Чудовищный самогон

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Струнная теория

Фундаментальные объекты
Нить Космическая струна Brane D-брана
Теория возмущений
Бозонный Суперструна ( тип I , тип II , гетеротический )
Непертурбативные результаты
S-дуальность Т-дуальность U-дуальность М-теория F-теория AdS / CFT корреспонденция
Феноменология
Феноменология Космология Пейзаж
Математика
Зеркальная симметрия Чудовищный самогон
Связанные понятия Теория всего Конформная теория поля Квантовая гравитация Суперсимметрия Супергравитация Твисторная теория струн N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса Теория Калуцы – Клейна Мультивселенная Голографический принцип
Теоретики Аганагич Аркани-Хамед Атья банки Беренштейн Буссо Тесак Curtright Dijkgraaf Дистлер Дуглас Дафф Феррара Фишлер Фридан Ворота Глиоцци Гопакумар Зеленый Грин Валовой Губсер Гуков Гут Hanson Харви Горжава Гиббонс Качру Каку Kallosh Калуца Капустин Клебанов Книжник Концевич Кляйн Linde Мальдасена Мандельштам Марольф Мартинек Минвалла Мур Motl Мухи Майерс Нанопулос Нэстасе Некрасов Невеу Nielsen van Nieuwenhuizen Новиков Оливковое Ooguri Оврут Полчинский Поляков Раджараман Рамон Randall Ранджбар-Дэми Рочек Ром Scherk Шварц Зайберг Сен Шенкер Сигель Сильверстайн Сын Staudacher Steinhardt Строминджер Sundrum Сасскинд 'т Хофт Townsend Триведи Турок Вафа Венециано Верлинде Верлинде Wess Виттен Яу Йонея Замолодчиков Замолодчиков Заслоу Зумино Zwiebach
История Глоссарий
v т е

В математике , чудовищный самогоне , или теории самогона , это неожиданное соединение между группой монстра M и модулярными функциями , в частности, J функция . Термин был придуман Джоном Конвеем и Саймоном П. Нортоном в 1979 году.

Теперь известно, что за чудовищным самогоном стоит алгебра вершинных операторов, называемая модулем самогона (или алгебра вершин монстров), построенная Игорем Френкелем , Джеймсом Леповски и Арне Меурманом в 1988 году, имея группу монстров в качестве симметрии . Эта алгебра вершинных операторов обычно интерпретируется как структура, лежащая в основе двумерной конформной теории поля , позволяющая физике образовывать мост между двумя математическими областями. Гипотезы, сделанные Конвеем и Нортоном, были доказаны Ричардом Борчердсом для модуля самогона в 1992 году с использованием теоремы об отсутствии призраков из теории струн.теория вертексных операторных алгебр и обобщенных алгебр Каца – Муди .

История [ править ]

В 1978 году Джон Маккей обнаружил, что первые несколько членов в разложении Фурье нормализованного J-инварианта (последовательность A014708 в OEIS ),

J(\tau )={\frac {1}{q}}+196884{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^{3}+20245856256{q}^{4}+\cdots

с и τ как отношение полупериода может быть выражено в терминах линейных комбинаций этих размеров этих неприводимых представлений группового монстра М (последовательность A001379 в OEIS ) с небольшими неотрицательными коэффициентами. Пусть = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ... тогда, ${q}=e^{2\pi i\tau }$ $r_{n}$ $r_{n}$

{\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}\\&=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}\\&=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{aligned}}

(Поскольку может быть несколько линейных соотношений между такими , как , представление может быть в более чем одним способом.) Маккей рассматривали это как доказательство того, что существует в природе бесконечномерным градуированное представление о М , которого градуированных размерность задается коэффициенты J , и чьи части меньшего веса разлагаются на неприводимые представления, как указано выше. После того, как он сообщил Джон Г. Томпсон из этого наблюдения, Томпсон предположил , что поскольку градуированное измерение только градуированный след от единичного элемента , градуированных следов нетривиальных элементов г из М $r_{n}$ $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ на таком представлении тоже может быть интересно.

Конвей и Нортон вычислили младшие члены таких градуированных трасс, теперь известных как ряд Маккея – Томпсона T _g , и обнаружили, что все они оказались разложениями Хауптмодульна . Другими словами, если G _г есть подгруппа SL 2 ( R ) , который фиксирует Т _г , то фактор в верхней половине части комплексной плоскости на G _г является сфера с конечным числом точек удалены, и , кроме того, Т _г генерирует поле измероморфные функции на этой сфере.

Основываясь на своих вычислениях, Конвей и Нортон составили список Hauptmoduln и предположили существование бесконечномерного градуированного представления M , чьи градуированные следы T _g являются расширениями в точности функций из их списка.

В 1980 годе А. Л. Оливер Аткин , Пол Фонг и Стивен Д. Смит производили сильные вычислительные доказательства того, что такое градуированное представление существует, путь разложения большого числа коэффициентов J в представление М . Градуированное представление с градуированной размерностью J , называемое модулем самогона, было явно построено Игорем Френкелем , Джеймсом Леповски и Арне Мерманом , что дало эффективное решение гипотезы Маккея – Томпсона, и они также определили градуированные следы для всех элементов в централизатор инволюции M , частично решающий гипотезу Конвея – Нортона. Кроме того, они показали, чтовекторное пространство они построены, называется Самогон модуль , имеет дополнительную структуру вершинного оператора алгебры , которой группа автоморфизмов именно M . $V^{\natural }$

Борчердс доказал гипотезу Конвея – Нортона для модуля Moonshine в 1992 году. В 1998 году он получил медаль Филдса частично за свое решение гипотезы.

Модуль монстров [ править ]

Конструкция Френкеля – Леповского – Меурмана начинается с двух основных инструментов:

Построение решеточной вершинной операторной алгебры V _L для четной решетки L ранга n . С физической точки зрения, это киральная алгебра для бозонной струны компактифицированной на торе R ^н / л . Это может быть описано примерно как тензорное произведение из группового кольца из L с представлением осциллятора в п измерениях (которое само по себе изоморфно кольцу многочленов в счетно бесконечно многих генераторов). Для рассматриваемого случая задается L как решетка Пиявки , имеющая ранг 24.
Конструкция орбифолда . С физической точки зрения это описывает бозонную струну, распространяющуюся по фактор-орбифолду . Конструкция Френкеля – Леповского – Меурмана была первым случаем, когда орбифолды появились в конформной теории поля . К инволюции –1 решетки Лича присоединены инволюция h из V _L и неприводимый h- скрученный модуль V _L , наследующий инволюционный подъем h . Чтобы получить модуль самогона, один принимает точку подпространства фиксированного в час в прямой сумме V _Lи его витой модуль .

Я.И., Lepowsky и Meurman затем показали , что группа автоморфизмов модуля самогона, как алгебра оператора вершины является М . Кроме того, они определили, что градуированные следы элементов в подгруппе 2 ^{1 + 24} . Co ₁ соответствует функциям, предсказанным Конвеем и Нортоном ( Frenkel, Lepowsky & Meurman (1988) ).

Доказательство Борчердса [ править ]

Доказательство Ричарда Борчердса гипотезы Конвея и Нортона можно разбить на следующие основные этапы:

Начнем с вершинной операторной алгебры V с инвариантной билинейной формой, действием M автоморфизмами и с известным разложением однородных пространств семи низших степеней на неприводимые M -представления. Это было обеспечено конструкцией и анализом модуля Moonshine Френкелем-Леповски-Меурманом.
Алгебра Ли , называется монстром алгебра Ли , построена из V с использованием квантования функтор. Это обобщенная алгебра Ли Каца – Муди с действием монстра автоморфизмами. Использование Годдард-Шип «нет-призрак» теорема из теории струн , корневая множественность оказываются коэффициенты J . ${\mathfrak {m}}$
Один использует тождество бесконечного произведения Койке – Нортона – Загьера для построения обобщенной алгебры Ли Каца – Муди с помощью образующих и соотношений. Тождество доказывается используя тот факт , что операторы Гекка применительно к J полиномам доходности в J .
Сравнивая кратности корней, можно обнаружить, что две алгебры Ли изоморфны, и, в частности, формула знаменателя Вейля для является в точности тождеством Койке – Нортона – Загьера. ${\mathfrak {m}}$
Используя гомологии алгебры Ли и операции Адамса , для каждого элемента задается тождество скрученного знаменателя. Эти тождества связаны с Маккеем-Thompson серии Т _г во многом таким же образом , что идентичность Койки-Нортон-Загир связана с J .
Тождества со скрученным знаменателем подразумевают рекурсивные соотношения для коэффициентов T _g , и неопубликованная работа Койке показала, что функции-кандидаты Конвея и Нортона удовлетворяют этим рекурсивным соотношениям. Эти отношения достаточно сильны, и достаточно проверить, что первые семь членов согласуются с функциями, данными Конвеем и Нортоном. Наинизшие члены даются разложением семи однородных пространств низшей степени, заданных на первом шаге.

Таким образом, доказательство завершено ( Borcherds (1992) ). Позднее процитировали Борчердса, сказавшего: «Я был на седьмом небе от счастья, когда доказал гипотезу о самогоне», и «Иногда я задаюсь вопросом, возникает ли такое чувство, когда вы принимаете определенные наркотики. На самом деле я не знаю, поскольку я не проверял это моя теория ". ( Робертс, 2009 г. , стр. 361).

Более поздние работы упростили и прояснили последние шаги доказательства. Юрисич ( Jurisich (1998) , Jurisich, Lepowsky & Wilson (1995) ) обнаружил, что вычисление гомологии можно существенно сократить, заменив обычное треугольное разложение алгебры Ли Монстра разложением на сумму gl ₂ и двух свободных алгебр Ли. . Камминс и Ганнон показали, что рекурсивные соотношения автоматически подразумевают, что ряды Маккея-Томпсона либо Hauptmoduln, либо завершаются не более чем через 3 члена, что устраняет необходимость в вычислениях на последнем шаге.

Обобщенный самогон [ править ]

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что, возможно, самогон не ограничивается монстром, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и у других групп. ^[a] Хотя утверждения Конвея и Нортона не были очень конкретными, вычисления Ларисы Куин в 1980 году убедительно показали, что можно построить разложения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей неприводимых представлений спорадических групп . В частности, она разложила коэффициенты ряда Маккея-Томпсона на представления частичных чисел Монстра в следующих случаях:

T _2B и T _4A в представления группы Конвея Co ₀
T _3B и T _6B в представления группы Сузуки 3.2. Suz
T _3C в представления группы Томпсона Th = F ₃
T _5A в представления группы Харада – Нортона HN = F ₅
T _5B и T _10D в представления группы Холла – Янко 2. HJ
T _7A в представления группы Хельда He = F ₇
T _7B и T _14C в представления 2. A ₇
T _11A в представления группы Матье 2. M ₁₂

Куин обнаружила, что следы неидентичных элементов также дали q -расширения Hauptmoduln, некоторые из которых не были сериями Маккея – Томпсона из Monster. В 1987 году Нортон объединил результаты Куина со своими собственными вычислениями, чтобы сформулировать гипотезу обобщенного самогона. Эта гипотеза утверждает, что существует правило, которое сопоставляет каждому элементу g монстра градуированное векторное пространство V ( g ) и каждой коммутирующей паре элементов ( g , h ) голоморфную функцию f ( g , h , τ) в верхней полуплоскости так , чтобы:

Каждый V ( г ) является градуированным проективным представлением централизатора из г в М .
Каждый f ( g , h , τ) является либо постоянной функцией, либо Hauptmodul.
Каждый е ( г , ч , τ) инвариантен относительно одновременного сопряжения с г и ч в М , с точностью до скалярной неоднозначности.
Для каждого ( g , h ) существует поднятие h до линейного преобразования на V ( g ), такое, что расширение f ( g , h , τ) задается градуированным следом.
Для любого , пропорционально . ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {Z} )$ $f\left(g,h,{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)$ $f\left(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau \right)$
f ( g , h , τ) пропорциональна J тогда и только тогда, когда g = h = 1.

Это обобщение гипотезы Конвея – Нортона, потому что теорема Борчердса касается случая, когда g установлено в единицу.

Подобно гипотезе Конвея – Нортона, обобщенный самогон также имеет физическую интерпретацию, предложенную Диксоном – Гинспаргом – Харви в 1988 г. ( Dixon, Ginsparg & Harvey (1989) ). Они интерпретировали векторные пространства V ( g ) как скрученные секторы конформной теории поля с симметрией монстра, а функции f ( g , h , τ) интерпретировали как статистические суммы первого рода , где один образует тор, склеивая скрученные граничные условия . На математическом языке скрученные секторы представляют собой неприводимые скрученные модули, а статистические суммы назначаются эллиптическим кривым с главными монстр-расслоениями, тип изоморфизма которых описывается формулоймонодромии вдоль основы из 1-циклов , то есть, пара коммутирующих элементов.

Модульный самогон [ править ]

В начале 1990-х годов теоретик групп Эй Джей Рыба обнаружил замечательное сходство между частями таблицы символов монстра и персонажами Брауэра определенных подгрупп. В частности, для элемента g простого порядка p в монстре многие неприводимые характеры элемента порядка kp , k- я степень которого равна g, являются простыми комбинациями характеров Брауэра для элемента порядка k в централизаторе g. Это было численное свидетельство явления, похожего на чудовищный самогон, но для изображений с положительной характеристикой. В частности, Рыба в 1994 г. предположил, что для каждого простого множителя p в порядке монстра существует градуированная вершинная алгебра над конечным полем F _p с действием централизатора элемента g порядка p , такая что градуированная алгебра Брауэра Характер любого p -регулярного автоморфизма h равен ряду Маккея-Томпсона для gh ( Рыба (1996) ).

В 1996 году Борчердс и Рыба переосмыслили эту гипотезу как утверждение о когомологиях Тейта самодуальной интегральной формы . О существовании такой интегральной формы не было известно, но они построили самодуальную форму над Z [1/2], что позволило им работать с нечетными простыми числами p . Когомологии Тейта для элемента простого порядка естественным образом имеют структуру супервершинной алгебры над F _p , и они разбили задачу на простой шаг, приравнивающий градуированный суперслед Брауэра к серии Маккея-Томпсона, и жесткий шаг, показывающий что когомологии Тейта исчезают в нечетной степени. Они доказали утверждение об исчезновении малых нечетных простых чисел, перенеся результат об исчезновении из решетки Лича ( $V^{\natural }$ Borcherds & Ryba (1996) ). В 1998 году Борчердс показал, что для остальных нечетных простых чисел имеет место обращение в нуль, используя комбинацию теории Ходжа и интегрального уточнения теоремы об отсутствии привидений ( Borcherds (1998) , Borcherds (1999) ).

Случай порядка 2 требует существования формы над 2-адическим кольцом, т. Е. Конструкции, которая не делится на 2, о существовании которой в то время не было известно. Остается много дополнительных безответных вопросов, например, как гипотеза Рыбы должна быть обобщена на когомологии Тейта составных элементов порядка и природа любых связей с обобщенным самогоном и другими феноменами самогона. $V^{\natural }$

Предполагаемая связь с квантовой гравитацией [ править ]

В 2007 году Э. Виттен предположил, что соответствие AdS / CFT приводит к дуальности между чистой квантовой гравитацией в (2 + 1) -мерном пространстве анти де Ситтера и экстремальными голоморфными CFT. Чистая гравитация в 2 + 1 измерениях не имеет локальных степеней свободы, но когда космологическая постоянная отрицательна, в теории есть нетривиальное содержание из-за существования решений для черных дыр БТЗ . Экстремальные КТП, введенные Г. Хёном, отличаются отсутствием первичных полей Вирасоро при низких энергиях, и модуль самогона является одним из примеров.

Согласно предложению Виттена ( Witten (2007) ) гравитация в пространстве AdS с максимально отрицательной космологической постоянной является AdS / CFT двойственной голоморфной CFT с центральным зарядом c = 24 , а статистическая сумма CFT равна j-744 , т. Е. ступенчатый характер модуля самогона. Принимая гипотезу Френкеля-Леповски-Меурмана о том, что модуль самогона является уникальной голоморфной ВОА с центральным зарядом 24 и символом j-744 , Виттен пришел к выводу, что чистая гравитация с максимально отрицательной космологической постоянной двойственна монстру CFT. Часть предложения Виттена состоит в том, что первичные поля Вирасоро двойственны операторам, создающим черные дыры, и в качестве проверки согласованности он обнаружил, что в пределе большой массы Бекенштейна-Хокингаквазиклассическая оценка энтропии для данной массы черной дыры согласуется с логарифмом соответствующей первичной множественности Вирасоро в модуле самогона. В режиме малой массы существует небольшая квантовая поправка к энтропии, например, первичные поля с наименьшей энергией дают ln (196883) ~ 12,19, тогда как оценка Бекенштейна – Хокинга дает 4π ~ 12,57.

Позднее работа уточнила предложение Виттена. Виттен предположил, что экстремальные КТП с большей космологической постоянной могут иметь симметрию монстра, во многом аналогичную минимальному случаю, но это было быстро исключено независимой работой Гайотто и Хёна. Работа Виттена и Мэлоуни ( Maloney & Witten (2007) ) предполагает, что чистая квантовая гравитация может не удовлетворять некоторым проверкам согласованности, связанным с ее статистической суммой, если только некоторые тонкие свойства сложных седел не работают благоприятно. Однако Ли-Сонг-Строминджер ( Li, Song & Strominger (2008) ) предположили, что киральная квантовая теория гравитации, предложенная Маншотом в 2007 году, может иметь лучшие свойства устойчивости, будучи двойственной киральной части монстра CFT, т. Е. алгебра вершин монстра. Дункан – Френкель (Дункан и Френкель (2009) ) предоставили дополнительные доказательства этой двойственности, используя суммы Радемахера для получения ряда Маккея – Томпсона в виде 2 + 1-мерных функций распределения гравитации посредством регуляризованной суммы по глобальным геометриям изогении тора. Кроме того, они предположили существование семейства теорий скрученной киральной гравитации, параметризованных элементами монстра, предполагая связь с обобщенными суммами самогона и гравитационных инстантонов. В настоящее время все эти идеи все еще являются довольно спекулятивными, отчасти потому, что трехмерная квантовая гравитация не имеет строгой математической основы.

Матье самогон [ править ]

В 2010 году Тору Егучи, Хироси Оогури и Юджи Тачикава заметили, что эллиптический род поверхности K3 можно разложить на характеры суперконформной алгебры N = (4,4) , так что множественности массивных состояний кажутся простыми комбинациями неприводимых представлений группы Матье M24 . Это говорит о том, что существует конформная теория поля сигма-модели с мишенью K3, которая несет симметрию M24. Однако по классификации Мукаи – Кондо нет точного действия этой группы на любой K3-поверхности симплектическими автоморфизмами, и, согласно работе Габердиля-Хохенеггера-Вольпато, нет точного действия на любой конформной теории поля сигма-модели K3, поэтому появление действия на лежащем в основе гильбертовом пространстве все еще остается загадкой.

По аналогии с рядом Маккея – Томпсона, Ченг предположил, что и функции кратности, и градуированные следы нетривиальных элементов M24 образуют фиктивные модулярные формы . В 2012 году Гэннон доказал, что все кратности, кроме первой, являются неотрицательными целочисленными комбинациями представлений M24, а Габердиль-Перссон-Ронелленфич-Вольпато вычислили все аналоги обобщенных функций лунного света, убедительно предположив, что некоторый аналог голоморфного конформного поля Теория лежит за самогоном Матье. Также в 2012 году Ченг, Дункан и Харви собрали численные доказательства феномена мрачного самогона, когда семейства имитирующих модульных форм, по-видимому, связаны сРешетки Нимейера . Частный случай решетки A ₁²⁴ дает Mathieu Moonshine, но в целом это явление еще не имеет геометрической интерпретации.

Происхождение термина [ править ]

Термин «чудовищный самогон» был придуман Конвеем, который, когда Джон Маккей сказал в конце 1970-х годов, что коэффициент (а именно 196884) был ровно на единицу больше, чем степень наименьшего точного сложного представления группы монстров (а именно 196883). ), ответил, что это « самогон » (в смысле безумной или глупой идеи). ^[b] Таким образом, этот термин относится не только к группе монстров M ; это также относится к воспринимаемому безумию сложных взаимоотношений между М и теорией модульных функций. ${q}$

Связанные наблюдения [ править ]

Группа монстров была исследована в 1970-х математиками Жан-Пьером Серром , Эндрю Оггом и Джоном Г. Томпсоном ; они изучали фактор в гиперболической плоскости на подгруппы из SL ₂ ( R ), в частности, нормализатор Г ₀ ( р ) ⁺ в Гекке конгруэнцпроблемы Г 0 ( р ) в SL (2, R ). Они обнаружили, что риманова поверхность, полученная в результате факторизации гиперболической плоскости по Γ₀ ( p ) ⁺ имеет нулевой род тогда и только тогда, когда p равно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71. Когда Огг услышал о монстре группа позже, и заметил, что это были как раз основные факторы размера M , он опубликовал статью, предлагающую бутылку виски Jack Daniel's любому, кто мог бы объяснить этот факт ( Ogg (1974) ).

Заметки [ править ]

^ Конвей, Дж. И Нортон, С. «Чудовищный самогон», Таблица 2a, стр. 330, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.3704&rep=rep1&type=pdf
^ World Wide Words: Самогон

Источники [ править ]

Borcherds, RE (1998), "Modular Moonshine III", Duke Mathematical Journal , 93 (1): 129–154, arXiv : math / 9801101 , Bibcode : 1998math ...... 1101B , doi : 10.1215 / S0012-7094 -98-09305-X , S2CID 119593942.
Borcherds, RE (1999), «Формальная группа фальшивых монстров», Duke Mathematical Journal , 100 (1): 139–165, arXiv : math / 9805123 , doi : 10.1215 / S0012-7094-99-10005-6 , S2CID 14404234.
Borcherds, RE; Рыба, AJE (1996), "Модульный Самогон II", Герцога математический журнал , 83 (2): 435-459, DOI : 10,1215 / S0012-7094-96-08315-5.
Ричард Борчердс (1992), «Чудовищный самогон и чудовищные супералгебры лжи» (PDF) , Invent. Математика. , 109 : 405-444, Bibcode : 1992InMat.109..405B , CiteSeerX 10.1.1.165.2714 , DOI : 10.1007 / bf01232032 , МР 1172696 , S2CID 16145482.
Конвей, Джон Хортон; Нортон, Саймон П. (1979). «Чудовищный самогон». Бык. Лондонская математика. Soc . 11 (3): 308–339. DOI : 10.1112 / БЛМ / 11.3.308 . Руководство по ремонту 0554399 ..
Cummins, CJ; Гэннон, Т. (1997). «Модульные уравнения и свойство самогонного аппарата нулевого рода». Изобретать. Математика . 129 (3): 413–443. Bibcode : 1997InMat.129..413C . DOI : 10.1007 / s002220050167 . S2CID 123073432 ..
Диксон, Л .; Ginsparg, P .; Харви, Дж. (1989), "Красавица и чудовище: суперконформная симметрия в модуле монстра", Comm. Математика. Phys. , 119 (2): 221-241, Bibcode : 1988CMaPh.119..221D , DOI : 10.1007 / bf01217740 , S2CID 55102822.
Дю Сотуа, Маркус (2008), В поисках самогона, Путешествие математика сквозь симметрию , Четвертое сословие, ISBN 978-0-00-721461-7
Дункан, Джон FR; Френкель, Игорь Б. (2012), Суммы Радемахера, самогон и гравитация , arXiv : 0907.4529 , Bibcode : 2009arXiv0907.4529D.
Френкель, Игорь Б .; Леповски, Джеймс; Меурман, Арне (1988). Вершинные операторные алгебры и монстр . Чистая и прикладная математика. Том 134. Academic Press. Руководство по ремонту 0996026 . |volume= has extra text (help).
Гэннон, Терри (2000), «Чудовищный самогон и классификация теорий конформного поля», в Saclioglu, Cihan; Тургут, Теоман; Нутку, Явуз (ред.), Конформная теория поля, Новые непертурбативные методы в теории струн и поля , Cambridge Mass: Perseus Publishing, ISBN 0-7382-0204-5 (Дает вводные обзоры приложений в физике) .
Гэннон, Терри (2006a). «Чудовищный самогон: первые двадцать пять лет». Бык. Лондонская математика. Soc . 38 (1): 1–33. arXiv : math.QA/0402345 . DOI : 10.1112 / S0024609305018217 . Руководство по ремонту 2201600 . S2CID 119626718 ..
Гэннон, Терри (2006b), Самогон за чудовищем: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , ISBN 978-0-521-83531-2.
Харада, Коитиро (1999), Monster Iwanami Pub. (Первая книга о Monster Group, написанная на японском языке) , Iwanami Pub, ISBN 4-00-006055-4CS1 maint: postscript (link) (Первая книга о Группе монстров, написанная на японском языке) .
Харада, Коитиро (2010),"Самогон" конечных групп , Европейское математическое общество , ISBN 978-3-03719-090-6, Руководство по ремонту 2722318
Юрисич, Э .; Леповски, Дж .; Уилсон, Р.Л. (1995). "Реализации алгебры Ли монстров". Selecta Math . Новая серия. 1 : 129–161. arXiv : hep-th / 9408037 . DOI : 10.1007 / bf01614075 . S2CID 119594012 .
Юрисич, Елизавета (1998). «Обобщенные алгебры Ли Каца – Муди, свободные алгебры Ли и структура алгебры Ли Монстров». Jour. Чистый и Appl. Алгебра . 126 (1–3): 233–266. arXiv : 1311,3258 . DOI : 10.1016 / s0022-4049 (96) 00142-9 . S2CID 119320010 .
Ли, Вэй; Песня, Вэй; Строминджер, Эндрю (21 июля 2008 г.), «Хиральная гравитация в трех измерениях», Журнал физики высоких энергий , 2008 г. (4): 082, arXiv : 0801.4566 , Bibcode : 2008JHEP ... 04..082L , doi : 10.1088 / 1126 -6708/2008/04/082 , S2CID 2138904.
Мэлони, Александр; Песня, Вэй; Строминджер, Эндрю (2010), "Хиральная гравитация, логарифмическая гравитация и экстремальная CFT", Phys. Ред. D , 81 (6): 064007, arXiv : 0903.4573 , Bibcode : 2010PhRvD..81f4007M , doi : 10.1103 / Physrevd.81.064007 , S2CID 17752143.
Мэлони, Александр; Виттен, Эдвард (2010), "Квантовая гравитационная разделительная функция в трех измерениях", J. High Energy Phys. , 2010 (2): 29, arXiv : 0712.0155 , Bibcode : 2010JHEP ... 02..029M , doi : 10.1007 / JHEP02 (2010) 029 , MR 2672754 , S2CID 118363782.
Огг, Эндрю П. (1974), "Автоморфизмы модульных курсов" (PDF) , Семинар Деланж-Пизо-Пуату. Theorie des nombres, том 16, вып. 1 (1974–1975), эксп. нет. 7 (на французском языке), MR 0417184.
Робертс, Шивон (2009), Король бесконечного пространства: Дональд Кокстер, человек, спасший геометрию , Bloomsbury Publishing USA, стр. 361, ISBN 978-080271832-7.
Ронан, Марк (2006), Симметрия и чудовище , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280723-6CS1 maint: postscript (link) (Краткое введение для непрофессионального читателя) .
Рыба, AJE (1996), «Модульный самогон?», Мейсон, Джеффри; Донг, Чонъин (ред.), Самогон, Монстр и связанные темы , Современная математика, 193 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 307–336
Виттен, Эдвард (22 июня 2007 г.), Возвращение к трехмерной гравитации , arXiv : 0706.3359 , Bibcode : 2007arXiv0706.3359W.

Внешние ссылки [ править ]

Библиография Moonshine в Wayback Machine (архивировано 5 декабря 2006 г.)

[1] Конвей, Дж. И Нортон, С. «Чудовищный самогон», Таблица 2a, стр. 330, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.3704&rep=rep1&type=pdf

[2] World Wide Words: Самогон