрию уравнений Максвелла, которые меняют местами электрические и магнитные поля.

S-дуальность в теории струн [ править ]

Вплоть до середины 1990-х физики, работавшие над теорией струн, считали, что существует пять различных версий теории: тип I , тип IIA , тип IIB и два варианта гетеротической теории струн ( SO (32) и E 8 × E 8 ). . Различные теории допускают разные типы струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, обладают разной симметрией.

В середине 1990-х физики заметили, что эти пять теорий струн на самом деле связаны весьма нетривиальной двойственностью. Одна из этих двойственностей - S-двойственность. Существование S-дуальности в теории струн было впервые предложено Ашоком Сеном в 1994 году. ^[14] Было показано, что теория струн типа IIB с константой связи эквивалентна через S-дуальность той же теории струн с константой связи . Точно так же теория струн типа I со связью эквивалентна гетеротической теории струн SO (32) с константой связи .${\displaystyle g}$${\displaystyle 1/g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle 1/g}$

Существование этих дуальностей показало, что на самом деле не все теории пяти струн были отдельными. В 1995 году на конференции по теории струн в Университете Южной Калифорнии Эдвард Виттен сделал удивительное предположение, что все пять этих теорий представляют собой просто разные пределы одной теории, ныне известной как М-теория . ^[15] Предложение Виттена было основано на наблюдении, что теории гетеротических струн типов IIA и E ₈ × E ₈ тесно связаны с теорией гравитации, называемой одиннадцатимерной супергравитацией . Его заявление привело к шквалу работ, теперь известному как вторая суперструнная революция .

См. Также [ править ]

• Двойственность Монтонена-Олива
• Вихрь Нильсена – Олесена
• Двойной гравитон
• Т-дуальность
• Зеркальная симметрия
• AdS / CFT корреспонденция

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Аспинуолл, Пол; Бриджеланд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин, Антон; Мур, Грегори; Сегал, Грэм; Сендрой, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Дирихле Бран и зеркальная симметрия . Монографии по математике из глины . 4 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Френкель, Эдвард (2007). «Лекции по программе Ленглендса и конформной теории поля». Границы теории чисел, физики и геометрии II . Springer: 387–533. arXiv : hep-th / 0512172 . Bibcode : 2005hep.th ... 12172F . DOI : 10.1007 / 978-3-540-30308-4_11 . ISBN 978-3-540-30307-7. S2CID  119611071 .
• Френкель, Эдвард (2009). «Калибровочная теория и двойственность Ленглендса». Семинара Бурбаки .
• Годдард, Питер; Нуйц, Жан; Олив, Дэвид (1977). «Калибровочные теории и магнитный заряд» (PDF) . Ядерная физика Б . 125 (1): 1–28. Bibcode : 1977NuPhB.125 .... 1G . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (77) 90221-8 .
• Гриффитс, Дэвид (1999). Введение в электродинамику . Нью-Джерси: Прентис-Холл.
• Капустин, Антон; Виттен, Эдвард (2007). «Электромагнитная двойственность и геометрическая программа Ленглендса». Сообщения в теории чисел и физике . 1 (1): 1–236. arXiv : hep-th / 0604151 . Bibcode : 2007CNTP .... 1 .... 1K . DOI : 10,4310 / cntp.2007.v1.n1.a1 . S2CID  30505126 .
• Монтонен, Клаус; Олив, Дэвид (1977). "Магнитные монополи как калибровочные частицы?" . Физика Письма Б . 72 (1): 117–120. Полномочный код : 1977PhLB ... 72..117M . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (77) 90076-4 .
• Зайберг, Натан (1995). «Электромагнитная двойственность в суперсимметричных неабелевых калибровочных теориях». Ядерная физика Б . 435 (1): 129–146. arXiv : hep-th / 9411149 . Bibcode : 1995NuPhB.435..129S . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (94) 00023-8 . S2CID  18466754 .
• Сен, Ашок (1994). «Двойственность сильной-слабой связи в четырехмерной теории струн». Международный журнал современной физики А . 9 (21): 3707–3750. arXiv : hep-th / 9402002 . Bibcode : 1994IJMPA ... 9.3707S . DOI : 10.1142 / S0217751X94001497 . S2CID  16706816 .
• Виттен, Эдвард (13–18 марта 1995 г.). «Некоторые проблемы сильной и слабой связи». Proceedings of Strings '95: Будущие перспективы в теории струн . World Scientific.
• Виттен, Эдвард (1995). «Динамика теории струн в различных измерениях». Ядерная физика Б . 443 (1): 85–126. arXiv : hep-th / 9503124 . Bibcode : 1995NuPhB.443 ... 85W . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (95) 00158-O . S2CID  16790997 .
• Зи, Энтони (2010). Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-14034-6.
• Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88032-9.