В теоретической физике , Т-двойственность (сокращенно целевой космической двойственности ) является эквивалентность двух физических теорий, которые могут быть либо теории поля квантовой или теории струн . В простейшем примере этой связи одна из теорий описывает струны, распространяющиеся в воображаемом пространстве-времени, имеющем форму круга некоторого радиуса., в то время как другая теория описывает струны, распространяющиеся в пространстве-времени, имеющем форму круга радиуса, пропорционального . Идея T-двойственности была впервые отмечена Бала Сатиапаланом в малоизвестной статье в 1987 году. [1] Две T-дуальные теории эквивалентны в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойственном описании. Так , например, импульс в одном описании принимает дискретные значения и равно количеству раз строка ветров вокруг круга в двойном описании.
Идея T-дуальности может быть распространена на более сложные теории, включая теории суперструн . Существование этих дуальностей подразумевает, что кажущиеся разными теории суперструн на самом деле физически эквивалентны. Это привело к осознанию в середине 1990-х годов, что все пять последовательных теорий суперструн представляют собой просто разные предельные случаи единой одиннадцатимерной теории, называемой М-теорией .
В общем, T-дуальность связывает две теории с разной геометрией пространства-времени. Таким образом, T-дуальность предлагает возможный сценарий, в котором классические понятия геометрии разрушаются в теории физики планковского масштаба . [2] Геометрические отношения, предлагаемые Т-дуальностью, также важны в чистой математике . В самом деле, в соответствии с SYZ гипотезы о Строминджер , Shing-Tung Yau , и Eric Zaslow , Т-двойственность тесно связана с другой двойственности называемой зеркальной симметрии , которая имеет важные приложения в области математики называемых исчислительная алгебраической геометрии .
Обзор
Струны и двойственность
T-дуальность - это частный пример общего понятия двойственности в физике. Термин двойственность относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические системы оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если две теории связаны двойственностью, это означает, что одна теория может быть каким-то образом трансформирована так, что в конечном итоге она будет выглядеть так же, как другая теория. В этом случае говорят, что две теории двойственны друг другу при преобразовании. Иными словами, две теории представляют собой математически разные описания одних и тех же явлений.
Как и многие дуальности, изучаемые теоретической физикой, Т-дуальность была открыта в контексте теории струн . [3] В теории струн частицы моделируются не как нульмерные точки, а как одномерные протяженные объекты, называемые струнами . Физику струн можно изучать в различных измерениях. В дополнение к трем известным из повседневного опыта измерениям (вверх / вниз, влево / вправо, вперед / назад) теории струн могут включать одно или несколько компактных измерений , свернутых в кружки.
Стандартная аналогия для этого - рассмотреть многомерный объект, например, садовый шланг. [4] Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, кажется, что он имеет только одно измерение - длину. Однако по мере приближения к шлангу обнаруживается, что он содержит второе измерение - его окружность. Таким образом, муравей, проползший внутри него, будет двигаться в двух измерениях. Такие дополнительные измерения важны в Т-дуальности, которая связывает теорию, в которой струны распространяются по окружности некоторого радиуса. к теории, в которой струны распространяются по окружности радиуса .
Номера обмоток
В математике обмотки число из кривых в плоскости вокруг заданной точки представляет собой целое число , представляющее общее число раз , что кривой перемещается против часовой стрелки вокруг точки. Понятие числа намотки важно при математическом описании Т-дуальности, где оно используется для измерения намотки струн вокруг компактных дополнительных измерений .
Например, на изображении ниже показано несколько примеров кривых на плоскости, показанных красным. Предполагается , что каждая кривая замкнута , то есть не имеет конечных точек и может пересекаться сама с собой. Каждая кривая имеет ориентацию, указанную стрелками на рисунке. В каждой ситуации на плоскости есть выделенная точка, показанная черным цветом. Число витков кривой вокруг этой выделенной точки равно общему количеству поворотов против часовой стрелки, которые кривая делает вокруг этой точки.
−2 | −1 | 0 | ||
1 | 2 | 3 |
При подсчете общего количества оборотов повороты против часовой стрелки считаются положительными, а повороты по часовой стрелке считаются отрицательными . Например, если кривая сначала четыре раза обходит исходную точку против часовой стрелки, а затем один раз обходит ее по часовой стрелке, то общее число витков кривой равно трем. Согласно этой схеме кривая, которая вообще не проходит вокруг выделенной точки, имеет номер витка ноль, в то время как кривая, которая движется вокруг точки по часовой стрелке, имеет отрицательное число намотки. Следовательно, номер витка кривой может быть любым целым числом. На рисунках выше показаны кривые с номерами витков от -2 до 3:
Квантованные импульсы
Простейшие теории, в которых возникает T-дуальность, - это двумерные сигма-модели с круговыми целевыми пространствами. Это простые квантовые теории поля, которые описывают распространение струн в воображаемом пространстве-времени, имеющем форму круга. Таким образом, струны можно смоделировать как кривые на плоскости, ограниченные кругом, скажем радиуса, о происхождении . В дальнейшем предполагается, что строки замкнуты (то есть без конечных точек).
Обозначим этот круг . Можно думать об этом круге как о копии реальной линии с двумя точками, идентифицированными, если они отличаются на кратную длину окружности круга.. Отсюда следует, что состояние строки в любой момент времени может быть представлено как функция единственного реального параметра . Такую функцию можно разложить в ряд Фурье как
- .
Здесь обозначает номер намотки струны по кругу, а постоянный режим ряда Фурье. Поскольку это выражение представляет конфигурацию строки в фиксированное время, все коэффициенты ( и ) также являются функциями времени.
Позволять обозначают производную по времени постоянной моды . Это представляет собой разновидность импульса в теории. Используя тот факт, что рассматриваемые здесь струны замкнуты, можно показать, что этот импульс может принимать только дискретные значения вида для некоторого целого числа . Говоря более физическим языком, можно сказать, что импульсный спектр квантован .
Эквивалентность теорий
В описанной выше ситуации полная энергия или гамильтониан струны определяется выражением
- .
Поскольку импульсы теории квантованы, первые два члена в этой формуле равны , и это выражение не меняется при одновременной замене радиуса от и меняет заводской номер и целое число . Суммирование в выражении дляаналогично не зависит от этих изменений, поэтому общая энергия не изменяется. Фактически, эта эквивалентность гамильтонианов сводится к эквивалентности двух квантово-механических теорий: одна из этих теорий описывает струны, распространяющиеся по окружности радиуса, а другой описывает струну, распространяющуюся по окружности радиуса при этом меняются местами числа импульса и обмотки. Эта эквивалентность теорий - простейшее проявление Т-двойственности.
Суперструны
Вплоть до середины 1990-х годов физики, работающие над теорией струн, считали, что существует пять различных версий теории: тип I , тип IIA , тип IIB и две разновидности гетеротической теории струн ( SO (32) и E 8 × E 8 ). . Различные теории допускают разные типы струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, обладают разной симметрией.
В середине 1990-х физики заметили, что эти пять теорий струн на самом деле связаны весьма нетривиальной двойственностью. Одна из этих двойственностей - T-двойственность. Например, было показано, что теория струн типа IIA эквивалентна теории струн типа IIB через T-дуальность, а также что две версии гетеротической теории струн связаны посредством T-дуальности.
Существование этих дуальностей показало, что на самом деле не все теории пяти струн были отдельными. В 1995 году , в теории струн конференции в Университете Южной Калифорнии , Виттен сделал удивительное предположение , что все пять из этих теорий были только различные пределы одной теории , теперь известной как М-теории . [5] Предложение Виттена было основано на наблюдении, что различные теории суперструн связаны между собой дуальностями, и на том факте, что теории гетеротических струн типа IIA и E 8 × E 8 тесно связаны с теорией гравитации, называемой одиннадцатимерной супергравитацией . Его заявление привело к шквалу работ, теперь известному как вторая суперструнная революция .
Зеркальная симметрия
В теории струн и алгебраической геометрии термин « зеркальная симметрия » относится к явлению сложной формы, называемому многообразиями Калаби – Яу . Эти многообразия обеспечивают интересную геометрию, по которой струны могут распространяться, и полученные теории могут найти применение в физике элементарных частиц . [6] В конце 1980-х было замечено, что такое многообразие Калаби – Яу не определяет однозначно физику теории. Вместо этого обнаруживается, что есть два многообразия Калаби – Яу, которые порождают одну и ту же физику. [7] Эти многообразия называются «зеркальными» друг друга. Эта зеркальная двойственность является важным вычислительным инструментом в теории струн, и она позволяет математикам решать сложные задачи перечислительной геометрии . [8]
Одним из подходов к пониманию зеркальной симметрии является гипотеза SYZ , которая была предложена Эндрю Строминджером , Шинг-Тунг Яу и Эриком Заслоу в 1996 году. [9] Согласно гипотезе SYZ, зеркальную симметрию можно понять, разделив сложную структуру Калаби – Яу. многообразие на более простые части и с учетом влияния Т-дуальности на эти части. [10]
Простейшим примером многообразия Калаби – Яу является тор (поверхность в форме бублика). Такую поверхность можно рассматривать как произведение двух кругов. Это означает, что тор можно рассматривать как объединение набора продольных кругов (таких как красный круг на изображении). Существует вспомогательное пространство, в котором рассказывается, как организованы эти круги, и это пространство само по себе является кругом (розовый круг). Говорят, что это пространство параметризует продольные окружности на торе. В этом случае зеркальная симметрия эквивалентна T-дуальности, действующей на продольные окружности, меняя их радиусы от к , с участием обратное натяжению струны.
Гипотеза SYZ обобщает эту идею на более сложный случай шестимерных многообразий Калаби – Яу, подобных показанному выше. Как и в случае с тором, можно разделить шестимерное многообразие Калаби – Яу на более простые части, которые в данном случае представляют собой 3-торы (трехмерные объекты, обобщающие понятие тора), параметризованные 3-сферой. (трехмерное обобщение сферы). [11] T-дуальность может быть расширена с окружностей на трехмерные торы, появляющиеся в этом разложении, и гипотеза SYZ утверждает, что зеркальная симметрия эквивалентна одновременному применению T-дуальности к этим трехмерным торам. [12] Таким образом, гипотеза SYZ дает геометрическую картину того, как зеркальная симметрия действует на многообразии Калаби – Яу.
Смотрите также
- S-дуальность
- Зеркальная симметрия
- AdS / CFT корреспонденция
Заметки
- ^ Sathiapalan 1987.
- ^ Зейберга 2006.
- ^ Sathiapalan 1987. Другие двойственности, возникающие в теории струн, - это S-дуальность , U-дуальность , зеркальная симметрия и соответствие AdS / CFT .
- ^ Эта аналогия используется, например, в Greene 2000, p. 186.
- ^ Виттен 1995.
- ^ Candelas et al. 1985 г.
- ^ Диксон 1988; Лерче, Вафа и Уорнер 1989.
- ^ Zaslow 2008.
- ^ Стромингер, Яу и Zaslow 1996.
- ^ Яу и Надис 2010, стр. 174.
- ^ Точнее, есть 3-тор, связанный с каждой точкой на трехмерной сфере, за исключением некоторых плохих точек, которые соответствуют сингулярным торам. См. Яу и Надис 2010, стр. 176–7.
- ^ Яу и Надис 2010, стр. 178.
Рекомендации
- Сатиапалан, Бала (1987). «Двойственность в статистической механике и теории струн». Письма с физическим обзором . 58 (16): 1597–9. Bibcode : 1987PhRvL..58.1597P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.58.1597 . PMID 10034485 .
- Канделас, Филипп; Горовиц, Гэри; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Ядерная физика Б . 258 : 46–74. Bibcode : 1985NuPhB.258 ... 46С . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90602-9 .
- Диксон, Лэнс (1988). «Некоторые мировые свойства компактификаций суперструн на орбифолдах и т. Д.». ICTP Ser. Теорет. Phys . 4 : 67–126.
- Грин, Брайан (2000). Элегантная вселенная: суперструны, скрытые измерения и поиски высшей теории . Случайный дом . ISBN 978-0-9650888-0-0.
- Лерхе, Вольфганг; Вафа, Джумрун; Уорнер, Николас (1989). "Хиральные кольца в N знак равно 2 {\ Displaystyle N = 2} суперконформные теории» . Ядерная физика Б . 324 (2):. 427-474 Bibcode : 1989NuPhB.324..427L . DOI : 10,1016 / 0550-3213 (89) 90474-4 .
- Зайберг, Натан (2006). «Эмерджентное пространство-время». Квантовая структура пространства и времени : 163–213. arXiv : hep-th / 0601234 . DOI : 10.1142 / 9789812706768_0005 . ISBN 978-981-256-952-3. S2CID 3053018 .
- Строминджер, Эндрю; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик (1996). «Зеркальная симметрия - это Т-двойственность». Ядерная физика Б . 479 (1): 243–259. arXiv : hep-th / 9606040 . Bibcode : 1996NuPhB.479..243S . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (96) 00434-8 . S2CID 14586676 .
- Виттен, Эдвард (13–18 марта 1995 г.). «Некоторые проблемы сильной и слабой связи». Proceedings of Strings '95: Будущие перспективы в теории струн . World Scientific .
- Виттен, Эдвард (1995). «Динамика теории струн в различных измерениях». Ядерная физика Б . 443 (1): 85–126. arXiv : hep-th / 9503124 . Bibcode : 1995NuPhB.443 ... 85W . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (95) 00158-O . S2CID 16790997 .
- Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Основные книги . ISBN 978-0-465-02023-2.
- Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Гауэрсе, Тимоти (ред.). Принстонский компаньон по математике . ISBN 978-0-691-11880-2.